精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

连城一中2024—2025学年上期高三年级月考1 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为奇函数得到，化简求出的值即可. 【详解】函数为奇函数， ，即， ， . 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立． 【详解】∵等价于， 当或时，不成立； ∴充分性不成立； 又∵等价于，有； ∴必要性成立； ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角差的正弦公式求得，再由求解. 【详解】解：因为， 所以，解得。 所以， 故选：D 5. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将，代入，得到，再解方程即可. 【详解】由题知：将，代入， 得：，化简得. 即，解得. 故选：A 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论． 【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC， 有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B． 故选：D． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 函数在区间上单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象 【答案】D 【解析】 【分析】求出的最小正周期判断A；计算判断B；判断单调性判断C；求出变换后的函数解析式判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，，直线不是图象的对称轴，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 8. 已知函数的图象关于轴对称，且当时，其导函数满足，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，再结合对称性比较大小即得. 【详解】令，由函数的图象关于轴对称，得函数是偶函数， 则，即函数是奇函数， 当时，由，得， 所以函数在上单调递减， 因此在上单调递减，而， 又，则，即. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断C；利用基本不等式“1”的妙用求解判断D. 【详解】对于A，由，得，且，因此，A正确； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，由，取，则，C错误； 对于D，由， 得， 当且仅当，即时取等号，D错误. 故选：AB 10. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存在零点 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用零点存在性定理判断A；利用导数探讨单调性判断B；求出切线斜率为0的切线方程判断C；当时探讨值的情况判断D. 【详解】函数定义域为，求导得， 对于A，函数在上的图象连续不断，当时，由，得； 而，当时，，函数在上存在零点； 当时，， 函数在上存在零点，因此对任意a，总存在零点，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，无极值点，B错误； 对于C，当时，，由，得，而， 则曲线在处切线为，即曲线与轴相切，C正确； 对于D，当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，又， 则当时，， 函数在区间上单调递增， 因此对任意a，在区间上单调递增，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可知，，结合函数是奇函数，判断函数的周期性和对称性，即可判断选项. 【详解】由，， 又因为函数是奇函数，所以，即， 所以，所以函数是周期为4的函数，- 所以，故A正确； 因为函数是奇函数，则，两边取导数，则， 因为是的导函数，所以，所以函数是偶函数，故B正确； 由，得函数关于对称，因为函数在附近两侧的单调性相反，即是函数的极值点，所以，故C错误； 由，两边取导数，得，即，所以函数的周期为4，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后求出导函数，再求得，从而可求其切线方程. 【详解】由得， ，， 即函数在处切线的斜率为， 函数在处切线的方程为，即. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性和单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数满足，则关于直线对称， 又因为在上单调递减，则在上单调递增， 则由得， 即，解得，则解集为， 故答案为：. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】当为正偶数时，不符合题意，当为正奇数时，只需研究 时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值可解. 【详解】当为正偶数时， 当时，，不符合题意，所以为正奇数， 则当时，恒成立， 只需研究 时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，又因为为正奇数， 所以的最大值为7. 故答案为：7 【点睛】思路点睛：分为奇数、偶数进行讨论，之后采用分离参数的方法求参数的最值. 四、解答题：（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，故，则， 因为，故. 【小问2详解】 由题意，故. 由余弦定理得， 解得. 故的外接圆半径， 故所求外接圆面积. 16. 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 （1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； （2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可知，选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，进而由二项分布即可求解； （2）由题意可得A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 【小问1详解】 设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. 【小问2详解】 因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），证明即得证； （2）设，解方程即得解. 【详解】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得．设，则． （1）依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面． （2）设为平面的法向量， 则，即 不妨令，可得． 同理可求得平面的法向量 由题意，有， 解得．经检验，符合题意． 所以，线段的长为． 【点睛】方法点睛：二面角的求法 方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形） 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值； （2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得,再代入了与基本不等式求最值即可. (2)由题可知若存在则,根据对数不等式性质可知,再分析二次函数的对称轴与区间的位置关系求得的最值分析即可. 【详解】（1）依题意得,2和3是方程的两根 由韦达定理可知： ∴ 又∵,∴ 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. （2）假设存在实数,使得对任意,存在,不等式成立 ∴ ∵时,,∴ ∴在成立 记,其对称轴为, ①当,即时, 由,∴… ②当,即时, 由,∴ 综上所述,不存在实数,使得对任意,存在,不等式成立. 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与系数的关系,同时也考查了恒成立问题以及分类讨论求二次函数的最值问题.属于中档题. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由： 当时，（）， 则 当时， ，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）不存在，理由： 的定义域为，， 假设存在 使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（ ），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在 使的极值差比系数为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2024—2025学年上期高三年级月考1 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 函数在区间上单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象 8. 已知函数的图象关于轴对称，且当时，其导函数满足，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 10. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存在零点 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 11. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为______________． 13. 定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 四、解答题：（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 16. 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 （1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； （2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值； （2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $