串讲05 第5章 函数概念与性质（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲 串讲 05 第5章 函数概念与性质 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是_______________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________________ 定义域 x叫做_________，x的______________叫做函数的定义域 函数值 与_________相对应的y值 值域 函数值的集合___________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 知识点　 (1)函数的概念 f：A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 取值范围A x的值 {f(x)|x∈A} 考点1.函数的概念 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． [点拨]　(1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定就是解析式． (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 考点2.区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__________，表示为__________； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__________，表示为__________； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做______________，分别表示为______________． 闭区间 [a，b] 开区间 (a，b) 半开半闭区间 [a，b)，(a，b] 考点2.区间的概念 这里的实数a与b都叫做相应区间的_________． 实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“_________”，“－∞”读作“___________”，“＋∞”读作“___________”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为___________，_____________，_____________，_____________． 端点 (－∞，＋∞) 无穷大 [a，＋∞) 负无穷大 正无穷大 (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 考点2.区间的概念 区间 数轴表示 _________ _________ _________ _________ (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示________________的端点，用空心点表示__________________的端点． 包括在区间内 不包括在区间内 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 考点2.区间的概念 区间 数轴表示 _____________ _____________ _____________ _____________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 (－∞，b) 考点3.同一个函数的判定、常见函数的值域 　 如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 　 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值域是______． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是______，当a>0时，值域为 __________________，当a<0时，值域为____________________． 定义域 对应关系 R R R 考点4. 函数的表示法 (1)解析法：________________________________________． (2)列表法：________________________________________． (3)图象法：________________________________________． [想一想]　任何一个函数都可以用解析法或列表法表示吗？ 用解析式表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 提示 提示：不是． 考点5.描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接 起来． [提醒]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 考点6. 函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 ____________________________________________叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______． 如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______． 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质 ∀x1，x2∈I f(x1)<f(x2) 递增 ∀x1，x2∈I f(x1)>f(x2) 递减 考点7.增函数、减函数 当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是减函数． [想一想]　若函数f(x)在区间I⊆D上单调递增，则此函数一定是增函数吗？ 定义域 单调递增 定义域 提示 提示：不一定． 单调递减 考点8.单调区间 　 如果函数y＝f(x)在区间I上___________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________ ，________叫做y＝f(x)的单调区间． [想一想]　若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间一定是[1，3]吗？ 提示 提示：不一定． 单调递增 单调递减 单调性 区间I 考点9.函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)____M f(x)_____M ∃x0∈D，使得___________ 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的_______ ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 考点10.偶函数、奇函数的定义 　 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果__________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数． [点拨]　奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)． ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 考点11.偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________________________；反之，____________________________________________________． (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________． [想一想]　是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？ y轴为对称轴的轴对称图形 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数 坐标原点为对称中心的中心对称图形 提示 提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合． 如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数 考点12.函数奇偶性与单调性的关系 知识点　 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________ ，即在对称区间上单调性______． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上_________ ，即在对称区间上单调性_______． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为_____． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为_____ ． 以上a，b符号相同． 单调递增 相同 单调递减 相反 －M N 02 典例透析 考点1.函数关系的判断 答案 解析 【例题1】图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________． 解析：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有②③. ②③ 考点2.求函数的定义域 考点2.求函数的定义域 解 考点3.求函数值域 考点3.求函数值域 解 考点4.区间的应用 【例题4】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|x<2}； (2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}； (3){x|2≤x≤8，且x≠5}； (4){x|3<x<5}． 解 　(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图． 解 考点4.