5.5 整理和复习（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学六年级上册同步培优讲义（人教版）

5.5 整理和复习 第一部分 知识清单 · 圆是由一条曲线围成的封闭图形。它是平面图形。 · 圆心确定圆的位置。 · 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，圆有无数条对称轴。 · d=2r r=d÷2 · 半径（或直径）决定圆的大小。 · 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 · C=πd 或 C=2πr · 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 · 用S表示圆的面积，圆的面积计算公式就是：S=πr² · 在大圆中间挖去一个小圆，剩下的部分就形成了一个圆环，组成圆环的是两个同心圆。 · S环=πR2−πr2 · S环=π×(R2−r2) · · S圆外切正方形= S正− S圆 · S圆内切正方形= S圆− S正 · · 图上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 · 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 · 顶点在圆心的角叫做圆心角。 第二部分 典型例题 例1：圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）。 A．3.14 B．21.98 C．31.4 答案：B 分析：根据题意可知，面积减少的部分是环形，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 详解：3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98 cm2。 故答案为：B 点睛：此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例2：下图阴影部分的面积是( )。 答案：2.28平方厘米/2.28cm2 分析：根据阴影部分的面积＝两个圆的面积和－正方形的面积，据此求解即可。 详解：3.14×22÷4×2－2×2 ＝3.14×4÷4×2－4 ＝3.14×2－4 ＝6.28－4 ＝2.28（平方厘米） 阴影部分的面积是2.28平方厘米。 例3：一只时钟的分针长8厘米，这根分针的尖端转动一周走过了25.12厘米。( ) 答案：× 分析：根据题意，分针尖端转动一周是以分针为半径的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出分针的尖端转动一周所走的路程，再进行比较，即可解答。 详解：3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 一只时钟的分针长8厘米，这根分针的尖端转动一周走过了50.24厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。 例4：计算并回答下面的问题。 如图所示，大圆中有两个小圆，且两个小圆的直径和正好等于大圆的直径。请问：大圆的周长与两个小圆周长的和相比，谁大些？大圆中阴影部分的面积与两个小圆面积的和相比，谁大些？ 答案：周长相等；大圆中阴影部分的面积比两个小圆的面积和小。 分析：由图知道两个小圆的直径和正好等于大圆的直径，假设最小的圆的直径是2，较小的圆的直径是4，利用圆的周长和面积公式分别求三个圆的周长和面积进行比较即可求出结果。 详解：解：设最小的圆的直径是2，较小的圆的直径是4， 两个小圆周长和：2×3.14＋4×3.14 ＝6.28＋12.56 ＝18.84 大圆周长和：3.14×（2＋4） ＝3.14×6 ＝18.84 18.84＝18.84 所以大圆的周长与两个小圆周长的和相等。 两个圆面积和： 3.14×（2÷2）2＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×1＋3.14×4 ＝3.14＋12.56 ＝15.7 大圆面积： 3.14×[（2＋4）÷2]2 ＝3.14×[6÷2]2 ＝28.26 阴影部分： 28.26－15.7＝12.56 12.56＜15.7 所以大圆中阴影部分的面积比两个小圆的面积和小。 答：大圆的周长与两个小圆周长的和相等，大圆中阴影部分的面积比两个小圆的面积和小。 点睛：本题主要是灵活利用圆的周长和面积公式解决问题。 ：基础过关练 一、选择题 1．下面图形中，（    ）的对称轴最少。 A．长方形 B．正方形 C．等边三角形 D．圆形 2．一个半圆的半径是4厘米，它的周长是（    ）厘米。 A．12.56 B．25.12 C．20.56 D．16.56 3．下面各图，（    ）图中的线段是圆的半径。 A． B． C． 4．关于圆周率π的说法，正确的是（    ）。 A．π是直径和圆周率的比 B．圆的周长除以直径的商 C．π＝3.14 5．圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率（    ）。 A．圆A大 B．圆B大 C．一样大 D．不确定大小 二、填空题 6．( )确定圆的中心位置，( )决定圆的大小。 7．如果两个圆的直径相等，它们的周长( )。 8．圆的半径扩大到原来的5倍，这个圆的周长就扩大到原来的( )倍。 9．如下图，点A是圆心，点B、C在圆周上。聪聪说：“△ABC一定是等腰三角形。”他判断的依据是( )。如果∠1＝70°，那么∠2＝( )°。 10．