3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第三章 三角函数、解三角形 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．与30°角终边相同的角的集合是(　　) A. B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z} D. 解析：D　[∵30°＝30°×＝，∴与30°角终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z.] 2．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　) A．(cos θ，sin θ)　　　 B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 解析：A　[由三角函数的定义可知，点P的坐标是(cos θ，sin θ)．] 3．集合中的角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　) 解析：C　[当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.] 4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D. 解析：CD　[由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.] 5．(2024·广州模拟)若角α的终边过点P(3，－4)，则sin 2α的值为(　　) A.　 B．－　　C.　　D．－ 解析：D　[∵角α的终边过点P(3，－4)， ∴|OP|＝5，∴sin α＝－，cos α＝， sin 2α＝2sin αcos α＝－.] 6．(2024·山东日照二模)若角α的终边经过点(1,2)，则tan＝____________. 解析：由tan α＝2，得tan ＝＝. 答案： 7．(双空填空题)若角α终边所在的直线经过P，O为坐标原点，则|OP|＝__________________________，sin α＝____________. 解析：|OP|＝＝1， 若P在其终边上，则sin α＝＝；若P在其终边反向射线上，则sin α＝－，综上sin α＝±. 答案：1　± 8．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是____________． 解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2. 答案：2 9．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)， ∴tan θ＝－. 又tan θ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.当x＝1时， sin θ＝－，cos θ＝.因此sin θ＋cos θ＝0； 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－， 因此sin θ＋cos θ＝－. 故sin θ＋cos θ的值为0或－. 10．已知扇形AOB的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， (1)由题意可得解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)法一：∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4， 当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 学科网（北京）股份有限公司 $$