专题02 空间几何体（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

高二沪教版（2020）数学上册期中考点大串讲 串讲02 空间几何体 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 知识梳理 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相____且____ 多边形 互相____且____ 侧棱 ____________ 相交于_____，但不一定相等 延长线交于____ 侧面形状 ____________ ________ 梯形 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 知识梳理 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，______于底面 相交于______ 延长线交于______   轴截面 ______ ____________ 等腰梯形 圆 侧面展开图 ______ ______ 扇环   垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 矩形 扇形 知识梳理 2.直观图的斜二测画法 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面______. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______. 45°(或135°) 垂直 平行于 不变 一半 知识梳理 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝_______ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝___________ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 知识梳理 Sh 4πR2 题型剖析 1、立体图形的结构 【例1-1】下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　) A.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C.直平行六面体是长方体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 D 【解析】　A中，不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体，A不正确； B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确； 题型剖析 1、立体图形的结构 【例1-1】下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　) A.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C.直平行六面体是长方体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 D C中，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，所以底面可以是平行四边形，它不是长方体，C不正确； D中，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体C1－ABC，四个面都是直角三角形，D正确. 题型剖析 1、立体图形的结构 【例1-2】 (多选)下列说法中正确的是(　　) A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 AD 解析　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确； 题型剖析 1、立体图形的结构 【例1-2】 (多选)下列说法中正确的是(　　) A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 AD 由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误； 底面是正多边形的棱锥，但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确. 题型剖析 1、立体图形的结构 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 题型剖析 2、直观图 【例2-1】 (1)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　) A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.90°的角的直观图一定会变为45°的角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 B 解析　对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确； 对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误； C，D显然正确. 题型剖析 2、直观图 解析　因为斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形， A 题型剖析 3、展开图 【例3】已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　) A.30 B.40 C.50 D.60 C 解析　圆台上底面半径为10，下底面半径为5，设母线长为l， ∴侧面积S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π， 解得l＝20. 题型剖析 3、展开图 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离. 设OA＝R，扇形的圆心角是α， 则由题意知2×5π＝αR，① 2×10π＝α(20＋R)，② 题型剖析 4、表面积与侧面积 解析　设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则R＝1， 题型剖析 如图，作出圆锥、圆台的轴截面， 4、表面积与侧面积 题型剖析 4、表面积与侧面积 【例4-2】攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为________ dm2. 题型剖析 5、体积 【例5-1】木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足.楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形， EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为________. 解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH. 题型剖析 5、体积 题型剖析 5、体积 【例5-2】棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________. 1 解析　如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得 题型剖析 6、线面角 C 解析　取BC的中点E，连接DE，AE，如图. 依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱， 因为D，E分别是BC1和BC的中点， 所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC， 所以DE⊥AE， 题型剖析 6、线面角 C 因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E， BC，DE⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C， 所以∠ADE是AD与平面BB1C1C的夹角， 题型剖析 7、二面角 B 解析　取MN的中点E，连OE，PE， 因为OM＝ON， 所以OE⊥MN， 因为PM＝PN，所以PE⊥MN， 所以∠PEO是二面角P－MN－O的平面角， 因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN， 题型剖析 7、二面角 所以PO⊥OE， 题型剖析 8、求距离 A 解析　如图，取PA的中点M，连接BM，CM， 因为PB⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD， 所以PB⊥BC， 题型剖析 8、求距离 又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB， 因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA， 又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM， 又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA， 即CM为点C到直线PA的距离. 题型剖析 8、求距离 【例8-2】已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________. 解析　由题可得AB＝8，因为AP＝BP， 题型剖析 8、求距离 1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解. 易错混淆 易错点1：立体图形的结构特征理解不透彻 1.给出下列四个命题，正确的是(　　) A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 D 解析　对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错； 对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错； 对于C，若底面不是矩形，则C错； 对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确. 易错混淆 易错点2：平面图形与立体图形的关系转化出错 C 解析　连接BD，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝90°， 所以BD是四边形ABCD外接圆的直径， 所以∠DCB＝90°， 则∠ABC＝135°. 易错混淆 易错点2：平面图形与立体图形的关系转化出错 延长AB，过点C作CE垂直AB的延长线于点E， 过点C作CF⊥AD，垂足为F，则∠CBE＝45°， 所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2. 作出四边形ABCD关于直线AB对称的图形，如图所示. 由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°， 所以四边形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4， 易错混淆 易错点3：直观图概念理解不清楚 B 解析　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示， 押题预测 B 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝S原图形. 4.简单几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝_____ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝_____ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝_____ V＝_______ Sh πR3 【例2-2】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　) A.2＋ B. C. D.1＋ 所以原图形为直角梯形，其上底为1，下底为1＋，高为2， 所以S＝×(1＋＋1)×2＝2＋. 则M1B＝＝50，故选C. 将圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，且设扇形所在圆的圆心为O. 由①②解得α＝，R＝20， ∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40， 由已知可得，l＝2πR，所以l＝6. 【例4-1】 如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为________. 设圆台上底面半径为r，母线长为l1，则r＝. 则有＝＝， 解得l1＝4. 所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×π＝. 34＋8 取AD的中点O，连接GO，易得GO＝， 易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝. ＝2×××1＋×2 ＝. ∴S△ADG＝S△BCH＝××2＝. ∴该木楔子的体积 V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱ADG－BCH ＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱ADG－BCH ∴VA1－D1MN＝VD1­A1MN＝·S△A1MN·D1A1 ＝××2＝1. S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， 【例6】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C夹角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 设棱长为2，则AE＝，DE＝1， 所以AD与平面BB1C1C的夹角的正弦值是. 【例6】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C夹角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 所以AD＝＝＝2. 所以sin∠ADE＝＝， 【例7】 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P－MN－O的大小为(　　) A. B. C. D. 所以PE＝＝＝2， 所以cos ∠PEO＝＝， 所以结合图知∠PEO＝. 所以二面角P－MN－O的大小为. 因为∠MON＝，OM＝2， 所以OE＝OM·cos ＝2×＝， 因为PO＝1， 【例8-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　) A.2 B.2 C. D.4 在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2， 在Rt△BCM中，CM＝＝＝2， 故点C到直线PA的距离为2. 所以VC－ABP＝×16×4＝， 因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4， 所以S△ABC＝×8×＝16， 设点P到平面ABC的距离为d，则VP－ABC＝×16d＝，解得d＝2. 2 所以S△ABP＝×8×4＝16， 因为PC⊥平面ABP，且PC＝4， 2.如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2，AD＝6，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(　　) A.(16＋16)π B.(28＋4)π C.(36＋36)π D.(36＋40)π 所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4.将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体是一个圆台挖掉一个圆锥， 其表面积为π×62＋π×(2＋6)×4＋π×2×2＝(36＋36)π.故选C. 则AD＝＝2， 故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4. 3.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A.4＋4 B.4＋4 C.8 D.8 其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2， $$