精品解析：吉林省长春市第八十七中学（13-18班）2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

87中九年级数学第一次大练习（13-18班） 一、选择题（每题：3分，8小题共24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=3，c=4，d=1 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A.1×4≠3×2，故本选项不符合题意； B.4×10≠6×5，故本选项不符合题意； C.4×3=2×6，故本选项符合题意； D.2×3≠1×4，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 3. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB＝， ∴＝=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义． 4. 如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义计算，判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，米，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5. 如图，在平行四边形中，，E为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，E为的中点，， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的顶点坐标为是解题关键． 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（每题3分，6小题共18分） 9. 若，则锐角_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 10. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可. 【详解】∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：， 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解决问题关键 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 12. 如图，已知tanα＝，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是______． 【答案】(4，2) 【解析】 【分析】过作轴于，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出，即可得出答案． 【详解】解：过作轴于 则 在中， 即 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数的定义，坐标与图形性质的应用，关键是构造直角三角形，主要培养了学生运用锐角三角函数的定义进行计算的能力． 13. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°， ∴AD=CD=60m， 在Rt△ABD中， AB=AD•sin∠ADB=60×=(m). 故答案是：. 14. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE， ∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴， ∴，故③错误， 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a， ∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确. 故答案是：①②④． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 【答案】3+ 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=， ∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3， ∴AB=AD+BD=3+， 答：AB的长是3+． 【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 17. 若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【答案】为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 18. 按要求作图（必须用直尺连线）： （1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1， （2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB． 【答案】 （1）如图①所示，△DEC即为所求； （2）如图②所示，C点和△ACB即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质即可画出△DEC； （2）利用锐角三角函数即可求出BC长度，结合网格即可找出C点和画出△ACB． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查位似变换和利用正切值求边长，掌握相关性质是解答本题的关键． 19. 如图，在矩形中，E为边上一点，将点C沿翻折恰好落到边上的点F处． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质的，根据翻折的性质得出，根据同角的余角互余得出，即可证明； （2）可设，，则，根据翻折可得，，由相似三角形的性质可得，代入数据求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 根据翻折可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 可设，， ∵， ∴， 根据翻折可得，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元件） … 月销量（件） … 已知该运动服每件的进价为元，设每件的售价为元． （1）请用含的代数式填空：销售该运动服每件的利润是__________元；销售该运动服的月销量是__________件； （2）设销售该运动服的月利润为元，求与之间的函数关系式． 【答案】（1），； （2）与之间的函数关系式． 【解析】 【分析】（）根据题意可以得到销售该运动服每件的利润，根据题意和表格可以得月销售量； （）根据“利润单件利润销售量”即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：销售该运动服每件的利润是（元）， 根据表格可知：设月销售量与的关系式为， ∴，解得：， ∴销售该运动服的月销量是， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（）得：销售该运动服每件的利润是元，销售该运动服的月销量是件， ∴， ∴与之间的函数关系式． 21. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 22. 已知：在中，，动点D绕的顶点A逆时针旋转，且，连接．过、的中点E、F作直线，直线与直线、分别相交于点M、N． （1）李明研究如图1，发现当点D旋转到的延长线上时，点N恰好与点F重合，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，得出结论与关系式____________________（不需证明）； （2）当点D旋转到图2位置时，与有何数量关系？李明只证明了一部分，请你接着补充证明过程： 证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，，． （3）图3中的位置时，请直接写出与数量关系____________________． 【答案】（1） （2） 证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，， ． 同理，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形中位线的性质：三角形的中位线平行并且等于第三边的一半．理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形中位线定理和平行线的性质，可知，，，，由，可知，得，进而可得答案； （2）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，，，，可知，即可证得； （3）同（2）即可求解． 【小问1详解】 解：∵、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， 则，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接、． ∵F是的中点，H是的中点， ∴，， ∴， 同理，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）． （1）的值为______． （2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示） （3）当时，求△PCQ的面积． （4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解； （2）分两种情形求解即可．①如图（1）中，当时，②如图（2）中，当时； （3）当时，点P线段BC上，可求出PQ的长，根据三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情形分别求解即可：①当点M在线段AC上；②当点N在线段AC上． 【小问1详解】 解：在Rt△ABD中，，， ∴，∴， 故答案为． 【小问2详解】 ①如图（1）中，当时， ∵，∴，∴，∴． ②如图（2）中，当时， ∵，∴，∴， ∴． 综上，当时，；当时，． 【小问3详解】 当时，，， ∴． 【小问4详解】 ①当点M在线段AC上时，如图， ， 在Rt△APQ中，，， 则，由矩形的性质可知，，， 又，∴， ∴，即，解得； ②当点N在线段AC上，如图， 由题意可知，， 由矩形的性质可知，，，又，∴， ∴，即，解得． 综上，或． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24. 已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． （1）求抛物线解析式； （2）连接，当与轴平行时，求点坐标； （3）抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）； （3）与之间的函数关系式；的值为或或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由由（）得：抛物线解析式为求出，，然后根据与轴平行得出一元二次方程∴，然后解方程即可； （）先根据题意求出的取值范围，根据的范围，结合的位置，分情况讨论即可得出结论； 根据中的取值范围，进行分类讨论，结合图形列出方程，解之即可； 本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，分类讨论思想等相关知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线，经过， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 由（）得：抛物线解析式为， ∵点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴当时，；当时，； ∴，， ∵与轴平行， ∴，解得：（舍去），， ∴； 【小问3详解】 由（）得：抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又由（）得：，， ∵当时，即， ∴或， 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为抛物线解析式顶点， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； ∴与之间的函数关系式； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时，解得：或， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：或， 如图，点，点在正方形的内部，当时，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，解得：（舍去）或； 如图，点，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，无实数根； 如图，点，点在正方形的内部，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为抛物线解析式顶点， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：， 综上可知：的值为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 87中九年级数学第一次大练习（13-18班） 一、选择题（每题：3分，8小题共24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=3，c=4，d=1 2. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，E为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，6小题共18分） 9. 若，则锐角_________． 10. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为______． 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 12. 如图，已知tanα＝，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是______． 13. 如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)． 14. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 17. 若，，为的内角，试确定三角形的形状． 18. 按要求作图（必须用直尺连线）： （1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1， （2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB． 19. 如图，在矩形中，E为边上一点，将点C沿翻折恰好落到边上的点F处． （1）求证：； （2）若，，则______． 20. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元件） … 月销量（件） … 已知该运动服每件的进价为元，设每件的售价为元． （1）请用含的代数式填空：销售该运动服每件的利润是__________元；销售该运动服的月销量是__________件； （2）设销售该运动服的月利润为元，求与之间的函数关系式． 21. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 22. 已知：在中，，动点D绕的顶点A逆时针旋转，且，连接．过、的中点E、F作直线，直线与直线、分别相交于点M、N． （1）李明研究如图1，发现当点D旋转到的延长线上时，点N恰好与点F重合，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，得出结论与关系式____________________（不需证明）； （2）当点D旋转到图2位置时，与有何数量关系？李明只证明了一部分，请你接着补充证明过程： 证明：取的中点，连接、． 是的中点，H是的中点， ，，． （3）图3中的位置时，请直接写出与数量关系____________________． 23. 如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）． （1）的值为______． （2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示） （3）当时，求△PCQ的面积． （4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值． 24. 已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． （1）求抛物线解析式； （2）连接，当与轴平行时，求点坐标； （3）抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $