上分专题01 集合中的创新问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

上分专题01 集合中的创新问题 命题密钥 集合中的创新问题常考题型包括新定义问题（如“正交集合”“差集”等）、新运算问题（如 定义新的集合运算符号或运算方式)以及新性质问题（如集合元素的特定关系或集合的特定 结构)，这些题目往往与传统的集合问题相结合，突出对学生数学学科素养的考查，特别是现 场理解新的概念和运用所学知识解题的能力，是命题者青睐的热点之一 从近三年的考试情况来看，集合中的创新问题在难度上呈现出逐年上升的趋势.题目不 仅要求考生理解新定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用集合的基础知识进行综 合分析和推理，部分题目还会涉及到与其他数学领域的知识结合，如数论、函数等，极大地增 加了题目的复杂程度 考点觉醒 ·基础知识 元素特性 确定性、互异性、无序性 元素与集合关系 属于、不属于 元素与集合 集合的表示方法 列举法、措述法、Vcnn图 常见数集的符号 R,Q,N,N;Z 集合间的关系 子集、 真子集、集合相等 集合的基本 父集、并集、补集 运算 AnC,A=2,AUC,A=U,C (CA)=A 集合的运算 性质 AUA=A,AU①=A,AUB=BUA A∩A=A,A∩①=①，A∩B=B∩A ·题型分类 命题方式 结合原有集合的相关识重新定义新的集合 集合的新定义 解题思路 按照新定义的要求，逐步分析、验证、运算， 从而解决问题 命题方式 根据一定的规则和要求给出新的集合运算规则 集合的新运算 解趣思路 按照给出的新运算规则.结合相关知识完成 机应的计算和逻辑推理 命题方式 结合学过的知识给山新的集合性质 集合的新性质 解题思路 按照新的集合性质，结合相应的数学知识解决问题 黑白题·上分秘箱 01 实战演练 题组1集合中的新定义问题 题组2集合中的新运算问题 1.#(2025·江苏苏州高一月考)已知S。=2.鞋(2025·浙江绍兴高一期中)定义两种 {1,2,…,n(n≥3)，A={a1,a2,…,a}(k≥2) 新运算“④”与“⑧”，满足如下运算法则：对 是Sn的子集，定义集合A°={a-a,la,a∈A 任意的a,beZ,有a⊕b=ab,ab=a+1.设 且a,>g,若A“U{n=Sn,则称集合A是Sn 全集U={xlx=a①b+a☒b,0<a≤b<3, 的恰当子集.用IXI表示有限集合X的元 素个数 A4u®)“800cac3.B (1)若n=5,A={1,2,3,5,求A°并判断集 1xlx2-3x+m=01. 合A是否为S的恰当子集： (1)求集合U和集合A. (2)已知A={1,a,b,7}(a<b)是S,的恰当 (2)集合A,B是否能满足(CA)∩B=☑？若 子集，求a,b的值并说明理由： 能，求实数m的取值范围：若不能，请说 (3)若存在A是S。的恰当子集，并且IA1= 明理由. 5,求n的最大值 02数学「必修第一册·SJ 题组3集合中的新性质问题 4.(2025·江苏扬州高一月考)设k是正 3.#(2025·江苏南京高一期中)已知集合 整数，A是N°的非空子集（至少有两个元 A={a1,a2,…,a}(k≥2)，其中a∈Z(i=1. 素)，如果对于A中的任意两个元素x,y,都 2,…,k),由A中元素可构成两个点集P和 有Ix-y1≠k,则称A具有性质P(k). Q:P={(x,y)Ix∈A,y∈A,x+y∈A},Q= (1)试判断集合B=|1,2,3,4}和C={1,4, 1(x,y)Ix∈A,y∈A,x-y∈A,其中P中 7,10}是否具有性质P(2)?并说明 有m个元素，Q中有n个元素.新定义1个性 理由 质G:若对任意的x∈A,必有-xA,则称集 (2)若A={a1,a2,…,a211,2,…,20.证 合A具有性质G. 明：A不可能具有性质P(3). (1)已知集合J={0,2,4}与集合K= (3)若A二1,2，…，2025}且A具有性质 -1,2,3}和集合L={yy=x+2},判断 P(4)和P(7).求A中元素个数的最 它们是否具有性质G,若有，则直接写出 大值 其对应的集合P,Q:若无，请说明理由。 (2)集合A具有性质G,若k=520,求：集合 Q最多有几个元素？ (3)试判断：当集合A具有性质G时.，m=n 是否成立？并证明 黑白题·上分秘箱037)6(）2(-m)-70)=-1-0-0= 1<0,不符合/Ax,+(1-A)x)≥Wx)+(1-A)/八x),故g (x)=inx(-T≤x≤0)不是D一函数. (3)证明：假设h(x)是D-函数，由h(x+s)·h(x)=1可 得h(x)= -=h(x+2s),所以h(x)为周期函 h(x+s)I h(x+2s) 数，且周期T=2s,若存在m<n且m,ne[0,T),使得 上分秘籍 上分专题01集合中的创新问题 1.