1.3 不等关系与不等式(Word练习)-【艺考生】2025年高考数学艺考生文化课百日冲关（新教材）

第3节　不等关系与不等式 1．设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[a＞1且b＞1⇒ab＞1；但ab＞1，则a＞1且b＞1不一定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝4＞1.] 2．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是(　　) A．ac2＜bc2　　　　　 B.＜ C.＞ D．a2＞ab＞b2 解析：D　[当c＝0时，ac2＝bc2，故选项A不成立； －＝，∵a＜b＜0，∴b－a＞0，ab＞0， ∴＞0，即>，故选项B不成立； ∵a＜b＜0，∴取a＝－2，b＝－1， 则＝＝， ＝2，∴此时<，故选项C不成立； ∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab. ∴ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2.故选项D正确．] 3．(2024·泰安市模拟)已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　) A．p≥q B．p>q C．p<q D．p≤q 解析：A　[p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.] 4．(多选题)(2024·黑龙江鸡西中学模拟)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b B.－c>－c C.> D．ac2<bc2 解析：ABC　因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a<b，A正确；因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c>－c，B正确；因为－＝>0，所以>，C正确；当c＝0时，ac2＝bc2，D错误．] 5．(多选题)(2024·山东济宁模拟)若a，b，c∈R，且a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ac>bc B．(a－b)c2≥0 C.< D．a3>b3 解析：BD　[∵a<b，∴a>b.对于A，若c≤0，则不等式不成立；对于B，∵c2≥0，∴不等式成立；对于C，若a>0，b<0，则不等式不成立；对于D，∵a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0，∴a3>b3.] 6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的____________条件． 解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要条件． ∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 7．对于实数a，b，c有下列命题： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； ④若c>a>b>0，则>； ⑤若a>b，>，则a>0，b<0. 其中是真命题的是____________(写出所有真命题的序号)． 解析：若c>0，则①不成立；由ac2>bc2，知c≠0，则a>b，②成立；由a<b<0，知a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，③成立；由c>a>b>0，得0<c－a<c－b，故>，④成立；若a>b，－＝>0，则ab<0，故a>0，b<0，⑤成立．故所有的真命题为②③④⑤. 答案：②③④⑤ 8．(与物理知识交汇)一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________________． 解析：①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)>2 200. ②若每天行驶(x－12)km， 则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”， 写成不等式为8x>9(x－12)． 答案：8(x＋19)>2 200　8x>9(x－12) 9．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：＞ . 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. ∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠． 解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx. 所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx ＝x. 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠． 学科网（北京）股份有限公司 $$