专题03 实数（考题猜想，易错必刷43题43种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题03 实数（考题猜想易错必刷43题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念与计算 · 立方根的概念与计算 · 平方根与立方根的应用 · 算术平方根的非负性 · 无理数与实数的概念 · 实数的分类 · 实数与数轴 · 实数的大小比较 · 无理数的估算 · 无理数的整数与小数部分 · 实数的混合运算 · 实数的程序运算 · 实数运算的规律性问题 · 实数的定义新运算 一．平方根的概念与计算（共3小题） 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 2．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正数的两个平方根分别为和，求的值． 二、立方根的概念与计算（共3小题） 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 6．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 三、平方根与立方根的应用（共3小题） 7．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了，原来长方体的体积是（    ）． A．108 B．81 C．432 D．648 9．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是 米． 四、算数平方根的非负性（共3小题） 10．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ． 11．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知a、b满足，则的立方根为 . 12．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 五、无理数与实数的概念（共3小题） 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 14．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数；⑤正无理数和负无理数统称无理数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列6个数中：，，，，，37，（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．其中是无理数的有（     ） A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个 六、实数的分类（共3小题） 16．（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数 C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0 17．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）： ①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（每两个1之间依次多一个0） （1）正无理数集合：{              …} （2）负无理数集合：{              …} （3）整数集合：{              …} （4）正实数集合：{              …} （5）负实数集合：{              …} 18．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，，． 正有理数集合：｛                      …｝ 非正整数集合：｛                  …｝ 负分数集合： ｛                         …｝ 无理数集合：｛                        …｝ 七、实数与数轴（共4小题） 19．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在数轴上有六个点，且满足，则下列各数中与点C表示的数最接近的是（    ）    A． B．0 C．2 D． 20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是 ． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上点所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为． (1)求出实数的值 (2)求的值． 22．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上表示数1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x，请你写出数x的值． 八、实数的大小比较（共3小题） 23．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 24．（22-23七年级下·全国·期末）比较大小： ． 25．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 九、无理数的估算（共3小题） 26．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）大于且小于的所有整数的和是 ． 27．（2024·陕西商洛·模拟预测）若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 28．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 十、无理数的整数与小数部分（共3小题） 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是，b是3的算术平方根，c是的小数部分，求的绝对值． 30．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读下面的内容： 因为，所以. 所以的整数部分是1，小数部分是. 试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分. (2)若和的小数部分分别是和，求的值. 十一、实数的混合运算（共3小题） 32．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1)； (2)． 十二、实数的程序运算（共3小题） 35．（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 37．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 十三、实数运算的规律性问题（共3小题） 38．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 39．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 40．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）观察并填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ________ ________ 1 ________ ________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知 ，则________； ②已知，则________． 十四、实数的定义新运算（共3小题） 41．（23-24七年级上·河南开封·期中）定义新运算“”，规定：，则（    ） A．7 B．25 C． D． 42．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．156 43．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则※． 例如：． (1)计算值为______． (2)计算※． $$专题03 实数（考题猜想易错必刷43题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念与计算 · 立方根的概念与计算 · 平方根与立方根的应用 · 算术平方根的非负性 · 无理数与实数的概念 · 实数的分类 · 实数与数轴 · 实数的大小比较 · 无理数的估算 · 无理数的整数与小数部分 · 实数的混合运算 · 实数的程序运算 · 实数运算的规律性问题 · 实数的定义新运算 一．