专题03简单事件的概率（考题猜想，易错必刷25题8种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题03简单事件的概率（考题猜想易错必刷25题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 事件的分类 · 事件可能性的的大小 · 用概率公式计算概率 · 已知概率求数量 · 几何概率 · 列表法或树状图求概率 · 用频率估算概率 · 游戏的公平性 一．事件的分类（共3小题） 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．竹篮打水 B．瓮中捉鳖 C．水滴石穿 D．守株待兔 2．（2024·湖南·模拟预测）下列事件为必然事件的是（        ） A．掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2 B．明天下雨 C．某篮球运动员投篮投进 D．口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为 事件． 二、事件可能性的大小（共3小题） 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 6．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 三、用概率公式计算概率（共3小题） 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）从除写有为，，，，数字不同外，其余完全相同的张卡片中，任取一张，其数字的相反数大于的概率是 ． 9．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 四、已知概率求数量（共3小题） 10．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 11．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球有个．黄球有个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为． (1)试求袋中蓝球的个数； (2)若任意摸出两个球，请用画树状图或列表法表示摸到球的所有可能结果，并求摸到的球都是白球的概率． 12．（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 五、几何概率（共3小题） 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 14．（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 15．（23-24七年级下·甘肃张掖·期末）如图，地上画了两个半径分别为和的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为 ．    六、列表法或树状图求概率 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·广东·模拟预测）某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；20名学生成绩的中位数是 ． (2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． (3)已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 18．（2024·湖北·模拟预测）某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣（每人仅选一类）：A．源远流长的荆楚文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图（均不完整）． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表 研学内容 人数 频率 9 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？ (3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 七、用频率估算概率（共4小题） 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 20．（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 21．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数n 10 50 100 150 200 命中次数m 4 25 65 90 120 命中率 0.4 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少? (3)估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分． 22．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 八、游戏的公平性（共3小题） 23．（2022·山东青岛·模拟预测）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 24．（2023·山东青岛·一模）张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 25．（2024·云南楚雄·模拟预测）第十六届中国昆明新春购物博览会于2024年1月23日－2月7日举行，展期16天，为大家呈现一个集传统手工艺、传统美食、传统春节习俗为一体的春节文化体验．某商家为了促销，开展“砸金蛋送优惠券”的活动，即购物超200元的顾客可获得一次砸金蛋的机会．刘爷爷和张爷爷购物都超过了200元，商家共提供了4个金蛋，只有1个金蛋有优惠券．（记有优惠券的金蛋为A，其余金蛋分别为） (1)请用列表法或画树状图法，列出刘爷爷和张爷爷砸金蛋所有可能出现的结果； (2)当商家让刘爷爷先砸时，张爷爷认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得优惠券的概率的角度说明张爷爷的质疑是否合理． $$专题03简单事件的概率（考题猜想易错必刷25题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 事件的分类 · 事件可能性的的大小 · 用概率公式计算概率 · 已知概率求数量 · 几何概率 · 列表法或树状图求概率 · 用频率估算概率 · 游戏的公平性 一．事件的分类（共3小题） 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．竹篮打水 B．瓮中捉鳖 C．水滴石穿 D．守株待兔 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意； B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·湖南·模拟预测）下列事件为必然事件的是（        ） A．掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2 B．明天下雨 C．某篮球运动员投篮投进 D．口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2，是必然事件，符合题意，选项正确； B、明天下雨，是随机事件，不符合题意，选项错误； C、某篮球运动员投篮投进，不符合题意，选项错误； D、口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球，是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：A． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为 事件． 【答案】必然 【分析】此题考查了事件的分类，明确事件的分类是解答问题的关键，根据事件的分类进行求解即可． 