区间的应用 (2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图． (3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图． (4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图． 解 考点5.求函数的值域 解 考点5.求函数的值域 解 考点6.同一个函数的判定 答案 解析 考点7.求抽象函数的定义域 答案 解析 考点8.函数表示法 解 【例题8】某商场新进了10台空调，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：①列表法： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000 27000 30000 考点8.函数表示法 解 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}． 考点9.函数图象的作法及应用 考点9.函数图象的作法及应用 解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5. 所画图象如图①所示． (2)因为0≤x<5，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－4x介于0≤x<5之间的一部分，如图②所示． (3)函数图象如图③所示． 解 考点10.函数解析式的求法 解 考点10.函数解析式的求法 解 考点11.证明或判断函数的单调性 证明 考点12.求函数的单调区间 解 考点13.函数单调性的应用 【例题13】已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． 解：由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，故f(1)＝f(3)， 由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)． 解 考点14.函数单调性的应用 【例题14】已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 解 考点15.利用图象求函数最值 【例题15】已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|. (1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数的图象求其最值． 解 考点16.利用单调性求函数最值 解 考点16.利用单调性求函数最值 解 考点17.定轴定区间求函数最值 解 【例题17】已知函数f(x)＝x2－2x－3， ①若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值； ②若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值． 解： ①∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(1)＝－4. 考点17.定轴定区间求函数最值 解 考点17.定轴定区间求函数最值 解 考点18.函数最值的实际应用 考点18.函数最值的实际应用 解 考点18.函数最值的实际应用 解 考点19.函数奇偶性的判断 解 解： (1)f(x)的定义域是R，关于原点对称， 又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)， 故f(x)是偶函数． 考点19.函数奇偶性的判断 解 考点20.奇、偶函数的图象及应用 答案 解析 【例题20】已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为__________________． 解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5] 上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它 在[－5，0]上的图象，从而得到y＝f(x)在[－5，5]上的图象，如 图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． (－2，0)∪(2，5) 考点21.利用函数的奇偶性求值 答案 解析 【例题21】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________． 解析：由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1. －1 考点22. 利用奇偶性求函数解析式 答案 解析 【例题22】已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________． x(x＋1) 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x>0时，f(x)＝x(x＋1)． 考点23.利用奇偶性与单调性比较大小 答案 解析 【例题23】设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为__________________． 解析：由偶函数的单调性知，若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)． f(π)>f(－3)>f(－2) 考点24. 利用奇偶性与单调性解不等式 解：∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝1. ∵－1≤f(x－2) ≤1， ∴f(1) ≤ f(x－2) ≤ f(－1)． ∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3，即x的取值范围为[1，3]． 答案 解析 【例题24】已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，求满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围． 03 考场练兵 1．(2024·吉林长春十一高中高一上期中)如果函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}． 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析 6．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－∞，4] 答案 解析 7．(2024·湖北黄冈高一上期末)若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 8．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝(　　) A．x3＋1 B．x3－1 C．－x3＋1 D．－x3－1 解析：当x<0时，－x>0，得f(－x)＝－x3＋1，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x3－1. 答案 解析 9．设a，b∈R，且a>0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)＝(　　) A．4 B．8 C．10 D．16 解析：因为a>0，所以g(x)＝ax＋b在[－1，1]上单调递增，又g(x)的最大值为2，所以a＋b＝2.所以f(2)＝4＋2a＋2b＝4＋2(a＋b)＝8. 答案 解析 10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为(　　) A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元 解析：设售价为x元/个，利润为y元，则y＝[400－20(x－90)](x－80)＝－20(x－95)2＋4500(80≤x≤110)，所以当x＝95时，y有最大值． 答案 解析 答案 12．(多选)(2024·安徽合肥八中高一上质检)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16 C．f(x)＝4x2 D．f(x)＝x2－2x＋1 答案 解析 13．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是_________，单调递减区间是_____________________． 答案 解析 14．已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)≥0的解集． 解 解 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 【例题2】 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)y＝eq \f(1,x＋1)； (3)y＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)；(4)y＝eq \f(x＋1,x2－1)； (5)y＝(1－2x)0. 解：(1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}． (2)要使函数有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}． (3)要使函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，)) 所以x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}． (4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，eq \f(x＋1,x2－1)有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}． (5)因为1－2x≠0，即x≠eq \f(1,2)， 所以函数的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2))))). 【例题3】 已知函数f(x)＝eq \f(1,x＋2)，g(x)＝3x2＋1. (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(1))的值； (3)求f(a－1)，g(a＋1)，f(g(a＋1))． 