平方根的概念与计算（共3小题） 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是，则B不符合题意； 没有平方根，则C不符合题意； 是的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根概念的理解，根据“任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根”即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根，， ∴没有平方根， 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正数的两个平方根分别为和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求得的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， ∴． 二、立方根的概念与计算（共3小题） 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一个数的立方根求这个数，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是实数M的立方根， ∴实数M是， 故选：C． 6．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 三、平方根与立方根的应用（共3小题） 7．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是正确计算的前提．根据正方体体积为进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正方体的体积为， 因此棱长为， 故选：A． 8．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了，原来长方体的体积是（    ）． A．108 B．81 C．432 D．648 【答案】B 【分析】此题算术平方根的灵活运用，根据题意可知，切成3个相同的正方体需要切 次，因为每切一次增加2个正方形，所以一共增加了个正方形，用36除以4即可求出每个正方形的面积，根据正方形的面积可以求出它的边长，而正方形的边长切成的正方体的棱长长方体的宽长方体的高，长方体的长长方体的宽，据此解答即可． 【详解】每个正方形的面积为： （平方分米）， ∴正方形的边长为分米， 原来长方体的体积是（立方分米）， 故答案为：B． 9．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，有理数除法的应用，先求出每块地砖的面积，因为地砖为正方形，故求面积的算术平方根即可． 【详解】解：每块地砖的面积平方米， 每块地砖的边长为米， 故答案为：． 四、算数平方根的非负性（共3小题） 10．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ． 【答案】 2 5 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质进行解题即可． 【详解】解：要使代数式有最小值， 则取为最小值即可， ∵， ∴当时，存在最小值， 即， 把代入代数式， 则最小值为． 故答案为：；． 11．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知a、b满足，则的立方根为 . 【答案】2 【分析】本题考查绝对值及算术平方根的非负性，立方根，根据绝对值及算术平方根的非负性求得，的值后代入中计算，然后根据立方根的定义即可求得答案，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 那么的立方根为2， 故答案为：2． 12．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 五、无理数与实数的概念（共3小题） 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 14．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数；⑤正无理数和负无理数统称无理数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，无理数的分类，相反数的定义，熟知有理数，无理数和相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，原说法正确； ②一个有理数不是正数就是负数或者0，原说法错误； ③0没有倒数，有相反数，原说法错误； ④整数分为正整数、0和负整数，原说法正确； ⑤正无理数和负无理数统称无理数，原说法正确． ∴说法正确的有3个， 故选：C． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列6个数中：，，，，，37，（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．其中是无理数的有（     ） A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，，，，，37，（相邻两个5之间0的个数逐次加1）中无理数有，，（相邻两个5之间0的个数逐次加1），共有 3 个． 故选 ：B． 六、实数的分类（共3小题） 16．（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数 C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0 【答案】A 【分析】利用实数、有理数、无理数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：无理数都是无限小数，符合定义，所以A选项正确； 带根号的数都是无理数，可以举反例，是有理数，所以B选项错误； 无理数的和还是无理数，可以举反例，是有理数，所以C选项错误； 实数包括有理数、无理数，0也是有理数，所以D选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查实数、有理数、无理数的概念，理解无理数的分类中各自的含义是解题的关键． 17．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）： ①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（每两个1之间依次多一个0） （1）正无理数集合：{              …} （2）负无理数集合：{              …} （3）整数集合：{              …} （4）正实数集合：{              …} （5）负实数集合：{              …} 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查实数的分类，掌握其分类方法是解题的关键． （1）正无理数是大于零的无理数，无理数即为无限不循序小数，常见的无理数有：含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如：小数点后每两个1之间依次多一个0）； （2）负无理数是小于零的无理数； （3）整数，不含小数点； （4）正实数，大于零的数； （5）负实数，小于零的数； 【详解】解：，是负整数，，是正无理数， （1）正无理数集合：②⑦⑧⑨； （2）负无理数集合：⑤； （3）整数集合：①③⑥； （4）正实数集合：①②⑦⑧⑨； （5）负实数集合：④⑤⑥； 18．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，，． 正有理数集合：｛                      …｝ 非正整数集合：｛                  …｝ 负分数集合： ｛                         …｝ 无理数集合：｛                        …｝ 【答案】，，，；，0，；，； 【分析】本题主要考查了实数的分类，绝对值意义，无理数的定义，解题关键在于熟练掌握其性质定义．根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】解：，，， 正有理数集合：{，，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{，…}． 七、实数与数轴（共4小题） 19．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在数轴上有六个点，且满足，则下列各数中与点C表示的数最接近的是（    ）    A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，解题注意利用数形结合的思想．先利用数轴的两点的距离计算出的长，进而计算出和的长，从而得出C点所表示的实数，然后再进行估算即可求解． 【详解】解：由数轴的信息知：，； ∴C点表示的实数为：； 而， 因此与点C表示的数最接近的是． 故选：D． 20．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是根据点的坐标求半径，根据线段之间的关系求C点坐标．先求，根据，求C点坐标． 【详解】解：依题意，， ∵半径, ∴ ， 故答案为： ． 