解：(1)若m=5,有S=1,2,3,4,5},由A=11,2.3,51, 则A°=1.2,3,41，满足AU5引=S,所以集合A是5的 恰当子集 (2)4=1,a,b,7(a<b)是S,的恰当子集，则A°=1,2,3， 4.5,61,7-1=6∈A°，由5eA则7-a=5或6-1=5.7-a=5 时.a=2,此时6=5，A=11,2,5.71,满足题意：b-1=5时.b= 6,此时a=3,A=1,3,6,71,满足题意，所以a=2,b=5或 a=3,b=6. (3)若存在A是S的恰当子集，并且IA1=5,当n=10时，4= 11,2,3,7,10,有A°=11,2,3,4,5,6,7,8,9，满足A°U 110=So,所以A=1,2,3,7,10是So的恰当子集，当n=11 时，若存在A是S,的恰当子集，并且141=5，则需满足A°= 11,2,3,4,5,6,78,9.10,由10eA',则有1∈A且11∈A: 由9eA',则有2eA或10eA,2eA时，设A=1,2,a,b,11 (3≤a<b≤10)，经检验没有这样的a,b满足A·=11,2,3, 4,5,6,7,8.9,10:当10eA时，设A=1,a.b.10,111 (2≤a<b≤9)，经检验没有这样的a,b满足A'=1,2,3. 4.5,6,7,8,9,101:因此不存在A是5，的恰当子集，并 且1A1=5,所以存在A是S。的恰当子集，并且1A1=5,n 的最大值为10. 2,解：(1)因为对任意的a,beZ,有a⊕b=b,a②b=a+1,全 集U=xlx=a④b+a⑧b.0<a≤b<3,所以U={xlx=h+ a+1,0<a≤b<3,a,beZ. 因为0<a≤b<3,a,b∈Z,所以a=1,b=1.或a=1.b=2,或 a=2,b=2.当a=1,b=1时，ab+m+1=1+1+1=3:当a=1, b=2时，ab+a+1=2+1+1=4:当a=2,b=2时，ab+a+1=4+ 4+1=9,所以U=3,4,9.a,beZ.因为0<a<b<3.所以a= 6=4x1x241 1,6=2,所以4(a④b)+u⑧6-4b++. b 29. 所以A={9,综上，U=13,4,9,A={91 (2)能满足，因为0=3,4,9，A=191,所以0A=13,4.假 设集合A,B能满足(C,A)nB=☑，则B=☑，或3在B且4E B.又B={xlx2-3x+m=0,当B=☑时，△=(-3)2-4m<0,解 得m>9当3eB时，32-3x3+m=0,解得m=0:当4eB时. 参考答案 h(m)≠h(n).(i)若h(m)<h(n),记x,=m,x2=m+T,A= 1”7,则0<1，且a=起+1-A),那么(a)=A(A (1-A)x2)≥Ah(x,)+(1-A)h(x2)=Ah(m)+(1-A)· h(m+T=Ah(m)+(1-A)h(m)=h(m),这与h(m)<h(n)矛盾： (i)若(m)>h(a,记=，=n-不A=1”7,同理也 可得到矛盾..(x)在[0，T)上是常函数，这与h(x)不是常 函数矛盾，所以h(x)不是R上的D一函数. 参考答案 42-3×4+m=0.解得m=-4.所以若3定B且4B,则m≠0 且m4-4.综上所述，实数m的取值范围为(-x,-4)U (-4,0)U(0,+).所以集合A,B能满足(C,A)门B=⑦，实 数m的取值范围为(-x,-4)U(-4,0)U(0,+x). 3.解：(1)①集合J中0EJ,不符合定义，集合J不具有性质G: ②集合K具有性质G,对应集合P=1(-1,3),(3,-1),Q= 1(2,-1),(2,3)1:③集合L不是整数集，所以不具有性 质G (2)依题意，集合A的元素构成有序数对(a,a,)(ijeN”, ≤kj≤k),共有2个，由0使A,得(a,a,)年Q,又当a后A 时，-a华A,则当(a,a,）eQ时，(，a,)Q,因此集合Q的 k2-k」 元素个数不超过2 =134940个，取A=11,2,…,5201,则 Q中元索的个数为134940个，所以Q中元素的个数最多为 134940. (3)当集合A具有性质G时，①对于(a,b)∈P,由定义知 aeA,beA,a+beA,又集合A具有性质G,则(a+b,a)∈Q, 若(a,b),(c,d)是P中的不同元素，则a=c,b=d中至少有 一个不成立，于是b=d,a+b=c+d中至少有一个不成立，因此 (a+b,b).(c+d.d)也是Q中不同的元素，所以P的元素个数 不多于Q的元素个数，即m≤n,②对于(a,b)∈Q,由定义知 a∈A,b∈A,a-b∈A,又集合A具有性质G,则(a-b,b)∈P 若(a,b).(c,d)是Q中的不同元素，则a=c,b=d中至少有 一个不成立，于是b=d,a-b=-d中至少有一个不成立，因此 (a-b,b),(c-d,d)也是P中不同的元素，即Q的元素个数不 多于P的元素个数，即n≤m,由①②知m=n 4,解：(1)因为B=1,2,3,4,又1eN,2eN,3∈N°， 4eN',但14-21=2，所以集合B不其有性质P(2),因为C= 11,4,7,10,又1eN°，4eN°，7∈N°，10eN,但I4-11= 3,17-11=6,110-11=9,17-41=3,110-41=6,110-71=3, 所以集合C具有性质P(2). (2)将集合1,2，…，20中的元素分为如下11个集合，1， 4,2,5,3,6,7,101,8,11.9,121,113,16,14. 