把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多了10cm，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 三、判断题 11．时针长的挂钟，经过12时，时针针尖经过的路程和时针扫过的面积恰好相等。( ) 12．半径相等的两个圆面积相等。( ) 13．圆、圆环、扇形都有无数条对称轴。( ) 14．一个圆越大，其周长与直径的比值就越大。( ) 15．大圆的半径等于小圆的直径，则大圆的周长和面积都是小圆的2倍。( ) ：培优提升练 四、计算题 16．求阴影部分的面积。（单位：cm） 17．求阴影部分的周长。（单位：cm） 五、解答题 18．在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？ 19．共享单车不仅解决了“最后一公里”问题，而且低碳环保。一种共享单车的车轮半径是45厘米，如果车轮每分钟转100周，要通过长2826米的大桥，需要几分钟？ 20．李叔叔骑一辆车轮外直径为60厘米的自行车，已知自行车车轮平均每分钟转80圈，李叔叔从家到书店骑车要用15分钟。李叔叔家到书店的路程大约是多少千米？（得数保留整数） 21．如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 22．如图，已知正方形的边长为2厘米，求阴影S1与阴影S2面积的最简单的整数比。 1．A 分析：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，根据对称轴定义即可找出各图形对称轴的数量。 详解：A．长方形的对称轴：分别沿长方形的两个长或两个宽的中点对折，对折后的两部分都能完全重全，这两条折痕所在的直线就是长方形的对称轴，所以长方形有2条对称轴； B．正方形的对称轴：每组对边中点连线所在的直线以及每组对角连线所在的直线，共有4条对称轴； C．等边三角形的对称轴：每条高所在的直线，共有3条对称轴； D．圆形的对称轴：每条通过圆的中心点所在的直线，共有无数条对称轴。 故答案为：A 2．C 分析：半圆周长＝圆周长÷2＋直径，圆周长＝2πr，直径＝半径×2。将数据代入公式，求出这个半圆的周长。 详解：2×3.14×4÷2＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 所以，它的周长是20.56厘米。 故答案为：C 3．B 分析：连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，据此定义解答。 详解：A．该图的线段不是半径，因为线段没经过圆心； B．该图的线段是半径，因为线段的一端在圆上另一端是圆心； C．该图的线段不是半径，线段虽然经过圆心，但线段一端在圆上另一端在圆外； 故答案为：B 4．B 分析：圆的周长与直径的比值叫做圆周率。用字母π表示，π是一个无限不循环小数。据此解答。 详解：A．π是圆的周长和它直径的比值，故该选项错误； B．圆的周长与直径的比值也就是它们的商叫做圆周率，该选项说法正确； C． 圆周率是一个无限不循环小数，3.14是π的近似值，故该选项错误。 故答案为：B 5．C 分析：圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，据此解答。 详解：圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，与圆的直径是多少无关，所以圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率一样大。 故答案为：C 6． 圆心 半径 详解：如图： 圆心确定圆的中心位置，半径决定圆的大小。 7．相等 分析：根据圆的周长＝×直径，圆周率是一个定值，据此解答。所以如果两个圆的直径相等，它们的周长相等。 详解：圆的周长＝×直径，圆周率是一个定值，所以如果两个圆的直径相等，它们的周长相等。 8．5 分析：根据圆的周长＝2××半径，是一个定值，则圆的周长是半径的2倍，当圆的半径扩大到原来的5倍，根据积的变化规律，当其他因数不变，一个因数扩大到原来的几倍，则积也扩大到原来的几倍，可得周长也扩大到原来的5倍，据此得解。 详解：由分析可知，圆周长＝2××半径，当半径扩大到原来的5倍，这个圆的周长就扩大到原来的5倍。 9． 同一个圆的半径都相等 55 分析：根据题意，点A是圆心，点B、C都在圆周上，在同一个圆中，从圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离就是圆的半径，据此解答；根据题意，已知∠1＝70°，任意一个三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，其三个内角的度数之和都是 180°，所以，180°－70°＝110度，△ABC是等腰三角形，2个底角相等，所以110°÷2即可，据此解答。 详解：聪聪说：“△ABC一定是等腰三角形。”他判断的依据是同一个圆的半径都相等； （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 那么∠2＝55° 10． 5 78.5 分析：由题意可知，长方形周长比圆的周长多的部分是两个圆的半径，据此用10cm除以2，求出圆的半径。再根据圆的面积公式，列式计算出它的面积即可。 详解：（cm） （cm2） 这个圆的半径是5cm，面积是78.5cm2。 11．× 分析：钟面时针，经过12时，刚好旋转一周，是个圆，圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此计算出的得数虽然一样，但是周长指的是封闭图形一周的长度，面积指的是封闭图形的大小，无法比较，据此分析。 