精品解析：云南省曲靖市罗平县第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考考试数学题

罗平县第一中学2024～2025学年上学期9月月考考试 高二数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算计算出，再求其补集即可. 【详解】解：因为，则， 故. 故选：D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得. 【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即. 故选：A 3. 设，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求出，再根据求出，故可求. 【详解】因为，故，故， 因为，故，故，故，， 故，故， 故选：D. 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B 5. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用各组的频率之和为1，求出，再根据众数、中位数、利用频率估计概率的定义逐一分析即可. 【详解】由频率分布直方图得，解得，故正确； 频率最大的组为第二组，中间值为，所以众数为45，故正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，故错误； 由于质量指标在之间的频率之和为， 可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故正确； 故选：. 6. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得及，再结合求出，即可得解. 【详解】解：由题意知，，，又， ∴，，， 故双曲线实轴长为. 故选：C. 7. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，平方后求出，求出答案. 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用放缩法和中间值比较大小，得到. 【详解】因为， ，故， ， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的一条对称轴方程为，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由称轴方程为,可得，从而可求出的值. 【详解】解：因为函数的一条对称轴方程为， 所以，解得， 所以当时，， 当时，， 当时，， 故选：BD 【点睛】此题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题. 10. 如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（ ）． A. 曲线与轴围成的面积等于 B. 曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 所在圆的方程为： D. 与的公切线方程为： 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误. 【详解】由题意，连接，过点作轴于，轴于，如图所示： A选项：由图可得面积，故A错误， B选项：曲线上有，，，，5个整点，故B正确， C选项：所在圆圆心为，半径为1，故圆的方程为：，故C正确， D选项：设与的公切线方程为：，根据图像知，则，， 解得，，即，故D正确． 故选：BCD． 11. 椭圆的左､右两焦点分别是，其中．过左焦点的直线与椭圆交于两点．则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若的中点为所在直线斜率为，则 C. 若最小值为，则椭圆的离心率 D. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的定义即可；对于B，利用点差法结合斜率公式即可； 对于C，根据通经的性质结合离心率即可；对于C，根据向量的数量积整理函数解析式即可. 【详解】直线过左焦点的周长为，A正确； 设，则，点．由 ①-②得，故B错误； 当轴时，最小，令，解得， ，整理得，即，解得或-2（舍去），故C正确； ， ， ， 即，即，可得， 则椭圆的离心率的取值范围是，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义及特殊角的正余弦值，结合诱导公式计算即可. 【详解】根据正切函数的定义可知， 所以. 故答案为： 13. 已知复数z满足，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解. 【详解】设，由，可得， 则，即， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而表示复数对应的点到坐标原点的距离， 所以的最大值就是. 故答案为：. 14. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据截角四面体的定义，还原为正四面体，然后利用正四面体的相关性质即可求解. 【详解】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为， 设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则， 所以，解得， 所以该截角四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，，求外接圆的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解； （2）根据余弦定理和正弦定理即可求解. 小问1详解】 由正弦定理知，， 所以， ∴，且，， ∴，. 【小问2详解】 由余弦定理得，，， ∴，. ∴外接圆面积. 16. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1）证明见解析，. （2）. 【解析】 【分析】对于（1），将化为即可得答案； 对于（2），由（1）结合题意可得l方程，求得l到圆C圆心距离，结合圆半径可得答案. 小问1详解】 ：， 联立 解得 故直线恒过定点. 【小问2详解】 由题意直线的斜率，得， ∴： 圆：，圆心，半径， 圆心到直线的距离 所以直线被圆所截得的弦长为. 17. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程； （2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】（1）由题知，，， 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点）， 设动点的轨迹方程为，则，， ，得，因此，动点的轨迹方程为； （2）由（1）可知，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题. 18. 在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质以及直线与平面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【小问1详解】 证明：因为平面平面BCDE，平面平面， 且，又平面， ∴平面BCDE，又平面BCDE，∴， 又在中，，则， 又F为CE中点，故，且平面AEC， 则平面AEC. 【小问2详解】 由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分别以ED，EB，EA为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，    其中，，，，则，，， 不妨设，则， 再设，分别是面ADQ、面EDQ的法向量， 则分别满足与 令，，得到，． 由题意知，，解得，即． 19. 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果. 【小问1详解】 设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； 【小问2详解】 由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故  同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 罗平县第一中学2024～2025学年上学期9月月考考试 高二数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3 设，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 5. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 6. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 8 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的一条对称轴方程为，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（ ）． A. 曲线与轴围成面积等于 B. 曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 所在圆的方程为： D. 与公切线方程为： 11. 椭圆的左､右两焦点分别是，其中．过左焦点的直线与椭圆交于两点．则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若的中点为所在直线斜率为，则 C. 若的最小值为，则椭圆的离心率 D. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则______． 13. 已知复数z满足，则的最大值为____________． 14. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，，求外接圆的面积 16. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长. 17. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 18. 在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 19. 已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$