171,15,18,119,20,所以从集合1,2，…，201中取12 个元素，则前9个集合至少要选0个元素，所以必有2个元 素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为 3,所以A不可能具有性质P(3). 黑白题103 (3)先说明连续1山项中集合A中最多选取5项，以1,2， 3…,11为例，构造抽展11.81,12.91,13,101,4,11,15引， 161.}71. ①5,6,7同时选，因为具有性质P(4)和P(7),所以选5则 不选1.9，选6则不选2,10，选7则不选3,11，则只剩4,8.故 1,2,3·,11中属于集合A的元素个数不超过5个. ②5,6,7选2个，若只选5,6.则1,2,9,10,7不可选，又}4 11只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3·，11中属于集 合A的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能从2.4,8,10 中选.但4,8不能同时选，故1,2.3…，11中属于集合A的元 素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10.11,5不可选，又{1 81只能选一个元素，4.9可以选，故1.2,3…，11中属于集 合A的元素个数不超过5个 ③5,6,7中只选1个，又四个集合11,8112,91,13,101， 14,11每个集合至多选1个元索.故1,2.3…，11中属于集 合A的元素个数不超过5个. 由上述①23)可知，连续11项自然数中属于集合A的元素 至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为2025=184×11+1，则把 每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项：给出 如下选取方法：从1,2,3…，11中选取1,4,6,7,9，然后在这 5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元 素为1,4,6,7,9：12,15,17,18,20：23,26,28,29,3： 2014,2017,2019,2020,2022:2025,共184×5+1= 921(个)元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素 最多有921个 上分专题02利用基本不等式求最值 1.D解析：因为x>2,所以x-2>0,所以y=4r-1+4、 x-2 4-2+马*7≥24(-2高+7=15，当且仅当 4(2》02,即=3时等号成立，所以函数=4r 1,马的最小值为15放法D 2D解折：>10，y=3,得()y≤(-艺）广 1,当且仅当x-1=y=1,即x=2,y=1时等号成立，所以(x 1)·y的最大值是L.故选D. 9 3.5,2解析：因为m>n>0,所以m+n>0,m-m>0.又m+ +n 41 m-n2（m+n) min+2(m-n)+4 9.1 9 m+ 2/分m=3v2,当且仅当（a+m 1 ≥2 m+n 9 n即m+n3万时，等号成立2(m-n)+m 2/m0千=2a,当且仅当7(a-0) /1 4 m-n m-n 必修第一册·SJ 即m-m=22时，等号成立，所以m+9+4≥32+2,2= m+n m-n 52,当且仅当 m+n=32,即m= m-n=22, 经号时等号说立所 以m+ 9+4的最小值为52.故答案为52。 m+nm一n 4.A解析：由正数a,b满足(a-1)(6-2)=2.得ab-2a-b=0, 则+2 ,b,16a a h =1,则8a+b= a h .16=18.当且仅当-160且上+2=1，即a 10+2a b 三b b ,6=6时等号成立，故8a+b的最小值为18，故选A 3 5.A解析：由>0,0，=+4，得4=1，所以+y+4 x Y 当且仅当=三，即x=6,y=3时等号成立，所以x++4 x Y 1的最小值为10.故选A 6.B解析：由于x<2,故2-1>0,2->0，故2一2品 132 ×68)=双当且仅产-2即=号时等 2x-14-2x 号成立.故最小值为27.故选B. 7.D解析：由0，y20且3+1=1，得2x+y+=(2x+y)） x Y x yy 2便1当组权当票即4时，等号成立 x Y 故选D 8.C解析：因为a+6=1,且a>0,b>0,所以6+4.b 4ab）-b4≥2/名·+4=8，当且仅当=如、 b a b a b 即a=兮b:号时取等号，放选C 1 3-x2 9.B解析：x>0,y>0,x2+2y-3=0,y= 2x2x+y=2+ 警>2房3，当且仅当货》 3-x23x2+33x,3 22x 即x=1时取等号.故选B. 10.[4,+)解析：根据已知3d+1=0,可得3a三-。，则 黑白题104