解：(1)f(1)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3)，g(1)＝3×12＋1＝4. (2)f(g(1))＝f(4)＝eq \f(1,4＋2)＝eq \f(1,6). (3)f(a－1)＝eq \f(1,（a－1）＋2)＝eq \f(1,a＋1)， g(a＋1)＝3(a＋1)2＋1＝3a2＋6a＋4， f(g(a＋1))＝f(3a2＋6a＋4)＝eq \f(1,3a2＋6a＋6). 【例题5】 求下列函数的值域： (1)y＝eq \r(16－x2)； (2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)； (3)y＝eq \f(x,x＋1)； (4)y＝2x＋4eq \r(1－x). 解：(1)∵0≤16－x2≤16， ∴0≤eq \r(16－x2)≤4，即函数y＝eq \r(16－x2)的值域为[0，4]． (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2， 由1≤x≤5，结合函数图象知y∈[2，11]． (3)∵y＝eq \f(x,x＋1)＝eq \f(x＋1－1,x＋1)＝1－eq \f(1,x＋1)，且定义域为{x|x≠－1}， ∴eq \f(1,x＋1)≠0，即y≠1.∴函数y＝eq \f(x,x＋1)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞). (4)令t＝eq \r(1－x)(t≥0)，则x＝1－t2， 则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)． 当t＝1时，y取得最大值4， 故函数y＝2x＋4eq \r(1－x)的值域为(－∞，4]． 【例题6】 下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝2x＋1与y＝eq \r(4x2＋4x＋1) B．y＝eq \f(x2,x)与y＝x0 C．y＝eq \f(x2－x,x)与y＝x－1 D．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 解析：∵y＝eq \r(4x2＋4x＋1)＝eq \r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|，∴A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；C中的定义域不同；只有D符合题意． 【例题7】 已知f(x2－1)的定义域为{x|1≤x≤3}，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) 解析：由f(x2－1)的定义域为[1，3]，得x∈[1，3]，所以x2∈[1，9]，所以x2－1∈[0，8]，f(x)的定义域为[0，8]，令2x－1∈[0，8]，得2x∈[1，9]，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2)))，所以f(2x－1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))). 【例题9】作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝x2－4x，x∈[0，5)； (3)y＝eq \f(1,x). 【例题10】 求下列函数的解析式： (1)已知f(eq \r(x)－1)＝x，求f(x)的解析式； (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，求f(x)的解析式； (3)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)令t＝eq \r(x)－1(t≥－1)， 则x＝(t＋1)2. ∴f(t)＝(t＋1)2(t≥－1)． ∴f(x)的解析式为f(x)＝(x＋1)2，x≥－1. (2)(配凑法)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1)) eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＋1，eq \f(1,x)≠0，∴1＋eq \f(1,x)≠1， ∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． (3)(解方程(组)法)令x－1＝t，则1－x＝－t，x＝t＋1. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（t）－f（－t）＝2（t＋1）2－1，,2f（－t）－f（t）＝2（－t＋1）2－1，)) 解得f(t)＝2t2＋eq \f(4,3)t＋1. 即f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋eq \f(4,3)x＋1. 证明：∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq \f(4（x2－x1）,x1x2)＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－4）,x1x2). ∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． 【例题11】证明：函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在(2，＋∞)上单调递增． 【例题12】作出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,（x－2）2＋3，x>1))的图象，并指出函数的单调区间． 解：函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,（x－2）2＋3，x>1))的图象如图所示： 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和 (1，2)，单调递增区间为[2，＋∞)． 解：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，))解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，所以x－2<1－x，解得x<eq \f(3,2)，② 由①②得1≤x＜eq \f(3,2). 所以x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 解：(1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，f(x)＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，f(x)＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－2，x≥1，,－5x＋2，0≤x<1，,x＋2，x<0.)) 结合上述解析式作出图象，如图所示． (2)由图象可以看出，当x＝0时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2，函数没有最小值． 【例题16】已知函数f(x)＝x＋eq \f(16,x). (1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明； (2)求函数f(x)在[6，9]上的最值． 解：(1)函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增． 证明如下：∀x1，x2∈(4，＋∞)，且x1>x2. 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(16,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(16,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x1)－\f(16,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(16(x2－x1),x1x2)＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－16）,x1x2). 因为x1>4，x2>4，所以x1x2>16，即x1x2－16>0， 又因为x1>x2，则x1－x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知，函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在[6，9]上单调递增． 故函数f(x)在[6，9]上的最小值为f(6)＝6＋eq \f(16,6)＝eq \f(26,3)，最大值为f(9)＝9＋eq \f(16,9)＝eq \f(97,9). ②由①知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1， (ⅰ)当1≥t＋2，即t≤－1时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. (ⅱ)当eq \f(t＋t＋2,2)≤1<t＋2，即－1<t≤0时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(1)＝－4. (ⅲ)当t≤1<eq \f(t＋t＋2,2)，即0<t≤1时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4. (ⅳ)当1<t，即t>1时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)， 则有g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－2t－3，t≤0，,t2＋2t－3，t>0，)) φ(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋2t－3，t≤－1，,－4，－1<t≤1，,t2－2t－3，t>1.)) 