第二十六章 解直角三角形知识归纳与题型突破（单元复习 9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十六章 解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 五、坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 六、方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 八、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 03 题型归纳 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 例题：在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，画出图形，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：依题意，，如图所示， ，故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 2．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 例题1：如图，中，，，，则的值为 ．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据正弦函数的定义计算即可． 【详解】∵中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理以及正弦函数的知识，结合图形，理解，是解答本题的关键． 例题2：如图，在中，，，，于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，通过证明，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求余弦，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及等角的三角函数值相等． 例题3：在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用正切的定义求解． 【详解】解：在中，, ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是答题的关键． 巩固训练 1．在下列网格中，小正方形的边长均为1 ，点都在网格的顶点上，求 ．    【答案】 【分析】作交的延长线于，作交于，由题意可得，，，，由可得，再由正弦的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于， 则，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角形函数、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．如图，在网格内，则 ．    【答案】/ 【分析】延长到格点E，使，连接，取的中点F，且点F在格点上，连接，证明，根据，得出，证明，得出，求出，即可得出． 【详解】解：延长到格点E，使，连接，取的中点F，且点F在格点上，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为 ．    【答案】1 【分析】连接，根据勾股定理可求出，，从而得出，则根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接．    由图可知，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键． 4．（1）如图，是斜边上的高，，．则的值是 ； （2）在中，，是角平分线，，，则 ． 【答案】 /0.8 /0.5 【分析】（1）先利用勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据余弦的定义即可得； （2）如图（见解析），根据特殊角的余弦值可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：（1），，， ，， 是斜边上的高， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在中，，是角平分线，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦，熟练掌握余弦的定义是解题关键． 5．在中，，点D是直线上一点，若，，的值为 【答案】或 【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在线段的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：如图1，点D在线段上，过点A作于点E，过点B作于点F， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点D在线段的反向延长线上，过点A作于点E，过点B作于点F， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可知，的值为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键． 题型三　已知正弦值求边长 例题：如图，在中，，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的锐角的正弦等于该角的对边与斜边之比． 巩固训练 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先根据正弦函数得出，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(    )    A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得，进而可得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四　已知余弦值求边长 例题：已知：中，，，，则的长是（    ）． A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据余弦的定义可得，再代入数据可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是已知锐角的余弦求解边长，熟记三角函数的定义是解本题的关键． 巩固训练 1．如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果． 【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键． 2．如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五　已知正切值求边长 例题：如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用正切的定义求得，再根据中点的意义即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关键． 巩固训练 1．在如图矩形中，已知丄且为的中点，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过证得∽，根据对应边成比例求出，证明根据对应边成比例求出即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，证得三角形相似是解题的关键． 2．如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题可求出，取中点，连接，则是的中位线，满足，进而可求此时，然后在上取一点，使得，则是等腰三角形，再利用同角的三角函数相等，设，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 取中点，连接，则是的中位线，此时，， ∴， 在上取一点，使得，则是等腰三角形， 过点作，则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 设，则，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据进行分情况求解是解题的关键． 题型六　30°，45°，60°角的三角函数值 例题：的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊锐角60°的三角函数正弦值得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解题关键． 巩固训练 1．的值等于（      ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 2．计算： ， ． 【答案】 1 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】∵，， 故答案为：，1． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键． 3．在中，若，则的度数是 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的度数，然后求出的度数． 【详解】解：由题意得， 则， ∴ 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 题型七　与特殊角的三函数有关的计算题 例题：计算： 【答案】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的关键． 巩固训练 1．计算：． 【答案】 【分析】根据二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂是解题的关键． 2．计算：． 【答案】 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并即可解题． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键． 题型八　解直角（非直角）三角形 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中，若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形以及正弦和余弦的定义，是基础知识要熟练掌握． （1）根据勾股定理先求出，再根据， 求出从而得出； （2）先求得再根据的余弦值求出，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解： ， ∴或（舍去）， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，再根据正切函数的定义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，，， ，； （2）∵，， ∴， 在中， ，，， ∴． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】解非直角三角形 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型九　解直角三角形的应用 例题：（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】(1)5米 (2)宣传牌高约为2.7米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过B作的垂线，设垂足为G，在中解直角三角形求出的长，进而可求出，即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴米； （2）解：过B作于G， 由（1）得，米，米， ∴米， 在中，， ∴米； 在中，，米， ∴米， ∴米， 所以，宣传牌高约为2.7米 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度 (1)求的长； (2)已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，） 【答案】(1)米 (2)这辆汽车没有超速通过 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意在中，算出即可； （2）在中，算出米，求出，即可求出速度，比较即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 在中，米； （2）解：在中，， ∴米， ∴米， ∵一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒， ∴这辆汽车通过该路段的速度为， 故这辆汽车没有超速通过． 3．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、三线合一 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 4．（2024·湖北荆门·模拟预测）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点离桌面的高度为； (2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 五、坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 六、方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 八、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 03 题型归纳 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 例题：在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 例题1：如图，中，，，，则的值为 ．    例题2：如图，在中，，，，于点D，则的值为 ． 例题3：在中，，，，则的值为 ． 巩固训练 1．在下列网格中，小正方形的边长均为1 ，点都在网格的顶点上，求 ．    2．如图，在网格内，则 ．    3．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为 ．    4．（1）如图，是斜边上的高，，．则的值是 ； （2）在中，，是角平分线，，，则 ． 5．在中，，点D是直线上一点，若，，的值? 题型三　已知正弦值求边长 例题：如图，在中，，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 巩固训练 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(    )    A． B． C． D．无法计算 题型四　已知余弦值求边长 例题：已知：中，，，，则的长是（    ）． A．3 B．6 C．9 D．12 巩固训练 1．如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．8 2．如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）    A． B． C． D． 题型五　已知正切值求边长 例题：如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 巩固训练 1．在如图矩形中，已知丄且为的中点，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 题型六　30°，45°，60°角的三角函数值 例题：的值等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．的值等于（      ） A． B． C．1 D．3 2．计算： ， ． 3．在中，若，则的度数是 题型七　与特殊角的三函数有关的计算题 例题：计算： 巩固训练 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 题型八　解直角（非直角）三角形 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 题型九　解直角三角形的应用 例题：（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某中学数学社团开展数学社会实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传 感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在距离地面高8米（即米）的A 处放有该传感器装置，在A处测得点C的俯角是，测得点D的俯角是．当汽车从公路上的M处由东向西行驶时经过点C时传感器会开始计时，当汽车到达点D时会停止计时，通过计算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度 (1)求的长； (2)已知该路段限速，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是秒，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过？（不考虑传感器反应时间，） 3．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 4．（2024·湖北荆门·模拟预测）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$