专题02 基本不等式及其应用（12种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题02 基本不等式及其应用（12种题型专项训练） 一、直接使用基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 3．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 4.（23-24高一上·新疆·期中）已知，且，则的最小值为 ． 5．（2023·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 二、配凑法（共3小题） 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 7．（21-22高一上·上海宝山·阶段练习）若，则的最小值为 . 8．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则的最小值为 ． 三、“1”的妙用（共6小题） 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知且，则的最小值为 . 10．（23-24高一上·四川达州·期中）已知，，，则的最小值是 ． 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 14．（20-21高三上·天津·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 四、分离常数法（共2小题） 15．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 16．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 五、和积互化（共1小题） 17．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 6、 换元法（共1小题） 18．（21-22高二上·上海宝山·期末）若实数、满足，则的取值范围为 . 7、 平方法（共2小题） 19．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）若，则的最大值是 . 20．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知，，． 求的最大值． 8、 消元法（共3小题） 21．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 . 22．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 23．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知正数，，满足，则的最小值为 . 9、 多次使用基本不等式（共4小题） 24．（21-22高三上·上海杨浦·开学考试）设正数，，当取最小值时，的值为 . 25．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 26．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知实数，，则当取到最小值时， ． 27．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为 . 十、材料题（共2题） 28．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 29．（高一上·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用基本不等式，得到， 于是，当且仅当时，取到最小值. （1）老师请你模仿例题，研究上的最小值； （提示：） （2）研究上的最小值； （3）求出当时，的最小值. 十一、利用基本不等式证明（共1题） 30.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 十二、基本不等式的应用（共2题） 31．（23-24高一上·浙江杭州·期中）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 32．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式及其应用（12种题型专项训练） 一、直接使用基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时取最小值. 故答案为：； 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以，则， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为1. 故答案为：1 3．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【解析】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 4.（23-24高一上·新疆·期中）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2023·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 【答案】4 【解析】，当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 二、配凑法（共3小题） 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 【答案】 5 14 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：；. 7．（21-22高一上·上海宝山·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】7 【解析】， 当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7. 故答案为：7. 8．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 三、“1”的妙用（共6小题） 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 10．（23-24高一上·四川达州·期中）已知，，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，，由，两边同时除以，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18． 故答案为：. 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】25 【解析】由得： ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：25 12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14．（20-21高三上·天津·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由已知得，然后利用基本不等式求最值即可. 【解析】由题可知，，且，所以 ， 当且仅当等号成立， 故答案为：. 四、分离常数法（共2小题） 15．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【解析】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 16．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 五、和积互化（共1小题） 17．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 6、 换元法（共1小题） 18．（21-22高二上·上海宝山·期末）若实数、满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】解：设， 由于， 所以， 由于，(当且仅当时取等号) 所以(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)， 故， ， 所以， 整理得：． 故的取值范围为的取值范围． 故答案为：． 7、 平方法（共2小题） 19．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）若，则的最大值是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 取等号时，即， 所以的最大值为， 故答案为：. 20．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知，，． 求的最大值． 【答案】 【解析】, 当且仅当,即时取等号. 所以的最大值为. 8、 消元法（共3小题） 21．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1 . 故答案为：. 22．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】正数、满足，则 则， 又时，，则， 则的最小值为. 23．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知正数，，满足，则的最小值为 . 【答案】24 【解析】因为， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：24 9、 多次使用基本不等式（共4小题） 24．（21-22高三上·上海杨浦·开学考试）设正数，，当取最小值时，的值为 . 【答案】 【解析】∵，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴题设代数式取最小值时，的值为. 故答案为： 25．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 26．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知实数，，则当取到最小值时， ． 【答案】 【解析】由题意可得:，当且仅当，原式取“”， 因为，，所以； 所以， 当且仅当,原式取“”， 要使得能取到最小值，则需同时满足：，解得：， 所以. 故答案为：. 27．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为 . 【答案】 【解析】， 而，当且仅当时等号成立， 由可得或， 故，当且仅当或等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 十、材料题（共2题） 28．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【解析】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 29．（高一上·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用基本不等式，得到， 于是，当且仅当时，取到最小值. （1）老师请你模仿例题，研究上的最小值； （提示：） （2）研究上的最小值； （3）求出当时，的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （2）由， 知 当且仅当时，取到最小值； （3）由， 知； 当且仅当时，取到最小值． 十一、利用基本不等式证明（共1题） 30.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 十二、基本不等式的应用（共2题） 31．（23-24高一上·浙江杭州·期中）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)时，矩形的面积最小，最小面积2400 (2) 【解析】（1）设出的长为，则， ，，， ∴矩形的面积， 由基本不等式得：， 当且仅当时，取“=”，当,即时，； （2）由（1）得，即， ∴， ∴或， 的范围在． 32．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)汽车的平均速度应大于且小于. 【解析】（1）解：依题得. 当且仅当，即时，等号成立， （千辆/时）. 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得，因为， 所以整理得，即，解得. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$