专题02 有理数的计算（考点清单，11清单&13题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版2024）

清单02 有理数的计算（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】加减法的计算 【例1】按照有理数加法则，计算的正确过程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设表示不超过x的最大整数，计算： ． 【考点题型二】有理数加减法的应用 【例2】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向 (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【变式2-1】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过米（不包括米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【变式2-2】流花河上周末的水位为米，下表是本周内水位的变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)试一试，根据上表，请你计算哪天水位最高？ (2)本周日的水位是多少？ 【考点题型三】有理数加法的运算律 【例3】在这个运算中，（    ） A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】用简便方法计算：． 【考点题型四】有理数乘除法的计算 【例4】个数的乘积为0，则这些数（    ） A．均为0 B．最多有一个为0 C．至少有一个为0 D．有两个数是相反数 【变式4-1】下列运算中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 【考点题型五】有理数的倒数 【例5】的倒数是（　　） A． B． C． D．3 【变式5-1】倒数是它本身的数是 ；相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 ． 【考点题型六】有理数乘除法的运算律 【例6】用简便方法计算 (1) (2)． 【变式6-1】计算： (1) (2) 【变式6-2】用简便方法计算： (1) (2) 【考点题型七】有理数乘除法的应用 【例7】“十一黄金周”期间，某风景区7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1 2 3 4 5 6 7 人数变化（万人） 注：9月30日游客人数为3万人．问： (1)七天内游客人数最多的一天有多少万人？ (2)游客人数最少的一天是第几天？ (3)若每万人带来的旅游收入是200万，这7天共带来多少万旅游收入？ 【变式7-1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是3650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)红红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1800元．红红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【考点题型八】幂的概念 【例8】所表示的意义是（    ） A．4乘10 B．4个10相乘 C．10个相乘 D．10个相加 【变式8-1】式子表示的含义是（　　） A．5个2相乘的积的相反数 B．-2与5相乘的积 C．5与2相乘的积的相反数 D．5个-2相乘的积 【变式8-2】的意义是 ，的意义是 ，的意义是 ． 【考点题型九】乘方的计算 【例9】下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【变式9-1】当时，下列式子：①；② ；③；④ 中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式9-2】计算：的是 ． 【考点题型十】乘方的运用 【例10】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ． 【变式10-2】为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【考点题型十一】科学计数法 【例11】238万元用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为，关于下列说法正确的是（    ） A．是一个5位数 B． C． D． 【考点题型十二】近似数 【例12】下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位是 B．近似数万精确到千位 C．近似数精确到个位 D．近似数与意义一样 【变式12-1】近似数为的准确数的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D．且 【变式12-2】用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是 ． 【考点题型十三】有理数混合运算 【例13】用简便方法计算：． 【变式13-1】计算： (1) (2) (3) 【变式13-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点相对观测点的高度），可得观测点相对观测点的高度是（　　）米． 90米 80米 米 50米 0米 40米 A．210 B．130 C．390 D．170 2．把写成省略加号与括号的形式是(    ) A． B． C． D． 3．的倒数是（　　） A． B． C． D． 4．2019年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（   ） A．和 B．和 C． 和 D．和 7．下列语句中的数，不是近似数的是（    ）． A．牛郎星和织女星相距亿千米 B．生物圈中已知的绿色植物有万种 C．某实验中学有人 D．某人的身高为 8．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是      （    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 9．绝对值小于2024的所有整数和为 ． 10．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 11．若a，b互为倒数，则 ． 12．将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 13．定义新运算：（右边为常见的加、减、乘、除运算）． 例如：． 若，则称有理数为一组“魅力数对”． 例如：，所以2，3就是一组“魅力数对”． (1)下列各组数是“魅力数对”的是______（请填序号）． ①；②；③． (2)请再写出一组“魅力数对”：______． (3)计算：． 14．某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)星期二生产景观灯______台； (2)求该厂本周实际生产景观灯的盏数； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元，若未能完成任务，则少生产一盏扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 15．水果超市最近新进了一批橙子，每斤进价10元，9月29日每斤售价15元，国庆黄金周9月30日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周橙子的售价变化情况和售出情况： 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 10 35 10 5 40 (1)10月4日超市售出的橙子的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的橙子的收益如何？（盈利成亏损的钱数） (3)国庆黄金周水果超市出售此种接子的收益如何？ 