详解：2×3.14×2＝12.56（dm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 时针长的挂钟，经过12时，时针针尖经过的路程是12.56dm，时针扫过的面积是12.56dm2，长度和面积无法比较，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．√ 分析：根据圆的面积公式：可知，圆的面积大小与半径有关，据此解答即可。 详解：半径相等的两个圆的面积相等。原题说法正确。 故答案为：√ 13．× 分析：一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。据此判断即可。 详解：圆、圆环的对称轴是每条直径所在的直线，所以圆、圆环有无数条对称轴。 扇形的对称轴是圆心和弧的中点连线所在的直线，所以扇形只有1条对称轴。 原题说法错误。 故答案为：× 14．× 分析：根据圆的周长公式：C＝d，由此可得C∶d＝，也就是周长和直径的比值是，是一个固定的数，我们称它为圆周率，据此答题即可。 详解：周长∶直径＝（一定），所以周长与直径的比值是一定的，不随圆的大小而改变。 故答案为：× 15．× 分析：采用赋值法将大圆的半径取得具体值，根据圆的周长公式C＝2πr＝πd，圆的面积公式S＝πr2，求出大、小圆周长和大、小圆面积之间的关系，再进行判断。 详解：假设大圆的半径为4，则小圆的直径为4，小圆的半径为2。 大圆的周长：3.14×4×2＝25.12 小圆的周长：3.14×4＝12.56 25.12÷12.56＝2 大圆的周长是小圆的2倍； 大圆的面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24 小圆的面积：3.14×22＝3.14××4＝12.56 50.24÷12.56＝4 大圆的面积是小圆的4倍。 故答案为：× 16．31.74cm2 分析：看图，阴影部分的面积＝长方形面积－四分之一圆的面积。根据“长方形面积＝长×宽”求出长方形的面积。根据“圆面积公式S＝πr2”先求出圆的面积，再将圆面积除以4，求出四分之一圆的面积。最后利用减法，求出阴影部分面积。 详解：10×6－3.14×62÷4 ＝60－3.14×36÷4 ＝60－28.26 ＝31.74（cm2） 阴影部分的面积是31.74cm2。 17．18.84cm 分析：观察图形可知，阴影部分的周长包括两条长度相等的弧长，其中每条弧的长度等于半径为6cm的圆周长的，那么阴影部分的周长等于圆周长的一半。根据圆的周长＝2πr求出整圆的周长，再除以2即可解答。 详解：6×2×3.14÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 则阴影部分的周长是18.84cm。 18． 7.536米 分析：由题意可知，A，B两点的距离是内外圈周长之差，根据圆的周长公式，，假设外圆半径为R，内圆半径为r，则，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差，代入数据计算即可。 详解： （米） 答：A，B两点的距离是7.536米。 点睛：本题关键是明确A，B两点的距离是内外圈周长之差，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。 19．10分钟 分析：根据圆的周长求出共享单车的车轮周长，进的得出每分钟行驶的距离，最后根据时间＝路程÷速度即可解答。 详解：45×2×3.14 ＝90×3.14 ＝282.6（厘米） 282.6厘米＝2.826米 2.826×100＝282.6（米） 2826÷282.6＝10（分钟） 答：需要10分钟。 20．2千米 分析：圆的周长是车轮转一圈所走的路程，根据圆周长公式，可计算出车轮转一圈所走的路程，自行车车轮平均每分钟转80圈，即有每分钟有80个圆的周长，可用乘法算出自行车每分钟的速度，李叔叔从家到书店骑车要用15分钟，根据，即可解答。注意最后要把单位转化为千米，得数采用“四舍五入”法保留整数。 详解：（厘米） 答：李叔叔家到书店的路程大约是2千米。 21．45平方厘米 分析：如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 详解：设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 点睛：本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 22．3∶1 分析：S2面积＝（正方形面积－直径2厘米圆的面积）÷4，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方；S1面积＝正方形面积－半径2厘米的圆的面积－ S2面积，据此分别计算阴影S1与阴影S2面积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出阴影S1与阴影S2面积的比，化简即可。 详解：S2面积：[2×2－3.14×（2÷2）2]÷4 ＝[4－3.14×12]÷4 ＝[4－3.14]÷4 ＝0.86÷4 ＝0.215（平方厘米） S1面积：2×2－3.14×22×－0.215 ＝4－3.14×4×－0.215 ＝4－3.14－0.215 ＝0.645（平方厘米） 0.645∶0.215＝645∶215＝（645÷215）∶（215÷215）＝3∶1 答：阴影S1与阴影S2面积的最简单的整数比是3∶1。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$