专题03 实数（考点清单，6清单&13题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版2024）

清单03 实数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义 【例1】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【变式1-1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A．36 B． C．4 D．3 【变式1-2】下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【考点题型二】平方根的计算 【例2】16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【变式2-1】的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 【变式2-2】一个数的平方等于196，则这个数是 ． 【考点题型三】求算术平方根 【例3】一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】12的算术平方根是（    ） A．6 B． C． D． 【变式3-2】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【考点题型四】立方根概念 【例4】若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【考点题型五】求立方根 【例5】的立方根是 ． 【变式5-1】求下列各数的立方根． (1)； (2)； (3) 【考点题型六】平方根与立方根应用 【例6】大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ． 【变式6-1】如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【变式6-2】已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【考点题型七】实数的概念 【例7】下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【变式7-1】下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【变式7-2】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【考点题型八】实数的分类 【例8】在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， (1)正有理数集合：｛                                ···｝； (2)负分数集合：｛                                ···｝； (3)无理数集合：｛                                ···｝； (4)非负整数集合：｛                                ···｝； (5)负有理数集合：｛                                ···｝． 【变式8-2】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， 正数集合：{　　……}； 分数集合：{　　……}； 负有理数集合：{　　……}； 无理数集合：{　　……}． 【考点题型九】实数与数轴 【例9】如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（  ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式9-1】能够与数轴上的点是一一对应的数是（    ） A．整数 B．实数 C．有理数 D．无理数 【变式9-2】如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】实数的混合运算 【例10】计算：． 【变式10-1】计算： 【变式10-2】计算：． 【考点题型十一】实数的大小比较 【例11】下列四个数中，最小的数是（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 【变式11-2】比较大小：3 ．（填“”、“”或“”） 【考点题型十二】算数平方根的非负性 【例12】如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【变式12-1】若，则的值为 ． 【变式12-2】若，则 ． 【考点题型十三】定义新运算 【例13】定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【变式13-2】对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 1．下列实数中，是无理数的是（    ） A．0.4 B． C． D． 2．下列整数中，最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．下列说法不正确的是（    ） A．64的平方根是 B．的立方根是 C．平方根是它本身的数是0 D．125的立方根是 5．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 6．下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 7．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．的值等于 ． 10．如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 11．一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 12．已知，为两个连续整数，且，则 ． 13．已知的立方根是，的算术平方根是，是的算术平方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 14．计算： (1)； (2)． 15．在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 16．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 17．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 18．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 实数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义 【例1】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A．36 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-2】下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据负数没有平方根，进行判断即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， 又∵选项中只有A选项为负数， ∴A选项没有平方根． 故选：A． 【考点题型二】平方根的计算 【例2】16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是， 故选：A． 【变式2-1】的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根的区别，注意先求得的值，再求其平方根． 【详解】解：． 4的平方根为． 故选：C． 【变式2-2】一个数的平方等于196，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故答案为：． 【考点题型三】求算术平方根 【例3】一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故选：． 【变式3-1】12的算术平方根是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，利用算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解；12的算术平方根是：， 故选：D 【变式3-2】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 【考点题型四】立方根概念 【例4】若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-1】关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 【考点题型五】求立方根 【例5】的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出的值，再求出其立方根即可． 【详解】解：， 的立方根是2， 故答案为：2． 【变式5-1】求下列各数的立方根． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解． （1）根据立方根的定义可求解． （2）根据立方根的定义可求解． （3）根据立方根的定义可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴的立方根是． 【考点题型六】平方根与立方根应用 【例6】大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了立方根，直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案，正确得出各条棱长是解题的关键． 【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为， ∴大立方体的棱长为，小立方体的棱长为， ∴这个物体的最高点到地面的距离是：， 故答案为：8． 【变式6-1】如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【答案】1 【分析】利用平方根的定义即可求得答案；本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】 与为一个非负数的两个平方根 ， 解得：, 故答案为：1． 【变式6-2】已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 【考点题型七】实数的概念 【例7】下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【答案】A 【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义． 【变式7-1】下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，以及n次方根的性质判断即可． 【详解】解：A、无限小数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； B、带根号的数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； C、循环小数是实数，故正确，符合题意； D、一个正数的n次方根有一个或两个，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，无理数的定义．