专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（考题猜想，易错必刷3大题型）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（考题猜想，易错必刷3大题型） 【题型一：定点问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由. 2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 3．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 6．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 7．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 8．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．    (1)求的方程； (2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 9．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 【题型二：定值问题】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 4．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值. 5．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交 于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 8．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 9．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【题型三：定直线问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 2．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 3．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 5．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 6．（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 7．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 8．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 9．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（考题猜想，易错必刷3大题型） 【题型一：定点问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）根据抛物线定义，结合已知条件，求得，则抛物线方程得解； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合，求得值，即可求得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为，点的横坐标为4， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）设，且， 联立消去可得 则，且，即， 所以， 由，得，即， 解得（舍）或，故直线的方程为， 所以直线必过定点. 2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 3．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，该定点为. 【分析】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解； （2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到为定值，即可求解. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，可得， 设，则，所以， 所以双曲线的方程可化为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，假设存在点， 易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为， 联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理， 得， 则， 且， 因为 ， ， 所以当，即时，或 ， 故存在定点，使直线与的斜率之积为定值． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②过定点，． 【分析】（1）根据椭圆的定义和在椭圆短轴端点处取最大值，列出方程联立可解得，即得椭圆方程. （2）法一：假设定点坐标，利用直径所对圆周角为，利用向量垂直的坐标运算，可得定点坐标满足的条件，进而分析式子恒成立的条件，可得定点坐标. 法二：设直径与轴的交点为，为与轴的交点，根据相交弦定理可得，因为，根据圆的性质，可得，即可求得定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，． 故椭圆的标准方程为． （2）①由（1）可知，． 直线的方程为， 联立解得则． 同理可得 故， 设，则． 因为点在椭圆上，所以，所以， 则， 故． ②法一：由①可知，，    设存在定点，则，． 由题意可知，则， 所以恒成立，所以，． 故以为直径的圆过定点，． 法二：由题意可知在轴的两侧，则以为直径的圆与轴有两个交点， 设以为直径的圆与轴的两个交点分别为（在的左侧）， 直线与轴的交点为， 则， 因为，所以， 则，即以为直径的圆过定点.    6．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得两点的坐标，进而证得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：   ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即， 同理可得， 则 ， 所以直线过定点. 7．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且满足． (1)求点的坐标及的方程； (2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设点，点，根据向量表示点坐标，代入抛物线方程可得的取值，从而求出点坐标以及抛物线方程； （2）设直线的方程，联立直线与抛物线的准线方程求出两点的坐标，再由对称性可知定点在轴上，可设定点，由于线段为圆的直径，则，坐标运算求出的值． 【详解】（1）设点，点，则有， 则， 因为点在上，故， 解得：或（舍），即， 所以点的坐标为，方程为. （2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上. 设直线l的方程为，代入，得 设点，，则， 因为，所以， 直线的方程为， 令，得，所以点 同理，点， 设以线段为直径的圆与轴的交点为， 则， 因为，则， 即， 则， 解得：或， 故以线段为直径的圆所过定点为和. 【点睛】思路点睛：（1）以线段为直径的圆过定点问题，通常情况下先设定点坐标，利用向量的数量积为0计算求定点坐标； （2）直线与圆锥曲线问题，经常采用设而不求的方法，利用韦达定理表示点坐标之间的关系. 8．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．    (1)求的方程； (2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程； （2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解. 【详解】（1）渐近线，渐近线． 设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线， 所以．由对称性，， 所以，从而． ，在Rt中，， 解得． 所以，故C的方程为． （2）设，设直线．    可得直线． 联立 得， 则，又， 所以， 所以， 所以，同理． 则 直线， 令，得，所以直线过定点． 【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理的表达式，将直线方程进行化简整理后进行求解. 9．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得. 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，当时，，结合韦达定理推理即得. 【题型二：定值问题】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出方程从而可求出双曲线的方程； （2）设出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及斜率公式再进行求解即可. 