【详解】解：不透明的袋子中装有1个黄球、2个红球， 则“取出的2个球中有红球”必有1个红球或2个红球， “取出的2个球中有红球”为必然事件． 故答案为：必然． 二、事件可能性的大小（共3小题） 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键． 根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解． 【详解】解：由题意可得袋中的白球数量大于红球数量，故袋中红球的个数少于3， 故选：A 5．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 6．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）．小明每次任意摸出一个球，然后放回，搅匀后再摸．前次都摸到了红球，下列关于第次摸球结果的说法正确的是（    ） A．一定摸到红球 B．摸到红球的可能性大 C．不可能摸到红球 D．摸到三种颜色球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率的概念，即事件发生的可能性与所有可能性的比值，根据不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同），则摸到三种球的概率相同，即可求解． 【详解】解：不透明的袋子里有红球、黄球、绿球各个（球只有颜色不同）， 摸到三种颜色球的可能性一样大， 故选：D． 三、用概率公式计算概率（共3小题） 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用字母e的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有8个字母，其中字母e有2个，且每个字母被抽中的概率相同， ∴从单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为， 故选：B． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）从除写有为，，，，数字不同外，其余完全相同的张卡片中，任取一张，其数字的相反数大于的概率是 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率 ，本题找到符合条件的数的个数是关键． 先求出相反数大于的数字个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：∵，，，，这个数中，相反数大于的有个， ∴从中随机抽取一张，其数字的相反数大于的概率是， 故答案为：． 9．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 【答案】(1) (2)378人 【分析】本题考查了概率公式、统计表、样本估计总体等知识；熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由概率公式求解即可； （2）由该校初三年级总人数乘以该校初三年级近视的概率即可． 【详解】（1）解：这五个班级的学生中随机抽取一名学生，抽中近视的学生为事件A， 则； （2）解：（人）， 即估计该校初三年级近视的学生为人． 四、已知概率求数量（共3小题） 10．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 11．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的小球，其中白球有个．黄球有个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为． (1)试求袋中蓝球的个数； (2)若任意摸出两个球，请用画树状图或列表法表示摸到球的所有可能结果，并求摸到的球都是白球的概率． 【答案】(1)袋中蓝球的个数为个； (2)结果见解析，． 【分析】（）设袋中蓝球的个数为个，然后利用概率公式，结合摸出一个球是白球的概率为，列分式方程即可求解； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 此题主要考查了概率公式和列表法或树状图法求概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设袋中蓝球的个数为个，由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：袋中蓝球的个数为个； （2）画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中摸到的球都是白球的结果有种， ∴摸到的球都是白球的概率为． 12．（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1) (2)取走了7个白球 【分析】本题考查了概率的知识 ． （1） 用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2） 设取走了个白球， 根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出方程求解即可 ． 熟知概率公式是关键． 【详解】（1）解：（从布袋中摸出一个球是红球）； （2）设取走了个白球， 根据题意得 ， 解得：． 答： 取走了7个白球 ． 五、几何概率（共3小题） 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·甘肃张掖·期末）如图，地上画了两个半径分别为和的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查几何概率，先求得整个图形的总面积和白色小圆的面积，再由白色小圆面积除以总面积求解即可． 【详解】解：根据题意，总面积为，白色小圆面积为， ∴任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为， 故答案为：． 六、列表法或树状图求概率 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：“最”“美”“天”“津”分别用字母表示，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数为2， 所以小江抽取的两张卡片恰好是“天津”的概率=， 故选：A． 17．（2024·广东·模拟预测）某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；20名学生成绩的中位数是 ． (2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． (3)已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【答案】(1)4，35，； (2)名； (3)． 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解； 【详解】（1）解：， ， 即， 将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93， ∴20名学生成绩的中位数为：， 故答案为：4，35，； （2）解：(名)， ∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， ∴恰好抽到一男一女的概率． 18．（2024·湖北·模拟预测）某校为了了解九年级学生对以下哪类研学内容最感兴趣（每人仅选一类）：A．源远流长的荆楚文化；．享誉世界的三峡文化；．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图（均不完整）． 抽取的学生最感兴趣研学内容统计表 研学内容 人数 频率 9 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若该校九年级共有名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？ (3)小聪和小明参加了本次调查，请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率． 