7.7 抛物线(Word讲义)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第7节　抛物线 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养． 2．抛物线的标准方程与几何性质掌握与应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 3．直线与抛物线的位置关系的判断与应用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养 　　抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为中高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 　　　　　　　　对应学生用书P155 [必备知识] 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 准线 ． (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的　距离　 图形 顶点 　O(0,0)　 对称轴 　y＝0　 　　 x＝0 焦点 　F　 　F　 　F　 　F　 离心率 e＝　1　 准线 方程 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0， y∈R x≤0， 　y∈R　 y≥0， 　x∈R　 y≤0， x∈R 开口 方向 向　右　 向　左　 向　上　 向　下　 焦半径 (其中P (x0，y0)) |PF|＝ 　x0＋　 |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ 　－y0＋　 　与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　 ) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) (5)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　 ) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [小题查验] 1．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是(　　) A．y2＝2x　　　　　　　 B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：D　[由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x.] 2．抛物线x2＝－4y的准线方程是(　　) A．y＝1 B．y＝－1 C．y＝2 D．y＝－2 解析：A　[由题知抛物线x2＝－2py＝－4y，所以p＝2，故抛物线x2＝－4y的准线方程为y＝＝1.] 3．(2024·南京市三模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在圆x2＋y2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：C　[由于抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为x正半轴上，x2＋y2＝4与x正半轴的交点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以＝2⇒p＝4， 因此抛物线的焦点到准线的距离为p＝4，故选C.] 4．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则A到C的准线的距离为________． 解析：由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x， 准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝. 答案： 5．(2024·北京卷)已知抛物线y2＝16x，则焦点坐标为________． 解析：由题意抛物线的标准方程为y2＝2px，则p＝8，所以其焦点坐标为(4,0)． 答案：(4,0) 　　　　　　对应学生用书P157 考点一　抛物线的标准方程与几何性质(自主练透) [题组集训] 1．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．(1,0) D．(2,0) 解析：B　[将x＝2代入y2＝2px(p>0)得y＝±2.由OD⊥OE得kOD·kOE＝－1，即·＝－1，得p＝1，所以抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为F，故选B.] 2．(2024·莱芜质检)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1　　 B．2　　　 C．2　　 D．4 解析：B　[考查抛物线焦点坐标和点到直线的距离，属于基础题．d＝＝⇒p＝2.] 3．(2024·天津卷)(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． 解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1,0)，故＝1即p＝2， 由，可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍)， 故A(4，±4)，故直线方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0， 故原点到直线AF的距离为d＝＝. 答案： 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点二　抛物线的定义及其应用(多维探究) [命题角度1]　到焦点与定点距离之和最小问题　 1．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小，则点P的坐标为____________． 直观想象、逻辑推理数学运算——抛物线的 定义及其应用中的核心素养 以抛物线的简单几何性质的相关知识为基础，借助抛物线及其他平面图形的几何性质和数量关系建立有关的方程及不等式，通过解方程式、不等式求距离和最小值，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 信息提取 信息解读 直观想象、逻辑 推理和数学运算 抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2，4) 点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部 直观想象：画出符合题意的图形． 逻辑推理：数形结合，利用抛物线的定义以及三角形三边关系定理，过点A作准线l的垂线，垂线与抛物线的交点即为点P. 数学运算：点P的横坐标就是点A的横坐标，将其代入抛物线的方程即可求出点P的纵坐标 在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小 根据抛物线的定义，|PF|等于点P到抛物线的准线为l的距离 解析：∵(－2)2<8×4， ∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ. 由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|. ∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝. 故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为. 答案： 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． [命题角度2]　到点与准线的距离之和最小问题　 2．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是____________． 解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1. 答案：－1 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． [命题角度3]　到定直线的距离最小问题　 3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是____________． 解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝. 法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)， 则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是. 答案： 到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之间的距离． [命题角度4]　焦点弦中距离之和最小问题　 4．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为____________． 解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 答案：2 在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最短．这是一个定值问题，需牢记． 考点三　直线与抛物线的位置关系(多维探究) [命题角度1]　直线与抛物线的公共点(交点)问题　 1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值． 解：(1)依题意，抛物线y2＝2px经过点P(1,2)， 可得：4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，由题意可知k≠0. ①若直线l恰好过点P(1,2)，此时k＝＝1， 由题意可知直线l不能过点P， ∴直线l的斜率k≠1. ②若直线l与抛物线的一个交点恰为(1，－2)，此时该点与P点所在直线斜率不存在，则该直线与y轴无交点，与题目条件矛盾，此时k＝＝－3 ∴直线l的斜率k≠－3. ③设直线l的方程为y＝kx＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，消y整理可得：k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. ∵直线l与抛物线有两个不同的交点， ∴Δ＝(2k－4)2－4k2>0，解得：k<1. 综上所述，k的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1) (2)证明：因为A(x1，y1)B(x2，y2)，P(1,2)，Q(0,1)， 所以直线PA的方程为y－2＝(x－1)， 令x＝0，解得y＝＋2＝， 所以M的坐标为. 同理可得：N的坐标为. 所以＝， ＝，＝(0，－1)， 由＝λ，＝μ可得： －1＝－λ，－1＝－μ 所以λ＝1－＝＝，同理可得：μ＝. 所以＋＝＋ ＝ ＝·. 由(1)可得：x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＋＝·＝·(2k－2)＝2.所以＋为定值2. ①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧． [命题角度2]　与抛物线弦长(中点)有关的问题　 2．(2024·临沂二模)如图，已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2. (Ⅰ)求抛物线的方程； (Ⅱ)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围． 解：(Ⅰ)|MF|＝p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x. (Ⅱ)F(1,0)，M(－1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 显然直线AB斜率不为0，故可设AB：x＝my＋1， 因为R，N不重合，故l不过点F(1,0)，故可设l：y＝2x＋n，(n≠－2)，联立直线AB与抛物线方程可得⇒y2－4my－4＝0， 故由韦达定理可知，故y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋8， 直线AM的方程为y＝(x－x1)＋y1， 联立直线AM和l可得 P， 同理可得Q， 故|yP·yQ|＝＝ ＝ ＝，联立直线AB和l解得yR＝， 因为|RN|2＝|PN|·|QN|，故y＝2＝ |yPyQ|＝， 故＝＝1＋＋≥，解得n∈(－∞，－2)∪(－2,14－8]∪[14＋8，＋∞)， 故－∈(－∞，－7－4]∪[－7＋4，1)∪(1，＋∞)，直线l在x轴上截距的取值范围为 (－∞，－7－4]∪[－7＋4，1)∪(1，＋∞) (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$