第二十六章 解直角三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十六章 解直角三角形单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查特殊角的三角函数值问题，根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 3．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 5．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ，，，， ∴、、错误，正确， 故选B． 6．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 7．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】余弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 8．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 9．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【详解】解：， ，， ，， ，， 的度数是：． 故选：C． 10．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测， ∴仰角为，俯角为， 故A和C选项是正确的，不符合题意； 如图： 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴仰角减小 故选项是错误的，符合题意； 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴俯角减小 故选项是正确的；不符合题意． 故选：． 11．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求角的余弦值 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 12．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，可得，进而可得，，根据，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 13．如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．直线与相交于点D，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、求角的正弦值 【分析】本题考查了作垂直平分线，等角对等边，求正弦，掌握基本作图以及正弦的定义是解题的关键．根据垂直平分线的性质得出，继而得出，根据，得出，进而得出，求得，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线， ， ， 在中，． ， ， ， ， ， 又， ． 故选：B 14．如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（    ）    A．12 B．17 C．20 D．21 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】由矩形的性质可得出，，，结合已知条件可得出，由等角对等边可得出， 解直角三角形可得出，设，，利用勾股定理解出x， 再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴的面积：， 故选∶B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定以及性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用， 掌握这些性质是解题的关键． 15．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 16．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形是正方形 ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 又， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 过点作于，过点作于， 由题意可得，， ，， ，故③正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，不是中点， ， ，故④错误； ，， ， ， ， 又，， ，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．已知α为锐角， 且，则α等于 ． 【答案】/40度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，α为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 18．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 【答案】 / 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ①由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；②如图：过点A作，交的延长线于点H，利用平角定义可求出∠，从而可得是等腰直角三角形，则，先求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵中，， ∴； 如图：过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 19．如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为 ．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理、三角函数解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，然后利用余弦函数求解即可；过点G作于点H，根据相似三角形的判定和性质得出，，设，设，则，利用勾股定理及相似三角形的性质代入求解确定，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形， ∴， ∵BE平分交于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、解非直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】(1) (2)图见解析， 【知识点】作垂线(尺规作图)、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 23．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 两楼之间的距离为； （2）解：在中，，， ， ， 大厦的高度约为． 25．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 【答案】(1)视线距离的长为； (2)需要将支架调整到． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解； （）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解； 本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴视线距离的长为； （2）解：如图，连接，延长交于点， 由题意可得：，，，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴需要将支架调整到． 26．综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 解直角三角形单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．的值是（    ） A． B． C． D．1 2．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 4．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 9．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 11．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 12．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．直线与相交于点D，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 14．如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（    ）    A．12 B．17 C．20 D．21 15．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 16．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．已知α为锐角， 且，则α等于 ． 18．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 19．如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为 ．若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算：． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 23．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 24．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 25．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 26．综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$