2.2.1 不等式及其性质 第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.1 不等式及其性质 新授课 2.2 不等式 第2课时 1.掌握不等式的性质及其推论 2.掌握反证法、分析法证明不等式 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：复习不等式的性质及两个推论： 性质1 如果a＞b，那么____________． 性质2 如果a＞b，c＞0，那么__________． 性质3 如果a＞b，c＜0，那么__________． 性质4 如果a＞b，b＞c，那么__________． 性质5 a＞b⇔__________． a＋c＞b＋c ac＞b c ac＜bc a＞c b＜a 推论1 如果a＋b＞c，那么__________． 推论2 如果a＞b，c＞d，那么____________． a＞c－b a＋c＞b＋d 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点：不等式的推论 思考：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？ 推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd． 证明 根据性质2有 a＞b，c＞0⇒ac＞bc， c＞d，b＞0⇒bc＞bd， 再根据性质4可知 ac＞bd． 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： 又因为a＞b＞0，所以根据推论3可知 ，即 ． 证明：因为0＜c＜d，所以 ， 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：为什么要限定a，b都是正数？n∈N行吗？n∈Z呢？ 如果将推论3中c和d换成a和b，多次使用，能得到什么结果？ 推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）． a2＞b2，a3＞b3，a4＞b4.... 新课讲授 学习目标 课堂总结 推论5 如果a＞b＞0，那么 ． 证明　假设 　 ，即 或 ， 根据推论4和二次根式的性质，得 a＜b或a＝b． 这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而 ． 新课讲授 学习目标 课堂总结 假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 思考：证明推论5中不等式的方法具有什么特征？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 反证法的一般步骤： (1)假设结论的反面是正确的； (2)把假设当作已知条件，通过演绎推理，推导出一个与定义、基本事实、已证的定理、性质或已知条相矛盾的结论； (3)说明假设不成立，进而得出原命题的结论正确. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：用综合法证明这个不等式 方便吗？可以用什么方法证明？ 反证法：假设不等式 不成立，则 ， 两边平方得　　　　　　　，所以 ≥5， 所以21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立． 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：用综合法证明这个不等式 方便吗？可以用什么方法证明？ 方法二：要证明 成立，只需证明 展开得10＋ ＜20，即 ＜5，这只需证明（ ）2＜52， 即21＜25．因为21＜25成立，所以 成立． 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 的证明过程也可简写为：因为 又因为21＜25成立，所以结论成立． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知m＞0，求证： 证明：因为m＞0，所以3＋m＞0，从而 又因为已知m＞0，所以结论成立． 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知a>b>0>c,证明 练一练 解：因为a>b>0>c,所以a-c>0，b-c>0，从而 因为a>b>0，所以结论成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： （1）不等式的推论有哪些？ （2）反证法的步骤是什么？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$