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)； (2)； (3) (4) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数的计算（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】加减法的计算 【例1】按照有理数加法则，计算的正确过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【变式1-1】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据有理数的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B 【变式1-2】设表示不超过x的最大整数，计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的比较大小和减法运算．根据表示不超过x的最大整数得到，再进行减法计算即可． 【详解】解：∵表示不超过x的最大整数， ∴， ∴ 故答案为： 【考点题型二】有理数加减法的应用 【例2】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向 (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点6千米，在鼓楼西边 (2)元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解（1）的关键，路程的和乘单价是解（2）的关键． （1）根据有理数的加法运算，可得计算结果，根据正数和负数，可得方向； （2）利用行程总里程乘以每千米单价，可得营业额． 【详解】（1）解：（千米）， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点6千米，在鼓楼西边； （2）解：（元）， 答：若每千米的价格为3元，司机一个下午的营业额是91.2元． 【变式2-1】世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过米（不包括米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上； (2)守门员离开球门线的最远距离达米； (3)对方球员有三次挑射破门的机会． 【分析】（）根据有理数的加法可得答案； （）根据有理数的加法，可得每次守门员与球门线的距离，再进行比较可得答案； （）根据有理数的加法，可得每次守门员与球门线的距离，再进行比较可得答案； 本题考查了有理数加法的应用，掌握有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：守门员最后正好回到球门线上； （2）解：第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，第六次，第七次，第八次， ∵， ∴守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，第六次，第七次，第八次， ∴对方球员有三次挑射破门的机会． 【变式2-2】流花河上周末的水位为米，下表是本周内水位的变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)试一试，根据上表，请你计算哪天水位最高？ (2)本周日的水位是多少？ 【答案】(1)本周五水位最高 (2)本周日的水位高为米 【分析】此题考查正数和负数的实际应用，有理数加减法的实际应用． （1）计算出每一天的水位变化，比较即可得出答案； （2）根据（1）题中计算得出周日的水位． 【详解】（1）解：周一水位：米， 周二水位：米， 周三水位：米， 周四水位：， 周五水位：米， 周六水位：米， 周日水位：米． ∴本周五水位最高； （2）解：由（1）可知周日的水位高为米． 【考点题型三】有理数加法的运算律 【例3】在这个运算中，（    ） A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算律，掌握加法交换律，结合律是解题的关键，根据题意将第二项与第四项交换，再将第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，由此即可求解． 【详解】解：原等式中第四项与第二项带着符号交换位置，是加法交换律，交换后，第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合， ∴既用了加法交换律，又用了加法结合律， 故选：C ． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，加法的运算律．观察式子的规律，运用有理数加法运算法则及加法运算律，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解； 【考点题型四】有理数乘除法的计算 【例4】个数的乘积为0，则这些数（    ） A．均为0 B．最多有一个为0 C．至少有一个为0 D．有两个数是相反数 【答案】C 【分析】此题考查了多个数的乘法.多个因数相乘，只要有一个因数是0，则积为0，据此进行解答即可. 【详解】解：个数的乘积为0，则这些数至少有一个为0， 故选：C 【变式4-1】下列运算中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法．掌握有理数的除法运算的法则是解题关键． 根据有理数的除法运算法则逐项计算即可． 【详解】，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选A． 【变式4-2】数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数乘法运算．要想积最大，要保证最后的结果必须是正数，因此抽取的卡片负数的个数要为偶数个，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵要想积最大，即要保证最后的结果必须是正数， ∴抽取的卡片负数的个数要为偶数个， ∴抽取的卡片为，，时的积最大，即， 故答案为：120． 【考点题型五】有理数的倒数 【例5】的倒数是（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】乘积是1的两数互为倒数． 解：的倒数是． 故选：C． 【变式4-1】倒数是它本身的数是 ；相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 ． 【答案】 1或 0 非负数 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：倒数是它本身的数是1或；相反数是它本身的数是0；绝对值是它本身的数是非负数， 故答案为：1或；0；非负数． 【考点题型六】有理数乘除法的运算律 【例6】用简便方法计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘除运算，再计算加法运算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式7-2】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算律的使用是解本题的关键； （1）直接利用分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【考点题型七】有理数乘除法的应用 【例7】“十一黄金周”期间，某风景区7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1 2 3 4 5 6 7 人数变化（万人） 注：9月30日游客人数为3万人．问： (1)七天内游客人数最多的一天有多少万人？ (2)游客人数最少的一天是第几天？ (3)若每万人带来的旅游收入是200万，这7天共带来多少万旅游收入？ 【答案】(1)七天内游客人数最多的一天有5.8万人 (2)游客人数最少的一天是第7天 (3)这7天共带来6840万旅游收入 【分析】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的加减法和乘法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）先计算出每天的游客人数，即可得出答案； （2）根据（1）的结果即可得出答案； （3）根据（1）得出的游客人数，再乘以200即可得到答案． 【详解】（1）解：1日的人数是：（万人）； 2日的人数是：（万人）； 3日的人数是：（万人）； 4日的人数是：（万人）； 5日的人数是：（万人）； 6日的人数是：（万人）； 7日的人数是：（万人）． ∴七天内游客人数最多的一天有5.8万人； （2）解：由（1）得：游客人数最少的一天是第7天； （3）解：万人， 万， ∴这7天共带来6840万旅游收入。 