2.5 对数与对数函数(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第5节　对数与对数函数 1．log2＋log26＝(　　) A．1　　 B．2　　　C．5　　　D．6 解析：B　[原式＝log2＝log222＝2.] 2．(2024·北京二中三模)设a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝log0.40.3，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 解析：A　[a＝0.30.4＜0.30＝1，b＝0.40.3＜0.40＝1，c＝log0.40.3＞log0.40.4＝1，故c最大；0.30.4＜0.30.3＜0.40.3，∴a＜b，故a＜b＜c.] 3．(2024·日照市三模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”；一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且x∈[0,2]时的解析式为f(x)＝，则函数y＝f(x)在x∈[0,4]的图象与直线y＝－1围成封闭图形的面积是(　　) A．2　　B．2log23　　　C．4　　　D．4log23 解析：C　[由题意知，f(x)关于x＝2对称，而f(x)＝，且f(0)＝f(4)＝－1，f(2)＝1，∴在x∈[0,4]，f(x)，f(4－x)及y＝－1的图象如下， ∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、y＝1、x＝4所围成的矩形的面积， ∴函数y＝f(x)在x∈[0,4]的图象与直线y＝－1围成封闭图形的面积为4.] 4．(2024·烟台5月质检)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C. D. 解析：C　[将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因此2a－3b＝＝，所以4a－3b＝.] 5．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 解析：D　[由题意可得 两式相除得2.1 ln N1＝3.15 ln N2， 所以ln N＝ln N，即N＝N，故N＝N.] 6．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝____________. 解析：f(－x)＝ln (＋x)＋1(x∈R)， f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2. 答案：－2 7．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则f的值等于____________． 解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x＞0时，f(x)＝log2x， ∴f＝log2＝－2， 则f＝f(－2)＝－f(2)＝－1. 答案：－1 8．(双空填空题)已知a>b>1，若loga b＋logb a＝，ab＝b a，则a＝____________，b＝____________. 解析：由于a>b>1，则loga b∈(0,1)，因为logab＋logb a＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝b a，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4. 答案：4　2 9．计算： (1)÷100－； (2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋. 解：(1)÷100－＝－2lg 10÷ ＝－20. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋ ＝lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1| ＝lg ＋1－lg＝1. 10．(2024·上海卷)已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)． (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集； (2)若存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)依次成等差数列，求实数a的取值范围． 解：(1)由y＝f(x)过(4,2)，可得loga4＝2，则4＝a2⇒a＝±2，又a＞0，故a＝2，因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是严格增函数，f(2x－2)＜f(x)⇒0＜2x－2＜x⇒1＜x＜2，所以解集为(1,2)． (2)因为f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)， 即loga(x＋1)＋loga(x＋2)＝2loga(ax)有解，化简可得loga(x＋1)(x＋2)＝loga(ax)2， 得(x＋1)(x＋2)＝(ax)2且⇒x＞0， 则a2＝在(0，＋∞)上有解， 又＝＋＋1＝22－， 故在(0，＋∞)上，＞22－＝1，即a2＞1⇒a＜－1或a＞1，又a＞0，所以a＞1. 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$