专题10 几何图形初步，相交、平行线（6大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（山东专用）

专题10几何图形初步，相交、平行线 【考点归纳】 考点01 判断几何体 1 考点02 图形的展开图 2 考点03 图形的三视图 4 考点04 角平分线有关计算 13 考点05 三角板有关计算 18 考点06 平行的判定与性质 23 考点01 判断几何体 1．（2022·山东济南·中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱 2．（2024·山东·中考真题）下列几何体中，主视图是如图的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东·中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 考点02 图形的展开图 4．（2022·山东临沂·中考真题）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 6．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·山东枣庄·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．青 B．春 C．梦 D．想 8．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 9．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 10．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 考点03 图形的三视图 11．（2022·山东德州·中考真题）如图所示几何体的俯视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   12．（2022·山东菏泽·中考真题）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 14．（2022·山东潍坊·中考真题）下列几何体中，三视图都是圆的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·山东青岛·中考真题）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·山东青岛·中考真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   17．（2023·山东济南·中考真题）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A．   B．   C．   D．   18．（2023·山东·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   19．（2023·山东聊城·中考真题）如图所示几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   20．（2023·山东滨州·中考真题）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（　　）    A．   B．   C．   D．   21．（2023·山东枣庄·中考真题）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   22．（2023·山东临沂·中考真题）下图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（    ）    A．   B．   C．   D．   23．（2024·山东青岛·中考真题）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·山东济南·中考真题）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 25．（2024·山东潍坊·中考真题）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（    ） A． B． C． D． 26．（2022·山东日照·中考真题）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（    ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 27．（2022·山东济宁·中考真题）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（  ） A． B． C． D． 28．（2022·山东聊城·中考真题）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   29．（2024·山东威海·中考真题）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 30．（2023·青海·中考真题）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ） A．   B．   C．   D．   31．（2023·山东日照·中考真题）如图所示的几何体的俯视图可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   32．（2023·山东烟台·中考真题）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   33．（2024·山东东营·中考真题）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（   ） A． B． C． D． 34．（2023·山东潍坊·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   考点04 角平分线有关计算 35．（2022·山东德州·中考真题）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 36．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 37．（2022·山东济南·中考真题）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（    ） A．45° B．50° C．57.5° D．65° 38．（2022·山东青岛·中考真题）已知：，． 求作：点P，使点P在内部，且． 39．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 42．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 44．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 45．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 46．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 考点05 三角板有关计算 47．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ） A． B． C． D． 48．（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）    49．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（    ）    A． B． C． D． 50．（2023·山东日照·中考真题）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 51．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 52．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 53．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 54．（2022·山东枣庄·中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 55．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 56．（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 57．（2023·山东泰安·中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）    58．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 59．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 考点06 平行的判定与性质 60．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    61．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 62．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ． 63．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 64．（2022·山东枣庄·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．    65．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 66．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（    ）    A．27° B．53° C．57° D．63° 67．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 68．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 69．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 70．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（    ） A． B． C． D． 71．（2023·山东青岛·中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 72．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 73．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 74．（2023·山东烟台·中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．      75．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 76．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 77．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 78．（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 ． 79．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 80．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 81．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 82．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 83．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10几何图形初步，相交、平行线 【考点归纳】 考点01 判断几何体 1 考点02 图形的展开图 3 考点03 图形的三视图 7 考点04 角平分线有关计算 23 考点05 三角板有关计算 37 考点06 平行的判定与性质 54 考点01 判断几何体 1．（2022·山东济南·中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱 【答案】A 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱． 故选：A． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 2．（2024·山东·中考真题）下列几何体中，主视图是如图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可． 【详解】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意； D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； 故选：D． 3．（2023·山东·中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键． 考点02 图形的展开图 4．（2022·山东临沂·中考真题）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案. 【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意， 而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意， 故选：D． 【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养． 5．（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答． 【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”， 故选：D． 6．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答． 【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知， A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意； B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意； C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意； D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意； 故选∶C． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键． 7．（2022·山东枣庄·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．青 B．春 C．梦 D．想 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图相对面之间相隔一个正方形这一特点即可作答． 【详解】在原正方体中， 与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想， 与“点”字所在面相对的面上的汉字是：春， 与“青”字所在面相对的面上的汉字是：梦， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，准确的找出每个面的相对面是解题的关键． 8．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 9．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答． 【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6， 由图2可知： 要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大， 上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6， 能看见的面数字之和为：； 左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6， 能看见的面数字之和为：； 右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6， 能看见的面数字之和为：； ∴能看得到的面上数字之和最小为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键． 10．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 考点03 图形的三视图 11．（2022·山东德州·中考真题）如图所示几何体的俯视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形，观察几何体得出答案即可． 【详解】解：   的俯视图是  ， 故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图中能看到的边用实线，看不到的边用虚线． 12．（2022·山东菏泽·中考真题）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据主视图是从正面看到的图形判定即可． 【详解】该几何体的主视图是， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键． 13．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，可得如下图形： 故选：A． 【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键． 14．（2022·山东潍坊·中考真题）下列几何体中，三视图都是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】A：正方体的三视图都是正方形，故A不符合题意； B：球的三视图都是圆，故B符合题意； C：圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故C不符合题意； D：圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键． 15．（2022·山东青岛·中考真题）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 16．（2023·山东青岛·中考真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】运用三种视图的空间方位进行解题． 【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意； B、选项是主视图，不符合题意； C、选项是右视图，不符合题意； D、选项是左视图，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 17．（2023·山东济南·中考真题）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 18．（2023·山东·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：    故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 19．（2023·山东聊城·中考真题）如图所示几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：    故选：D． 