1.1 集 合(Word讲义)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第1节　集　合 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的从属关系． 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 4．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 7．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养． 2．集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养． 3．集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养 　　集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情境设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情境设置题的阅读理解能力 　　　　　　　　对应学生用书P1 [必备知识] 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质： 确定性 、 无序性 、 互异性 ． (2)元素与集合的关系 ①属于，记为 ∈ ；②不属于，记为 ∉ . (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R (4)集合的表示方法：① 列举法 ；② 描述法 ；③ 图示法 ． 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真 子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 数学 语言 {x| x∈A， 或x∈B } {x| x∈A， 且x∈B } {x|x∈U， 且x∉A} 运算 性质 A∪∅＝ A ； A∪A＝ A ； A∪B＝B∪A A∩∅＝ ∅ ； A∩A＝ A ； A∩B＝B∩A A∪(∁UA)＝ U ；A∩(∁UA)＝ ∅ ； ∁U(∁UA)＝ A 1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N*⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　 B．1　　　C.　　 D．－1 解析：B　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意．] 2．(2024·全国甲卷(文))若集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1,3,4} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4,9} 解析：C　[因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|x＋1∈A}＝{0,1,2,3,4,8}，所以A∩B＝{1,2,3,4}．] 3．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x＜4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x＜1} B．{x|x＞－3} C．{x|－3＜x＜4} D．{x|x＜4} 解析：C　[因为集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x＜4}，所以M∪N＝{x|－3＜x＜4}．] 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} 解析：A　[由题意可知集合B中，只有－1,0满足集合A，所以A∩B＝{－1,0}．] 5．已知A＝{x|2x≤1}，B＝{－1,0,1}，求A∩B＝____________. 解析：∵A＝，B＝{－1,0,1}，∴A∩B＝{－1,0}． 答案：{－1,0} 　　　　　　对应学生用书P2 考点一　集合的基本概念(自主练透) [题组集训] 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　 ) A．9　　 B．8　　　C．5　　 D．4 解析：A　[∵x2＋y2≤3，∴x2≤3， ∵x∈Z，∴x＝－1,0,1， 当x＝－1时，y＝－1,0,1； 当x＝0时，y＝－1,0,1； 当x＝1时，y＝－1,0,1； 所以A中的元素共有9个．] 2．(2024·重庆市二模)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　 ) A. B. C．0 D．0或 解析：D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，解得a＝， 综上可知，a的取值为0或.] 3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m＝____________. 解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去． 当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)， 此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意． 所以m＝－. 答案：－ 4．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n) 2 024＝____________. 解析：由M＝N，知或 ∴或∴(m－n)2 024＝1或0. 答案：1或0 1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．对于集合相等的问题，首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．　 考点二　集合间的基本关系(师生共研) [典例]　(1)已知集合A＝{x|ax＝1}, B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是(　　) A．{－1}　　　　　　　　 B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________________________________________________________________________． [解析]　(1)由题意，得B＝{－1,1}， 因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0； 当A＝{－1}时，a＝－1；当A＝{1}时，a＝1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{－1,0,1}． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则，解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为m≤4. [答案]　(1)D　(2){m| m≤4} [互动探究] 本例(1)中若A＝{x|ax>1(a≠0)}，B＝{x|x2－1>0}，其他条件不变，则a的取值范围是____________． 解析：由题意，得B＝{x|x>1，或x<－1}， 对于集合A，①当a>0时，A＝. 因为A⊆B，所以≥1.又a>0，所以0<a≤1. ②当a<0时，A＝. 因为A⊆B，所以≤－1， 又a<0，所以－1≤a<0， 综上所述，0<a≤1，或－1≤a<0. 故a的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． 答案：[－1,0)∪(0,1] 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． [跟踪训练] 1．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有两个，则实数a＝____________. 解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一个根． 当a＝0时方程无解． 当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4. 答案：4 2．(2024·青岛三模)已知集合A＝，B＝{x|log2x≥a}，若B⊆(∁RA)，则a的取值范围是________． 解析：由≤0，得－2≤x＜2，所以A＝{x|－2≤x＜2}，则∁RA＝{x|x＜－2，或x≥2}， 由log2x≥a，得x≥2a，又B⊆(∁RA)，所以2a≥2， 解得a≥1.故a的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 考点三　集合的基本运算(多维探究) [命题角度1]　求交集、并集　 1．(2024·天津卷)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　) A．{1,2,3,4}　　　　　 B．{2,3,4} C．{2,4} D．{1} 解析：B　[因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3,4}．] 2．(2022·浙江卷)设集合A＝{1,2}，B＝{2,4,6}则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1,2} C．{2,4,6} D．{1,2,4,6} 解析：D　[由并集运算，得A∪B＝{1,2,4,6}．] [命题角度2]　集合的交、并、补的综合运算　 3．(2024·全国甲卷(理))已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 解析：D　[因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}＝{1,4,9,16,25,81}，所以A∩B＝{1,4,9}，所以∁A(A∩B)＝{2,3,5}．] 4．(2024·上海质检)已知集合M＝{x|log3x＜0}，N＝，则M∪(∁RN)＝(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1] 解析：D　[由log3x＜0，可得log3x＜log31，所以0＜x＜1，即M＝{x|log3x＜0}＝{x|0＜x＜1}，对于函数y＝＋，则，解得0≤x＜1或x＞1，所以N＝＝[0,1)∪(1，＋∞)，所以∁RN＝(－∞，0)∪{1}，所以M∪(∁RN)＝(－∞，0)∪(0,1]．] [命题角度3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)　 5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　 ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 解析：C　[由题意可知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，从而B＝{1,3}．] 6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是____________． 解析：∁RB＝{x|x＜1，或x＞2}， 要使A∪(∁RB)＝R， 则a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 　提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 学科网（北京）股份有限公司 $$