串讲01 第1章 集合（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲 串讲 01 第1章 集合 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：________、_______、________. (2)元素与集合的关系是_____或_______，用符号___或____表示. (3)集合的表示法：_______、_______、_______. 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ___  N*(或N＋) ___  ___  ___  N Z Q R 考点2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_______(或BA). (3)相等：若A⊆B，且_____，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是___________的子集，是______________的真子集. 任意一个元素 A⊆B x∉A AB B⊆A 任何集合 任何非空集合 考点3．集合的基本运算 考点4.集合的运算性质 02 典例透析 考点1. 集合的含义与表示 【例题1】设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为 A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 √ 如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点， 故集合A∩B有两个元素. 考点2.集合间的基本关系 【例题2】已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是 A.A＝B B.A∩B＝∅ C.AB D.B⊆A √ 由题设，可得A＝{x|x>2}， 又B＝{x|x≥－3}， 所以A是B的真子集， 故A，B，D错误，C正确. 考点3. 集合的运算 【例题3】已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于 A.∅ B.S C.T D.Z √ 方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T. 方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T. 考点4.利用集合的运算求参数的值(范围) 【例题4】已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为 A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}， ∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1. √ 考点5.集合的新定义问题 【例题5】(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时， ∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是 A.0是任何数域的元素 B.若数域F有非零元素，则2 023∈F C.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域 D.有理数集为数域 √ √ √ 考点5.集合的基本概念 答案 解析 考点6.集合间的基本关系 答案 解析 考点7.集合间的交、并、补运算 答案 解析 考点8.利用集合的运算求参数 答案 解析 考点9.集合语言与思想的运用 答案 解析 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 3.(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于 A.{(2，－1)} B.{2，－1} C.{(1,2)} D.{1,2} √ 4.设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B等于 A.{x|－1<x<2} B.{x|x<2} C.{0,1} D.{1} √ 由2x<4可得x<2， 则A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}， B＝{x∈N|－1<x<2}＝{0,1}， 所以A∪B＝{0,1}. 答案 解析 6.(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为 A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) √ 由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1. 8.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是 A.A∩B＝∅ B.A∩B＝B C.A∪B＝U D.(∁UB)∪A＝A √ √ 令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B， 但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确； 由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U， 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A， ∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确. 7.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是 A.A∩B＝∅ B.A∩B＝B C.A∪B＝U D.(∁UB)∪A＝A √ √ 令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B， 但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确； 由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U， 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A， ∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确. 8.已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}.当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________________. [－5,3] [0,2]∪(4，＋∞) A＝{x|－3≤x≤3}， 当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}， 此时A∪B＝[－5,3]. 由A∩B＝B可知B⊆A. 若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4； 综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞). 答案 解析 {－5，－2，4} 运算 自然语言 符号语言 Venn图 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝eq \x(\s\up1(20))_________________ 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝eq \x(\s\up1(21))__________________ 补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝eq \x(\s\up1(22))__________________ {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 【例题5】下列四个命题正确的是(　　) A．10以内的素数集合是{1，3，5，7} B．0与{0}表示同一个集合 C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} 解析　10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D. 【例题6】(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C.eq \f(2,3) D．－1 解析　因为A⊆B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. 【例题7】(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．2 解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. 【例题8】已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(0，3] D．(0，3) 解析　由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq \f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C. 【例题9】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 解析　设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 8 一、单项选择题 1．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析　因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以eq \a\vs4\al(∁)U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{－1，4} 解析　B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故选B. 联立 解得则M∩N＝{(1,2)}. 5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A. 若B≠∅，则解得0≤m≤2， 9．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝__________________． 解析　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．综上，A∪B＝{－5，－2，4}． $$