【详解】（1）令双曲线半焦距为，依题意，， 由，解得， 则双曲线的方程为， （2）法一：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 直线的斜率分别为， 法二：①当直线垂直于轴时，的方程为，易得 ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 由,消去得：, 设，则： 直线的斜率分别为， 2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【答案】(1)，直线的方程为或或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的准线求参数，即可写出抛物线方程，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立、消元，根据求出，即可得到直线方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，，再代入韦达定理计算可得. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴. ∴为定值. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，结合离心率公式即可求解； （2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，联立直线与椭圆方程， 由题意得，结合韦达定理整理可得，解出的值，结合题意即可求证. 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 4．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，0. 【分析】（1）根据圆的上下顶点可求，利用，，的关系可得答案； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出，求和化简即可. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 所以椭圆的方程为：； （2）证明：设直线的方程为，设，，由题意， 联立，整理可得， ，即，且，， 所以 . 即证得为定值，且定值为0. 5．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值. 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案； （2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可. 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 8．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可. （2）（ⅰ）利用韦达定理求解出， （ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点. 【详解】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线的方程，再代入韦达定理式化简即可. 9．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【题型三：定直线问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 2．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1)，焦点； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再求出直线的方程，并联立求出交点的横坐标即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.    3．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【分析】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 5．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设的半焦距为，则，由已知可得，可求，进而可得，可求椭圆的方程. （2）由（1）知，点，设直线的方程为，联立方程组可得，设，求得的方程，联立两方程可求得直线的交点恒在直线上. 【详解】（1）设的半焦距为，则. 因为， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 则， 所以的方程为. （2）由（1）知，点，设直线的方程为. 由，可得， 则. 设，则. 由题可设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程，可得 ， 解得，即直线的交点恒在直线上. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出直线的方程，联立得到的表达式，再求出值即可. 6．（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）由题意得，解出的值即可； （2）一方面是上任意一点，从而可得出它也在直线上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可； （3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得，由向量数量积公式化简得，说明即可得证. 【详解】（1）因为双曲线经过点，且直线是的一条渐近线， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2） 首先设是上任意一点，所以有， 这表明了点也在直线上，也可以得到， 联立直线的方程与椭圆的方程有， 化简并整理得， 而，且， 这也就是说与双曲线相切于点； （3） 不妨设， 由（2）可知过点的直线的方程为， 因为点在直线上， 所以，即有， 又，从而， 所以， 若，则 ， 整理得， 因为，所以，也就是说， 从而， 所以点在定直线上上. 7．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)8； (3)证明见解析， 【分析】（1）由焦点关于直线的对称点为即可求得p值，则抛物线方程可求； （2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解； （3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求. 【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 【点睛】 方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 8．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到的方程； （2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线的斜率为0时得到，当直线的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和得到点在定直线上，又也在直线上，即可证明点在一条定直线上. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以， 化简得，的方程为. （2） 依题意，设， ①当直线的斜率为0时，则， 因为，所以， 所以，从而， 则，即，解得，即. ②当直线的斜率不为0时，设的方程为， 由消去，得， 则且， 因为，所以， 消去，得， 所以， 从而， 又也在直线上. 综上，点在直线上. 【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法： （1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明； （2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程. 9．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出，进而求出椭圆的方程，再设出切线方程，并与椭圆方程联立，由求出切线方程即可得解. （2）设直线：，，联立直线与的方程，求出的中点纵坐标，结合韦达定理计算推理即得. 【详解】（1）依题意，点，，解得，椭圆：， 显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为， 由消去并整理得， ， 整理得，解得，切线方程为，由，得， 所以点的坐标是. （2）设直线的方程为，，线段的中点， 由消去得， 则，，， 直线的方程为，则点， 于是， ， ，因此点在直线上， 所以线段的中点在定直线上. 【点睛】方法点睛：联立直线l与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为： ①直线l与椭圆C相交；②直线l与椭圆C相切；③直线l与椭圆C相离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$