【例题18】经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数f(t)(单位：千人)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足f(t)＝1＋eq \f(9,t)(0<t≤18，t∈N＋)，人均消费g(t)(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋1，1≤t≤9，t∈N＋，,9－\f(9,t)，9<t≤18，t∈N＋.)) (1)求该商场的日收入w(t)(单位：千元)与时间t(单位：天)(1≤t≤18，t∈N＋)的函数关系式； (2)求该商场日收入的最小值(单位：千元)． 解：(1)由题意可得，该商场日收入的函数关系式为w(t)＝f(t)·g(t) ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（t＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,t)))，1≤t≤9，t∈N＋，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(9,t)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,t)))，9<t≤18，t∈N＋，)) 所以w(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋\f(9,t)＋10，1≤t≤9，t∈N＋，,－\f(81,t2)＋\f(72,t)＋9，9<t≤18，t∈N＋.)) (2)由(1)可得w(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋\f(9,t)＋10，1≤t≤9，t∈N＋，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,t)－4))\s\up12(2)＋25，9<t≤18，t∈N＋，)) ①当1≤t≤9时，t＋eq \f(9,t)＋10≥16，当且仅当t＝eq \f(9,t)， 即t＝3时取等号； ②当9<t≤18时，eq \f(9,t)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，当且仅当eq \f(9,t)＝eq \f(1,2)， 即t＝18时取最小值eq \f(51,4). 综合①②可得，该商场日收入的最小值为eq \f(51,4)千元． 【例题19】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|； (2)f(x)＝eq \f(\r(2－x2),|x＋2|－2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) (2)x的取值必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))解得－eq \r(2)≤x<0或0<x≤eq \r(2)，它关于原点对称． 于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝eq \f(\r(2－x2),x)，显然它是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0. 故f(x)为奇函数． 2．(2024·浙江杭州余杭高级中学高一上月考)函数y＝eq \r(－x2＋x＋6)＋eq \f(1,x－1)的定义域为(　　) A．{x|－2≤x≤3} B．{x|－2≤x<1，或1<x≤3} C．{x|x≤－2，或x≥3} D．{x|－2<x<1，或1<x<3} 解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x＋6≥0，,x－1≠0，))解得－2≤x<1或1<x≤3.故选B. 3．(2024·山东济南一中高一上月考)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x＋1)))＝x2－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(8,9) B．－eq \f(3,4) C．8 D．－8 解析：令eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,3)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(8,9).故选A. 4．(2024·湖北襄阳五中高一上月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，3]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的定义域是(　　) A．[－3，1) B．(0，1) C．[0，1) D．[－3，1] 解析：由函数f(x)的定义域是[－1，3]，结合函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的特征可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤2x－1≤3，,1－x≥0，,\r(1－x)≠0，))解得0≤x<1，故函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的定义域为[0，1)．故选C. 5．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1) B．f(x)＝－eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1) C．f(x)＝eq \f(x,1＋x2)(x≠－1) D．f(x)＝－eq \f(x,1＋x2)(x≠－1) 解析：令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，所以f(t)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))\s\up12(2))＝eq \f(2t,t2＋1)(t≠－1)，所以f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1)．故选A. 解析：对于A，两个函数的定义域分别是N与Z，不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，且g(x)＝eq \r(x2)＝|x|，对应关系相同，故是同一个函数；对于C，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，函数g(t)的定义域为{t|t>0}，且f(x)＝eq \f(（\r(x)）4,x)＝x，g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,\r(t)))) eq \s\up12(2)＝t，故对应关系相同，故是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数．故选BC. 解析：由题意知，函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,4)，且图象开口向上，由f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，得eq \f(a,4)≤1，即a≤4. 解析因为函数f(x)是定义在[2－2a，a]上的偶函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2a＋a＝0，,2b－a＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以a－b＝2－1＝1.故选A. 11．(多选)(2024·重庆南开中学高一上期中)下列四组函数中是同一个函数的是(　　) A．f(n)＝n＋1，n∈N；g(x)＝x－1，x∈Z B．f(x)＝|x|；g(x)＝eq \r(x2) C．f(x)＝eq \f(（\r(x)）4,x)；g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,\r(t)))) eq \s\up12(2) D．f(x)＝eq \r(x2)；g(x)＝(eq \r(x))2 解析：当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不正确；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B正确；令t＝2x＋1，则x＝eq \f(t－1,2)，因此f(t)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2))) eq \s\up12(2)＝t2－2t＋1，即f(x)＝x2－2x＋1，所以C不正确，D正确．故选BD. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) (－∞，0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：y＝|x|(1－x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x<0，))作出其图象如图，观察图象知其单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，单调递减区间是(－∞，0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 解：(1)根据题意，函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，则f(0)＝0，当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)， 又f(x)为奇函数， 则f(x)＝－f(－x)＝x(x－1)， 则f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x＋1），0≤x≤3，,x（x－1），－3≤x<0.)) (2)由(1)知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x＋1），0≤x≤3，,x（x－1），－3≤x<0，)) 结合函数图象可知f(x)在[－3，3]上为减函数， 则f(1－m)＋f(1－m2)≥0⇒f(1－m) ≥－f(1－m2)⇒f(1－m)≥f(m2－1) ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤m2－1，,－3≤1－m≤3，,－3≤1－m2≤3，)) 解得m＝－2或1≤m≤2， 即不等式的解集为{m|m＝－2，或1≤m≤2}． $$