2.4 指数与指数函数(Word练习)-【创新教程】2025年高考数学艺考生文化课总复习（新教材）

第4节　指数与指数函数 1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝(　　) A．5　　　B．7　　　　C．9　　　　D．11 解析：B　[由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.] 2．(2024·蚌埠市一模)已知a＝e－1，b＝lg a，c＝ea，则(　　) A．b＜a＜c B．b＜c＜a　C．a＜b＜c　D．c＜b＜a 解析：A　[因为0＜e－1＜1，所以lg a＜0,1＜ea＜e，所以b＜a＜c.] 3．(2023·济宁三模)已知函数f(x)＝x－3x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析：C　[函数的定义域为R，因为f(－x)＝3x－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为函数y＝x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f(x)＝x－3x在R上是减函数．] 4．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：D　[由题意易得，≥1，所以a的取值范围是[2，＋∞)．] 5．若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a的值是(　　) A．3 B. C．3或 D．5或 解析：C　[设ax＝t，则原函数的最大值问题转化为求关于t的函数y＝t2＋2t－1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t＝－1，且开口向上，所以函数y＝t2＋2t－1在t∈(0，＋∞)上是增函数．当a>1时，a－1≤t≤a，所以t＝a时，y取得最大值14，即a2＋2a－1＝14，解得a＝3(或－5，舍去)；当0<a<1时，a≤t≤a－1，所以t＝a－1时，y取得最大值14，即a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上，实数a的值为3或.] 6．化简：＝________. 解析：原式＝＝x3y2. 答案：x3y2. 7．(双空填空题)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝____________，m＝____________. 解析：当a＞1时，由f(x)的单调性知，a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；当0＜a＜1时，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数，符合题意． 答案：　 8．函数y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域是____________． 解析：y＝x－x＋1 ＝2－x＋1＝2＋， 因为x∈[－3,2]，所以≤x≤8. 当x＝，即x＝1时，ymin＝；当x＝8，即x＝－3时，ymax＝57.所以函数y的值域为. 答案： 9．化简下列各式： (1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋； (2)· . 解：(1)原式＝＋＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (2)原式＝ 10．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求m的值； (2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1. (2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点， 即方程＝2x＋1－a至少有一个实根， 即方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根． 令t＝2x>0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a＝t＋≥2， ∴实数a的取值范围为[2，＋∞)． 方法二：令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1>0， ∴只须解得a≥2. ∴实数a的取值范围为[2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$