无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数． 【变式7-2】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 【考点题型八】实数的分类 【例8】在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， 无理数有：，，； 有理数有：，，； 故选：C． 【变式8-1】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， (1)正有理数集合：｛                                ···｝； (2)负分数集合：｛                                ···｝； (3)无理数集合：｛                                ···｝； (4)非负整数集合：｛                                ···｝； (5)负有理数集合：｛                                ···｝． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数和正分数； （2）先找到分数，再找其中的负数即可； （3）无理数是无限不循环小数； （4）非负整数包括零和正整数． （5）负有理数包括负整数和负分数； 【详解】（1）解：，， 正有理数集合：｛ ，，，···｝； （2）解：负分数集合：｛，，，···｝ （3）解：无理数集合：｛，，···｝ （4）解：非负整数集合：｛，，，···｝ （5）解：负有理数集合：｛ ，，，，···｝ 【变式8-2】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， 正数集合：{　　……}； 分数集合：{　　……}； 负有理数集合：{　　……}； 无理数集合：{　　……}． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了有理数、无理数的定义和实数的分类，注意理解实数的不同分类方法；明确实数的分类，正确区分正数，分数，负有理数，无理数的定义是解决本题的关键； 实数分为有理数和无理数；正数是指大于的数；分数除了是分数形式以外还包含循环小数，有限小数，百分数；负有理数为有理数的同时符号为负的数；无理数有无限不循环小数，根式下不能开方的，等； 【详解】解：正数集合：{ ，，， ， }； 分数集合：{ ， ，，，}； 负有理数集合：{ ，， ， }； 无理数集合：{，}； 【考点题型九】实数与数轴 【例9】如图所示，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示的点P应在（  ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C代表数2， 点D代表数3， ∴表示的点P应在线段上， 故选∶C． 【变式9-1】能够与数轴上的点是一一对应的数是（    ） A．整数 B．实数 C．有理数 D．无理数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据任意一个实数都可以用数轴上的点表示即可得到答案． 【详解】任意一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上任意一个点都表示实数． 故选：B． 【变式9-2】如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的结论正确， 故选：C． 【考点题型十】实数的混合运算 【例10】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用立方根、乘方、算术平方根进行计算，再进行有理数加减法即可． 【详解】解： ； 【变式10-1】计算： 【答案】7 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式10-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 【考点题型十一】实数的大小比较 【例11】下列四个数中，最小的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，先根据绝对值和相反数的意义求出 ，然后通过实数比较大小方法即可求解，解题的关键是熟记任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 【变式11-1】比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数比大小，能够熟练的将9写成的形式是解题的关键，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 【变式11-2】比较大小：3 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法． 先对两个数进行平方计算，然后再进行大小比较即可． 【详解】解∶，， ， ， 故答案为∶． 【考点题型十二】算数平方根的非负性 【例12】如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 【变式12-1】若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【变式12-2】若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点题型十三】定义新运算 【例13】定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【变式13-1】定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 【变式13-2】对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算，根据题意可先求出，再根据题意求解即可. 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：A 1．下列实数中，是无理数的是（    ） A．0.4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数就是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：0.4，，，中，是无理数的是； 故选C． 2．下列整数中，最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 首先确定39在哪两个整数的平方之间，从而确定的范围，从而求解． 【详解】解： ，且， 最接近的是6． 故选：C． 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，先估算出的范围，再结合数轴得出即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．下列说法不正确的是（    ） A．64的平方根是 B．的立方根是 C．平方根是它本身的数是0 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．64的平方根是，正确； B．的立方根是，正确； C．平方根是它本身的数是0，正确； D．125的立方根是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 6．下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴的关系，根据实数的分类，实数与数轴的关系，逐项判断即可求解．熟练掌握有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点一一对应是解题的关键． 【详解】解：．无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意； ．有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 7．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 由题意可知，，故、异号，，且，根据有理数加减法得的值应取的符号“”，故；由，利用作差法求得． 【详解】解：依题意得：，， ，、异号，且． A，D错误，不符合题意； ； C正确，符合题意； ∵； B错误，不符合题意； 故选：C． 8．在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则或，故该选项不符合题意； C、若，则可以为任意数，为非负数，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 9．的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】的值等于4． 故答案为：4． 10．如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当为64时，是有理数， 当时，为无理数，输出， 故答案为：． 11．一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知，为两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13．已知的立方根是，的算术平方根是，是的算术平方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可； （）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 此题考查了立方根的定义，平方根和算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，，， ∴，，； （2）由（）得：，，， ∴， ∴的平方根是． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 【答案】小华的答案正确，见解析 【分析】根据算术平方根的非负性，即可判断求解， 本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的非负性． 【详解】解：小华的答案正确． 理由：∵表示的是的负平方根， ∴而小明的答案为，小华的答案为，故小华的答案正确． 16．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【答案】它的表面积是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 答：它的表面积是． 17．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)5， (2)1 (3) 【分析】此题考查了无理数的估算； （1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解： ， 即， 的小数部分， ， 即， 的整数部分， ； （3）解： ， ， 即， 的整数部分是10，小数部分是， 是整数，且， ， ， 的相反数是． 18．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$