第二十六章 解直角三角形压轴训练（单元复习 9类压轴）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十六章 解直角三角形压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 1 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 8 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 14 压轴题型四　解直角三角形应用与特殊三角形的综合 20 压轴题型五　解直角三角形应用与平行四边形的综合 25 压轴题型六　解直角三角形应用与菱形的综合 28 压轴题型七　解直角三角形应用与矩形的综合 31 压轴题型八　解直角三角形应用与正方形的综合 37 压轴题型九　解直角三角形应用与其他图形的综合 41 02 压轴题型 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 例题：（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 2．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 例题：（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 巩固训练 1．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 2．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 压轴题型四　解直角三角形应用与特殊三角形的综合 例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 巩固训练 1．露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 2．油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时． (1)　 　，　 　； (2)求线段的长；（结果保留整根号） (3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 压轴题型五　解直角三角形应用与平行四边形的综合 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 巩固训练 1．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； (3)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到 压轴题型六　解直角三角形应用与菱形的综合 例题：如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且． 当点P向下滑至点N处时，测得时 求滑槽MN的长度； 此时点A到直线DP的距离是多少？ 当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？ 结果精确到，参考数据 巩固训练 1．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 压轴题型七　解直角三角形应用与矩形的综合 例题：某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 巩固训练 1．如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行(如图3)． (1)杯子与水平线的夹角______； (2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？(结果精确到，参考数据：，，) 2．如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．    (1)当时，求货厢最高点C离地面的距离． (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据： ） 压轴题型八　解直角三角形应用与正方形的综合 例题：图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 巩固训练 1．测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示． （1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m． （2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度． 压轴题型九　解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 巩固训练 1．在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．    (1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度． (2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离． 2．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1)当悬臂与桌面平行时，=___________° (2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 解直角三角形压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 1 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 8 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 14 压轴题型四　解直角三角形应用与特殊三角形的综合 20 压轴题型五　解直角三角形应用与平行四边形的综合 25 压轴题型六　解直角三角形应用与菱形的综合 28 压轴题型七　解直角三角形应用与矩形的综合 31 压轴题型八　解直角三角形应用与正方形的综合 37 压轴题型九　解直角三角形应用与其他图形的综合 41 02 压轴题型 压轴题型一　解直角三角形应用仰角俯角问题 例题：（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)圆锥的侧面积为平方米 (2)亭盖的外部面积为平方米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆锥的侧面积．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积母线长底面半径． （1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积母线长底面半径，可得圆锥的侧面积； （2）设长米，根据的值，可得的值，进而根据的值可得用表示的．计算出的值后利用勾股定理求得的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 米，米， （米． 圆锥的侧面积（米． 答：圆锥的侧面积为平方米； （2）解：由题意得：． 设长米． ， 米． 米， 米． ， ． 解得：． 米，米， 米． 米，． （米． 圆锥的侧面积（米． 答：亭盖的外部面积为平方米． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)索道的长约为． (2)水平距离的长约为 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． （2）延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米 (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 压轴题型二　解直角三角形应用方位角问题 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 【答案】不能．理由见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点D，求出C到的距离为并与比较即可得出结论． 【详解】解：不能．理由如下： 由题意可得， 设C到的距离为，如图，过点C作于点D， 则， 则有， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴不穿过文物保护区． 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】(1)小山与亭台之间的距离米 (2)小玲先到达寺庙处 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【详解】（1）作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 （2）延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 2．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为 (2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可． （1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果； （2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M， 由题意可知：中，，， ， ， 在中，，， ， ， 答：B点与糖所在位置C点之间的距离为； （2）如图，过点C作与点N， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为． 压轴题型三　解直角三角形应用坡度坡比问题 例题：（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 巩固训练 1．（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 2．（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角和坡度坡比问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由坡度的定义和勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作于交于，四边形、四边形是矩形，求出的长，再由三角函数定义求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 答：到三楼地面的高度为． （2）如图，过点作于点，过点作于交于， 由题意可知，，四边形、四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：日光灯到三楼地面的高度为． 压轴题型四　解直角三角形应用与特殊三角形的综合 例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答； （2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则， 则在中， (米)， ∵是等腰三角形， ∴ (米)． ∵四边形是矩形， ∴(米)； （2）解：如图，过A作，交于点I． 