【变式7-1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是3650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)红红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1800元．红红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)1400元 (2)3050元 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用： （1）用总费用乘以求出超过650元部分个人支付的费用再加上650，即可得到答案； （2）用1800除以求出超过650元部分，医疗保险基金支付的费用，再加上650即可得到答案． 【详解】（1）（元） 答：他本次住院需要个人支付元． （2）解：（元） 答：红红本次住院的医疗费用一共是3050元． 【考点题型八】幂的概念 【例8】所表示的意义是（    ） A．4乘10 B．4个10相乘 C．10个相乘 D．10个相加 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方，根据定义解答即可．即求n个相同因数积的运算叫做乘方． 【详解】表示10个相乘． 故选：C． 【变式8-1】式子表示的含义是（　　） A．5个2相乘的积的相反数 B．-2与5相乘的积 C．5与2相乘的积的相反数 D．5个-2相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的意义，根据乘方的定义即可求出答案． 【详解】解：表示5个2相乘的积相反数． 故选：A 【变式8-2】的意义是 ，的意义是 ，的意义是 ． 【答案】 的3次幂 3的3次幂的相反数 3的3次幂 【分析】本题考查了乘方及幂的概念，相反数的性质，熟练掌握概念是解题的关键． 根据乘方及幂的概念以及相反数的性质即可得出答案． 【详解】的意义是的3次幂，的意义是3的3次幂的相反数，的意义是3的3次幂． 故答案为：的3次幂，3的3次幂的相反数，3的3次幂． 【考点题型九】乘方的计算 【例9】下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的性质：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．根据有理数的乘方的性质即可作出判断． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，，选项B错误； C、，，故选项C错误； D、，，故选项D错误． 故选：A． 【变式9-1】当时，下列式子：①；② ；③；④ 中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式9-2】计算：的是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．逆用乘法分配律计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型十】乘方的运用 【例10】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可得：第六次后剩下的小棒长为： ， 故选：C． 【变式10-1】一块蛋糕，一只小猴第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，第四天这只小猴又吃了剩下的一半，则第四天这只小猴吃了这块蛋糕的 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方，根据乘方的定义可知，小猴第一天吃了，第二天吃了第三天又吃了，以此类推．第四天这只小猴吃了这块蛋糕的． 【详解】解：小猴第一天吃了， 第二天吃了， 第三天又吃了， 第四天这只小猴吃了这块蛋糕的． 故答案为：． 【变式10-2】为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【分析】设，表示出，然后求解即可． 【详解】解：设， 则， ， ， 故． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 【考点题型十一】科学计数法 【例11】238万元用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．     科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：238万． 故选：B． 【变式11-1】据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故选：D． 【变式11-2】今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为，关于下列说法正确的是（    ） A．是一个5位数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法及有理数的运算，根据科学记数法的定义及有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、是个6位数，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点题型十二】近似数 【例12】下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位是 B．近似数万精确到千位 C．近似数精确到个位 D．近似数与意义一样 【答案】B 【分析】本题考查指出近似数的精确数位．根据近似数的精确方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、精确到十分位是，选项不符合题意； B、近似数万精确到千位，选项符合题意； C、近似数精确到千分位，选项不符合题意； D、近似数与，精确度不一样，意义不一样，选项不符合题意； 故选B． 【变式12-1】近似数为的准确数的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据近似数通长用四舍五入的方法得到，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入，即可得出答案． 本题考查近似数，解题的关键是掌握四舍五入的方法． 【详解】解：近似数精确到百分位，它是千分位上的数字四舍五入得到的，当百分位上的数为9时，千分位上的数字不小于5；当百分位上的数字为0时，千分位上的数字小于5，要特别注意，， ∴，且， 故选：A． 【变式12-2】用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是 ． 【答案】34.9 【分析】本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的一种常用的表示形式, 解题的关键是正确理解近似数的精确度． 把百分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：34.945取近似数精确到十分位，得到的数为34.9， 故答案为：34.9． 【考点题型十三】有理数混合运算 【例13】用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式13-1】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运用相关运算法则进行计算是解答本题的关键． （1）原式先根据分配律将括号展开、去绝对值符号，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算乘方，然后再计算乘法和去绝对值符号，最后再进行加减运算即可； （3）原式先计算乘方，然后再计算乘法和除法，最后再进行加减运算即可 【详解】（1）解： = ； （2）解： ； （3）解： 【变式13-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算除法，再计算乘法即可； （4）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点相对观测点的高度），可得观测点相对观测点的高度是（　　）米． 90米 80米 米 50米 0米 40米 A．210 B．130 C．390 D．170 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正数和负数的知识，熟练掌握正负数在实际生活中的应用是解题的关键．