9.6 事件的相互独立性(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第6节　事件的相互独立性 1．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　　) A．0.42　 B．0.28　　 C．0.18　 D．0.12 解析：D　[∵甲、乙考试相互独立，∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为：P＝(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.] 2．甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为(　　) A．0.44 B．0.48 C．0.88 D．0.98 解析：A　[设事件A＝{甲投中}，事件B＝{乙投中}，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.6，则恰有一人投中的概率为：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44.] 3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p等于(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：B　[由题意得(1－p)＋p＝， ∴p＝.] 4．(2024·邢台质检)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回，记事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个球中有红球”；事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则(　　) A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．B与C相互独立 D．C与D相互独立 解析：D　[依题意得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝0≠P(A)P(B)，故A项错误；P(C)＝＝，P(AC)＝0≠P(A)P(C)，故B项错误；P(BC)＝＝≠P(B)P(C)，故C项错误，P(D)＝＝，P(CD)＝＝＝P(C)P(D)，故D项正确．] 5．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解析：ABD　[对于AB，由相互独立的积事件的概率乘法公式可知AB正确：对于C，三次传输译码为1，则可能是三次全部译为1，或者有两次译为1，则概率为Cβ(1－β)2＋(1－β)3，故C错误；对于D，可以采用特值法或者作差法计算．三次传输方案译为0的概率为Cα(1－α)2＋(1－α)3，单次传输译为0的概率为1－α，而Cα(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝(1－α)α(1－2α)＞0，所以D正确．] 6．甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是_____________． 解析：依题意，设A＝{至少有1人破译出密码}，则A的对立事件＝{三人都没有破译密码}， 则P()＝××＝， P(A)＝1－P()＝1－＝. 答案： 7．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为____________． 解析：设“从甲袋中取白球”为事件A， 则P(A)＝＝. 设“从乙袋中取白球”为事件B，则P(B)＝＝. 取得同色球为AB＋ . P(AB＋ )＝P(AB)＋P( )＝P(A)·P(B)＋P()·P()＝×＋×＝. 答案： 8．(2024·湖南五校联盟)《概率论》起源于博弈，掷骰子是其中一种概率游戏．希腊历史学家希罗多德记述：早在公元前1500年，古埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起玩掷骰子的游戏，后来人们将纯天然骨骼制成的骰子改进成了相对面数字之和为7的立方体骰子，并用之于博弈．假定甲、乙两个掷两个骰子博弈，约定规则如下：第一次由甲开始掷，若掷出的骰子点数之和大于7，则赢得筹码，并可继续掷，直至掷出的骰子点数之和不大于7，就转给乙，乙同学操作，以此类推……这样一直进行下去．记第n次由甲掷骰子的概率为pn，已知p1＝1，则p3＝____________，pi＝____________. 解析：一次掷两个骰子，点数之和大于7的概率为，不大于7的概率为.第二次由甲掷骰子的概率为p2＝，第三次由甲掷骰子的概率为p3＝p2＋(1－p2)＝.第(n＋1)次由甲掷骰子这一事件，包含两个事件：(1)第n次由甲掷骰子，第(n＋1)次继续由甲掷骰子；(2)第n次由乙掷骰子，第(n＋1)次由甲掷骰子，前一事件发生的概率为pn，后一事件发生的概率为(1－pn)，所以pn＋1＝pn＋(1－pn)，即pn＋1－＝－，所以数列是以首项为p1－，公比为－的等比数列．又p1－＝，所以pn－＝n－1，即pn＝＋n－1，故pi＝＋×＝＋. 答案：　＋ 9．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过． 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9＝0.43. 10．面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． (4)只有一个机构研制出疫苗的概率； (5)至多有一个机构研制出疫苗的概率． 解：令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立，且P(A)＝， P(B)＝，P(C)＝. (1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (2)他们都失败即事件 同时发生． 故P( )＝P()P()P() ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝ ＝××＝. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P( )＝1－＝. (4)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A∪ B∪C)， 故所求事件的概率为P＝P(C∪B∪A) ＝P()P()P(C)＋P()P(B)P()＋P(A)P()P() ＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))P(B)(1－P(C))＋P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝××＋××＋× ＝××＋××＋××＝＋＋＝. (5)至多有一机构研制出该疫苗，即事件 (∪A∪B∪C)发生，故所求事件的概率为 P( ∪A∪B∪ C) ＝P()＋P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P()P()P()＋P(A)P()P()＋ P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$