在中， (米)， 在中， (米)， ∴ (米)， ∴(米)， 即点A到屋面的距离约为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 巩固训练 1．露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得； （2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴平分，， ∵， ∴， 在中，， ∵米， ∴米， 则米， 故遮阳宽度为米．    （2）∵在中，， ∴米， 当从变为， 如图所示：旋转到， 则， 过点作交于点H，则， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴米， ∴O点下降到H点的距离为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算． 2．油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时． (1)　 　，　 　； (2)求线段的长；（结果保留整根号） (3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：（2）过点B作，垂足为E， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴线段的长为； （3）解：（3）∵， ∴， ∴， 解得：， ∴最少需要准备长的伞柄． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 压轴题型五　解直角三角形应用与平行四边形的综合 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题． 巩固训练 1．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； (3)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到 【答案】(1) (2) (3)汽车能安全通过，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可； （2）根据弧长公式解答即可； （3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点， ，， ， ； （2）点是点绕点旋转得到， 点经过的路径长为； （3）在上取，，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时， 汽车高度为， ， ，， ，，， ， ， 汽车能安全通过． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 压轴题型六　解直角三角形应用与菱形的综合 例题：如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且． 当点P向下滑至点N处时，测得时 求滑槽MN的长度； 此时点A到直线DP的距离是多少？ 当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？ 结果精确到，参考数据 【答案】（1）①；②（2） 【分析】（1）①作于H，由得出，进而求出MN； ②点A到直线DP的距离是； （2）当点P向上滑至点M处时，是等边三角形，作于G，求CG，即可求出结果． 【详解】解：当点P向下滑至点N处时，如图1中，作于H． ， ， ，即， ， ， ． 滑槽MN的长度为． 根据题意，点A到直线DP的距离是． 当点P向上滑至点M处时，如图2中，是等边三角形， ， 作于G，则， 此时点A到直线DP的距离是， ， ∴点A在相对于的情况下向左移动的距离是．   【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键． 巩固训练 1．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论; （2）解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1, ∴△AEF是等边三角形, ∴∠AFE＝60°, 连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK, ∵△AEF是等边三角形, ∴AK＝, ∴, ∴FM＝2FK＝, ∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）; （2）∵∠AFE＝74°, ∴∠AFK＝37°, ∴KF＝AF•cos37°≈0.80, ∴FM＝2FK＝1.60, ∴BC＝4FM＝6.40＜6.92, 6.92﹣6.40＝0.5, 答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键. 压轴题型七　解直角三角形应用与矩形的综合 例题：某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2) 【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形； （2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，由旋转性质得， ∴， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．    ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， 由平行线的性质知， ∴， ∴， 即点到水平地面的距离约为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形． 巩固训练 1．如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行(如图3)． (1)杯子与水平线的夹角______； (2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？(结果精确到，参考数据：，，) 【答案】(1) (2)点A的位置是下降了厘米 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示， 过点作于点，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴； 点A的位置是下降了厘米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．    (1)当时，求货厢最高点C离地面的距离． (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据： ） 【答案】(1)货厢最高点C离地面的距离约为 (2)该货车不会倾覆，理由见解析 【分析】（1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米； （2）不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 压轴题型八　解直角三角形应用与正方形的综合 例题：图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 【答案】(1)四边形是菱形，详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论； （2）作于点M，解，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形  ， 理由：正方形与正方形的面积相等， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形 ． （2）解：作于点M，    在中，， ，得  ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键． 巩固训练 1．测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示． （1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m． （2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度． 【答案】（1）100；（2）． 【分析】（1）如图2中，连接交于，勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得； （2）如图1中，连接，,过点作交的延长线于,勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得． 【详解】（1）如图2中，连接交于， 四边形是正方形， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例， ， ， 故答案为：100． （2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于, ， ， ，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 乙金字塔的高度为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 压轴题型九　解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点，    在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下： 如图，过作，垂足为点，    ，， ， ， ， 在中，， ． 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为． ， 没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 巩固训练 1．在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．    (1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度． (2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度； （2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案． 【详解】（1）解：在图1中，过点D作交与点P，    在中，， 在中，， ∴， 即连接杆的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴在此过程中点E滑动的距离为， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1)当悬臂与桌面平行时，=___________° (2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作    ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： （2）解：过作与交于，过作与交于    ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ （3）解：过作，，    ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$