2.2.1不等式及其性质（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第2章 等式与不等式 问题引入 在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具.我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 情境与问题：你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率(单位：，下同)应该满足；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率应该满足_____________. 新知探索 怎样理解两个实数之间的大小呢？ 在上述不等式符号中，要特别注意“”“”.事实上，任意给定两个实数，，那么 或， _______________. 或 想一想：，，这三个命题都是真命题吗？ 新知探索 另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.如图所示的数轴中，，，不难看出. 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点对应的数为，则称为点的坐标，并记作. 新知探索 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离.由此可以看出，要比较两个实数，的大小，只要考察 与的相对大小就可以了，即 ， ， 新知探索 初中的时候，我们就已经归纳了不等式的三个性质： 性质1 如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果，，那么. 尝试与发现：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？ 新知探索 事实上，如图所示，是指点在点的右侧，和表示点和点在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点和的相对位置，与和的相对位置是一样的，因此. 性质1可以用如下方式在证明： 因为， 又因为，所以，从而， 因此. 新知探索 性质2可以用类似的方法证明： 因为， 又因为，所以，而， 因此，因此，即. 性质3的证明方法同性质2： 因为， 又因为，所以，而， 因此，因此，即. 新知探索 尝试与发现：用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： (1)是的_____条件； (2)如果，则是的_____条件； (3)如果，则是的_____条件. 充要 充要 充要 在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质. 直观上，如图所示，点在点的右侧，点在点的右侧，因此点必定在点的右侧. 性质4 如果，，那么. 新知探索 证明 因为， 又因为，所以； 且，所以， 因此，从而，即. 性质4 如果，，那么. 性质4通常称为不等关系的传递性.我们前面在判断等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性. 新知探索 证明 因为，所以； 又因为，所以， 从而，即. 性质5 . 另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母. 例题 例1 比较和的大小. 解 因为， 又因为，所以， 从而， 因此. 例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，同学们应熟练掌握. 新知探索 需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可以直接利用已经证明过的不等式性质等.从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论. 证明 . 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移向法则. 推论1 如果，那么. 新知探索 证明 根据性质1有，， 再根据性质4可知. 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 推论2 如果，那么. 新知探索 证明 根据性质2有， ， 再根据性质4可知. 很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 推论3 如果，那么. 新知探索 这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可. 证明 假设，即或， 根据推论4和二次根式的性质，得或. 这都与矛盾，因此假设不成立，从而. 推论4 如果那么. 推论5 如果那么. 新知探索 可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 尝试与发现：证明推论5中不等式得方法具有什么特征？ 证明 假设，即或， 根据推论4和二次根式的性质，得或. 这都与矛盾，因此假设不成立，从而. 推论5 如果那么. 例题 例2 (1)已知求证：； (2)已知求证：； 证明(1)因为，，所以，. 根据推论2，得. (2)因为，所以. 又因为，所以， 即，因此. 例题 例2 (3)已知，，求证：. 证明(3)因为，根据(2)的结论，得. 又因为，所以根据推论3可知，即. 可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为，其中是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 新知探索 要证，只需证明， 展开得，即， 这只需证明，即. 因为成立，所以成立. 尝试与发现：你能证明吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？ 直接证明并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们自行尝试.不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论： 新知探索 上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证，只需证明”，这可以表示为，其中是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.的证明过程也可简写为： 因为， 又因为成立，所以结论成立. 例题 例3 已知，求证：. 证明 因为，所以从而 ， 又因为已知，所以结论成立. 练习 题型一：用不等式(组表示不等关系) 例1.用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴ 这时菜园的另一条边长为 因此菜园的面积 依题意有即 故该题中的不等式关系表示为 练习 方法技巧： 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 练习 变1.用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为， 这时菜园的另一条边长为 而矩形的长宽都不能超过11， ∴有 即. 练习 题型二：比较实数(式子)的大小 例2.已知，比较与的大小. 解：∵ 由，得，而 ∴ 即. 练习 方法技巧： 比较两个实数(代数式)大小的步骤： (1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形.对差进行变形； (3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)得出结论. 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 练习 变2.(1)已知，比较与的大小. 解(1)：∵ 而在上恒成立. ∴当，即时，此时， 当，即时，此时， 当，即时，此时， 练习 变2.(2)比较与的大小. 解(2)：∵ ∵ ∴ ∴ 即 练习 题型三：不等式性质的大小应用 例3.已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 答案：D. 解：A.如果那么.故错误. B.如果，那么故错误. C.如果，那么.故错误. D.∵∴，∴如果，那么即D正确. 角度(一) 判断命题的真假 练习 例4.已知，求证： 证明：∵∴ ∴ 又∵，∴ ∴，即. 两边同时乘以得 角度(二) 证明不等式 练习 例5.已知，试求与的取值范围. 解：∵， ∴， ∴，即， 又∵ 即 角度(三) 求取值范围 练习 方法技巧： 利用不等式判断正误的2种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 练习 方法技巧： (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则. 方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现； 方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦； 方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)不等式的5个性质； (2)不等式的5个推论； (3)综合法和分析法的思路. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P66的练习，练习； (3)课本P80的习题的第1、2、3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$