【答案】(1)； (2)人 (3) 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图、表中获取正确的信息是解题的关键． （1）由题意得，调查的总人数为（人，则，选择的人数为（人，根据，求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，调查的总人数为（人， ， 选择的人数为（人， ， 故答案为：； ． （2）解：由题意知，（人． 估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的约有人． （3）解：由题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中他们选择同一类内容的结果有4种， ∵， 他们选择同一类内容的概率为． 七、用频率估算概率（共4小题） 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 【答案】(1)0.6 (2)估算口袋中白球的个数为3 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解题的关键是明确频率和概率之间的关系． （1）观察表格可知，摸到白球的频率在0.6附近，据此即可解答； （2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可确定白球的个数． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6； （2）解：由（1），可估计摸到白球的概率为0.6， （个）． 答：估算口袋中白球的个数为3． 20．（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】(1)2； (2)同意小明的意见，理由见解析． 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近0.67， ∴摸到红球的概率为0.67， ∴红球的个数：（个）； （2）解：同意小明的意见，理由如下： 记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种， 所以； 记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种， 所以； 所以， 所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 21．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数n 10 50 100 150 200 命中次数m 4 25 65 90 120 命中率 0.4 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少? (3)估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分． 【答案】(1)0.5，0.65，0.6，0.6 (2)估计这个运动员3分球投篮命中的概率是0.6 (3)这个运动员投篮15次，命中的次数约为9次，能得到27分 【分析】本题考查了利用频率估计概率． （1）用命中的次数除以投篮总次数额得出答案； （2）根据表格中数据可得，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在附近即可得解； （3）先求出这个运动员投篮15次命中的次数，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：投篮50次命中率为：， 投篮100次命中率为：， 投篮150次命中率为：， 投篮200次命中率为：； （2）解：根据表格中数据可得，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在附近， ∴估计这个运动员3分球投篮命中的概率是0.6； （3）解：由（2）的结论可得，这个运动员投篮15次，命中的次数约为（次）， 所以能得到（分）， 即这个运动员投篮15次，命中的次数约为9次，能得到27分． 22．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 【答案】(1) (2) (3)频率的变化稳定在附近 (4) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近； （4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是 八、游戏的公平性（共3小题） 23．（2022·山东青岛·模拟预测）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意先画出树状图，得出一共有12种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有8种情况，即可求出甲获胜的概率； （2）求出乙获胜的概率，再与甲比较即可． 【详解】（1）解：由题意，列表格得： 甲 乙 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 （红1，红2） （红1，蓝1） （红1，蓝2） 红2 （红2，红1） （红2，蓝1） （红2，蓝2） 蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝1，蓝2） 蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝1） ∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种， ∴甲获胜的概率是：； （2）不公平，理由如下： 由（1）知， ∵， ∴这个游戏不公平． 24．（2023·山东青岛·一模）张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【答案】(1)； (2)这样的规则不公平；可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由见解析． 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）根据表格分别求出甲、乙获胜的概率，即可判断游戏规则的公平性，再根据概率的意义提出合理的游戏规则即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中两个数的差为的结果有种， ∴两个数的差为的概率为； （2）解：由表可知，，， ∵，即， ∴这样的规则不公平； 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由如下： ∵，， ∴， ∴这样的规则公平． 25．（2024·云南楚雄·模拟预测）第十六届中国昆明新春购物博览会于2024年1月23日－2月7日举行，展期16天，为大家呈现一个集传统手工艺、传统美食、传统春节习俗为一体的春节文化体验．某商家为了促销，开展“砸金蛋送优惠券”的活动，即购物超200元的顾客可获得一次砸金蛋的机会．刘爷爷和张爷爷购物都超过了200元，商家共提供了4个金蛋，只有1个金蛋有优惠券．（记有优惠券的金蛋为A，其余金蛋分别为） (1)请用列表法或画树状图法，列出刘爷爷和张爷爷砸金蛋所有可能出现的结果； (2)当商家让刘爷爷先砸时，张爷爷认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得优惠券的概率的角度说明张爷爷的质疑是否合理． 【答案】(1)见解析 (2)不合理，理由见详解 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法和用概率公式求解概率， 根据树状图画法画图即可，然后将所有的可能结果均列出； 按照概率公式将刘爷爷和张爷爷获得优惠券的概率求出进行对比即可． 【详解】（1）解：树状图如图所示 由树状图可知，共有12种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，； （2）由树状图可知，刘爷爷先砸时，获得优惠券的概率为，张爷爷获得优惠券的概率为， 则两人获得优惠券的概率相等， 故张爷爷的质疑不合理． $$