首先认真审题结合所给表格，可以发现：比高90米，比高80米，比高60米，比高50米，比高70米，比高40米；然后再转化为算式，通过变形得出的关系即可． 【详解】解：由表中数据可知：，，，，，， 由，得： ， ∴观测点相对观测点的高度是210米， 故选：A． 2．把写成省略加号与括号的形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，将减法统一成加法，然后再写成省略加号的形式． 【详解】解：， 故选：D． 3．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，将带分数化为假分数，分子分母颠倒位置即可得出答案． 掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 【详解】解：，则的倒数是， 故选：D． 4．2019年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 5．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数加减法，有理数除法和乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 6．下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（   ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断． 【详解】解：A． ∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵，， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．下列语句中的数，不是近似数的是（    ）． A．牛郎星和织女星相距亿千米 B．生物圈中已知的绿色植物有万种 C．某实验中学有人 D．某人的身高为 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，近似数的运用，根据科学记数法的表示形式，近似数的表示方法即可求解． 【详解】解：A、相距亿千米是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； B、绿色植物有万种是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； C、实验室有人，数量相当较少，可以通过计算确定，不是近似数，符合题意； D、身高是大概范围，有一定的误差，是近似数，不符合题意； 故选：C ． 8．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是      （    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、（精确到十分位），故该选项是错误的； B、（精确到0.1），故该选项是正确的； C、（精确到个位），故该选项是错误的； D、（精确到0.000 1），故该选项是错误的； 故选：B 9．绝对值小于2024的所有整数和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义，互为相反数的两个数的绝对值相同，进行计算即可． 【详解】解：绝对值小于2024的所有整数中，除0外，剩下的整数俩俩互为相反数， 故它们的和为0； 故答案为：0． 10．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 11．若a，b互为倒数，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．根据倒数定义可得答案． 【详解】解：∵a和b互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用和探索规律，通过第一次折，第二次折，第三次折，……可以发现折痕数是以为底，以折叠次数为指数的乘方再减去，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， ， 依此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕， ∴对折次，可以得到折痕条， 故答案为：． 13．定义新运算：（右边为常见的加、减、乘、除运算）． 例如：． 若，则称有理数为一组“魅力数对”． 例如：，所以2，3就是一组“魅力数对”． (1)下列各组数是“魅力数对”的是______（请填序号）． ①；②；③． (2)请再写出一组“魅力数对”：______． (3)计算：． 【答案】(1)①③ (2)（答案不唯一） (3)0 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的减法计算： （1）根据新定义结合有理数的减法计算法则进行求解判断即可； （2）根据新定义可得，则是“魅力数对”； （3）根据新定义可把原式变形为，据此同分求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“魅力数对”； ∵， ∴， ∴不是“魅力数对”； ∵， ∴， ∴是“魅力数对”； 故答案为：①③； （2）解：∵， ∴， ∴是“魅力数对”， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解： ． 14．某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)星期二生产景观灯______台； (2)求该厂本周实际生产景观灯的盏数； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元，若未能完成任务，则少生产一盏扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2)盏 (3)元 【分析】本题考查有理数的加法的运用，有理数混合运算的运用，绝对值的意义，解题的关键在于理解题意正确列式计算． （1）根据有理数的加法的运用，即可解题； （2）根据有理数混合运算的运用求解，即可解题； （3）根据这一周的工资总额是基本工资加奖金，即可解题． 【详解】（1）解：（台）， 故答案为：． （2）解：（盏）， 答：该厂本周实际生产景观灯的盏数为盏； （3）解： （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 15．水果超市最近新进了一批橙子，每斤进价10元，9月29日每斤售价15元，国庆黄金周9月30日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周橙子的售价变化情况和售出情况： 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 10 35 10 5 40 (1)10月4日超市售出的橙子的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的橙子的收益如何？（盈利成亏损的钱数） (3)国庆黄金周水果超市出售此种接子的收益如何？ 【答案】(1)9 (2)亏损10元 (3)亏损5元 【分析】本题考查正数和负数及有理数计算的实际应用． （1）根据正负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的单价是9元； （2）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的收益为亏损10元； （3）解：∵每斤进价10元，9月29日每斤售价15元， ∴9月30日利润为：（元）， 10月1日利润为：（元）， 10月2日利润为：（元）， 10月3日利润为：（元）， 10月4日利润为：（元）， 10月5日利润为：（元）， 10月6日利润为：（元）， ∴（元）， 答：国庆黄金周水果超市出售此种橙子收益为亏损5元． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则和加法运算律求解即可； （2）根据有理数加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）先乘除，再加减； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先乘方，去括号，进行乘法运算，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 （4）原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$