【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 20．（2023·山东滨州·中考真题）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看到的图形，应该是：    故选：D． 【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上边看得到的图形是解题的关键． 21．（2023·山东枣庄·中考真题）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：    故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 22．（2023·山东临沂·中考真题）下图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依次观察各建筑物的图片即可作出判断，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：最符合视图特点的建筑物的图片是选项B所示图片． 故选：B． 【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 23．（2024·山东青岛·中考真题）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 24．（2024·山东济南·中考真题）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 25．（2024·山东潍坊·中考真题）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了物体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示： ， 故选：． 26．（2022·山东日照·中考真题）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（    ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 【答案】C 【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次，2，2，1，依此画出图形即可判断． 【详解】解：如图所示 主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大． 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图-三视图，正确画出立体图形的三视图是解答本题的关键． 27．（2022·山东济宁·中考真题）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从正面看所得的图形即可． 【详解】解：从正面看，底层有3个正方形，第二层有2个正方形，第三层有1个正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体三视图的识别，主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形． 28．（2022·山东聊城·中考真题）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据左视图的定义及画法即可判定． 【详解】解：从左边看该几何体是一个斜边在左侧的直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了画简单几何的三视图，熟练掌握和运用简单几何三视图的画法是解决本题的关键． 29．（2024·山东威海·中考真题）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体的主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案． 【详解】 解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意； 故选：D． 30．（2023·青海·中考真题）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别确定各几何体的三视图，从而得解． 【详解】 A.   ，主视图、左视图和俯视图分别为长方形，长方形，长方形，三长方形大小不一定相同，故本选项不合题意； B.   ，主视图、左视图和俯视图分别是长方形，长方形，圆，故本选项不合题意； C.   ，主视图、左视图和俯视图分别是三角形，三角形，圆，故本选项不合题意； D.   ，主视图、左视图和俯视图分别是圆，圆，圆，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查常见几何体的三视图；掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 31．（2023·山东日照·中考真题）如图所示的几何体的俯视图可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 32．（2023·山东烟台·中考真题）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，    ∴该几何体的俯视图为：   ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图． 33．（2024·山东东营·中考真题）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的确定出俯视图是关键．首先由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，找出正确的答案即可． 【详解】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C符合题意， 故选：C． 34．（2023·山东潍坊·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：卯的俯视图是  ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 考点04 角平分线有关计算 35．（2022·山东德州·中考真题）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D． 【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意； B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意； C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意； D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 36．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 37．（2022·山东济南·中考真题）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（    ） A．45° B．50° C．57.5° D．65° 【答案】B 【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵EC平分∠AED， ∴∠AEC=∠CED=∠1， ∵∠1=65°， ∴∠CED =∠1=65°， ∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案． 38．（2022·山东青岛·中考真题）已知：，． 求作：点P，使点P在内部，且． 【答案】见解析 【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解． 【详解】解：如图，点P即为所求： 【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 39．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 40．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 41．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 42．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 43．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ 由作图可得是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 44．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论； （2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径． 【详解】（1）证明：连接，    由题意可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：过点作，      ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 可得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的证明，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 45．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 46．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 考点05 三角板有关计算 47．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】解：由题意得∠ABC=90°， ∵∠1=40°， ∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°， ∵， ∴∠2=∠3=50°， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 48．（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）    【答案】 【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可． 【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°， ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键． 49．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 50．（2023·山东日照·中考真题）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， 在中，， ∵， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 51．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 【详解】由图知， ∴ 故选：B    【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键． 52．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质及平角可进行求解． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 53．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示： ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 54．（2022·山东枣庄·中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．30° C．36° D．56° 【答案】A 【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小． 【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 55．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 56．（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注，   ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 57．（2023·山东泰安·中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）    【答案】 【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径． 【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：    ∵分别为圆O的切线， ∴为的角平分线，即， 又∵, ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 则这张光盘的半径为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 58．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 59．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为； 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即， 而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得 【详解】（1）证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 考点06 平行的判定与性质 60．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 61．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 62．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ． 【答案】100°/100度 【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数． 【详解】解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 63．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 64．（2022·山东枣庄·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．    【答案】25 【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 65．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 66．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（    ）    A．27° B．53° C．57° D．63° 【答案】D 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 67．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5 【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2， ∵ ∴ ∴ ∵// ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 68．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可得再建立方程即可． 【详解】解： ，， ， 解得：经检验符合题意 故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键． 69．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠BAC=∠C=25°， ∵， ∴∠ABD=∠1=60°， ∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD=180°-25°-25°-60°=70°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD和∠ABD的度数是解题的关键． 70．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而计算即可． 【详解】， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键． 71．（2023·山东青岛·中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键． 72．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C    【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质；由平行线的性质得到等角是解题的关键． 73．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 74．（2023·山东烟台·中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．      【答案】/度 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 75．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 76．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 77．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 78．（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解． 【详解】解：如图 l1l2，l2l3， ，， ， ∠1＝， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 79．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出，根据ED=EF，得出，即可得出，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示： ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠AED=90°-∠A=30°， ∵， ∴， ∵ED=EF， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵DE=6，，   ∴， ， ∴， ∴ ，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直角三角形，作出辅助线，求出∠DEF=120°，DF的长，是解题的关键． 80．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 81．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 82．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 83．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$