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上点所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为． (1)求出实数的值 (2)求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出，再根据题意可得，则或； （2）分和两种情况，去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：，，表示的数分别为，， ∴， ∵点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等， ∴， ∴或； （2）解：当时， ； 当时， ； ； 综上，原式的值为． 22．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上表示数1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x，请你写出数x的值． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．根据，利用数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，即可求得x的值． 【详解】解：因为点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， 所以． 因为数轴上表示数1和的点分别为A，B， 所以． 设点C表示的数为x， 所以． 八、实数的大小比较（共3小题） 23．（2024·广东·模拟预测）比较大小： .（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 24．（22-23七年级下·全国·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小估算和实数的大小比较，熟练掌握无理数的大小估算的方法是解题的关键．先判断得出；再判断得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·全国·课后作业）比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算方法得出，，从而得出比较结果． 【详解】解： ， 即， ， ， 即， ， ． 九、无理数的估算（共3小题） 26．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）大于且小于的所有整数的和是 ． 【答案】7 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提 根据算术平方根的定义估算无理数，的大小，再求大于且小于的所有整数的和即可． 【详解】解：，， 大于且小于的所有整数有3和4，其和为， 故答案为：7． 27．（2024·陕西商洛·模拟预测）若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 28．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，即可得出答案，掌握正确的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a在3和4之间， 故选：B． 十、无理数的整数与小数部分（共3小题） 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是，b是3的算术平方根，c是的小数部分，求的绝对值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，涉及了无理数的估算以及绝对值的求解，根据题意得出、，结合可得，即可求解. 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵b是3的算术平方根， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴ 30．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读下面的内容： 因为，所以. 所以的整数部分是1，小数部分是. 试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分. (2)若和的小数部分分别是和，求的值. 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2)9 【分析】本题考查了无理数的整数和小数部分问题，正确理解题意是解题关键. （1）根据即可求解； （2）由（1）即可确定和，即可求解． 【详解】（1）解：， . 的整数部分是3，小数部分是. （2）解：的小数部分是，的整数部分是5， 的小数部分是. ，， 9. 十一、实数的混合运算（共3小题） 32．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解； （2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，有理数的混合运算． （1）先乘方，再计算乘除，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解； （2）先根据算术平方根、立方根以及乘法分配律计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)6 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握有理数乘方的意义、有理数的加法法则、减法法则、立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值是解题关键． （1）根据绝对值、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． （2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 十二、实数的程序运算（共3小题） 35．（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 37．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 【答案】D 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误； B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误； C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误； D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确； 故选∶D． 【点评】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键． 十三、实数运算的规律性问题（共3小题） 38．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵ （精确到）， ∴ ； ； （3）解：∵ ∴；； 39．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 40．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）观察并填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ________ ________ 1 ________ ________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知 ，则________； ②已知，则________． 【答案】（1）0.01,0.1,10,100；（2）①14.42　②7.697 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． （1）根据立方根的定义，求解即可； （2）①根据被开方数中的小数点每移动3位，立方根的小数点相应的移动1位，计算即可；②同理①即可求解． 【详解】解：（1） a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2）① ， ； ② ， ． 十四、实数的定义新运算（共3小题） 41．（23-24七年级上·河南开封·期中）定义新运算“”，规定：，则（    ） A．7 B．25 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义的运算，根据指定的运算顺序和运算法则进行有理数的计算就可以了． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 42．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 43．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则※． 例如：． (1)计算值为______． (2)计算※． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义将数值代入求解即可； （2）根据新定义将数值代入求解即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： ， ． $$