13.1 三角形中的边角关系（第1课时三角形中边的关系）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第1课时 三角形中边的关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1、了解三角形的概念，掌握分类思想 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 新知探究 不等边三角形 三角形 等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特例） 三角形按边长关系,可分为： B A C c a b 图13-1 三角形中边的关系像图13-1那样,由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形． 点 A,B,C 叫做这个三角形的顶点;线段 AB,BC,CA叫做这个三角形的边；∠A, ∠B, ∠C 叫做这个三角形的内角,简称三角形的角． 我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形 ABC”． 三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示：如边BC对 着∠A,记作 a；边 CA 记作 b；边 AB记作 c 新知探究 不等边三角形（三边互不相等） 等腰三角形（有两条边相等） 等边三角形（三边都相等） 图13-2 三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形（scalene triangle）,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles）三条边都相等的三角形叫做等边三角形, 又叫做正三角形（equilateral triangle）,如图13-2. 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,第三边叫做底边.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角． 三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形（scalene triangle）,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles）三条边都相等的三角形叫做等边三角形, 又叫做正三角形（equilateral triangle） 概念归纳 新知探究 在一个三角形中,任意两个边之和与第三边的大小关系如何？你判断的依据是什么？ 观察图13-1中的三角形，尽管它的三边长不完全一 样，如果把它的任意两个顶点，例如 ， 看作定点，则由“两点之间的所有连线中，线段最短”，可以得到 , 同理 总结以上,得三角形中任何两边的和大于第三边. 根据不等式性质,不难得到三角形中任何两边的差小于第三边. 课本例题 例 １　 等腰三角形中，周长为18． (1)如果腰长是底边长的 ２ 倍，求各边长； (2)如果一边长为 4，求另两边长 解方程,得3.6. 所以三角形的三边长为3.6cm,7.2cm,7.2cm. 若腰长为4cm,若底边长为cm,根据题意,得2×4+=18. 解方程,得=10 由于4+4＜10,可知以4cm为腰长不能构成周长为18cm的等腰三角形.所以,三角形的另两边都是7cm. 课堂练习 1.如图 B A D C 课堂练习 2.判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？ （1）1cm,2cm,3cm; (2)2cm,3cm,4cm;      (3) 4cm,5cm,6cm; (4)5cm,6cm,10cm 3.以4cm的线段为底构成一个等腰三角形,这个三角形的腰长有什么限制？ 课堂练习 知识点1　三角形及其相关概念 1. [新考法·定义计数法]如图，以 BC 为边的三角形共有 (　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第1题) C 【点拨】 以 BC 为边的三角形有△ ABC ，△ BCE ，△ BCD ， 共3个. 分层练习-基础 2. 如图，以 CD 为边的三角形有 ； ∠ EFB 是 的内角；在△ BCE 中， BE 所对的角 是 ，∠ CBE 所对的边是 ；以∠ A 为 内角的三角形有 ⁠. (第2题) △ CDF ，△ BCD 　 △ BEF 　 ∠ BCE 　 CE 　 △ ABD ，△ ACE ，△ ABC 　 知识点2　三角形的分类(找边) 3.如图，已知 AB ＝ AC ， AD ＝ BD ＝ DE ＝ CE ＝ AE ，则图中共有 个等腰三角形，有 ⁠个等边三角形. 【点拨】 图中的等腰三角形有△ ABC ，△ ABD ，△ ADE ， △ AEC ，共4个，等边三角形为△ ADE . 4　 1　 4. 一个三角形的三边长之比是2∶2∶1，周长是10，此三角 形按边分是(　A　) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边都不相等的三角形 D. 以上都不对 A 知识点3　三角形的三边关系 5. [母题·教材P69练习T2 2023·长沙]下列长度的三条线段， 能组成三角形的是(　C　) A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 C 6. [新考法·条件验证法 2023·福建]若某三角形的三边长分别 为3，4， m ，则 m 的值可以是(　B　) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 B 7. 已知三角形的两边长分别为1和5，第三边长为整数，则该 三角形的周长为(　C　) A. 7 B. 8 C. 11 D. 12 C 8. [新考法·分类讨论法 2022·德阳]八一中学九年级(2)班学生 杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km， 那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是(　A　) A. 1 km B. 2 km C. 3 km D. 8 km A 9. 如果 a ， b ， c 为三角形的三边长，且满足( a － b )( b － c )( c － a )＝0，那么该三角形的形状为(　A　) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 无法确定 【点拨】 因为( a － b )( b － c )( c － a )＝0， 所以 a － b ＝0或 b － c ＝0或 c － a ＝0. 所以 a ＝ b 或 b ＝ c 或 c ＝ a . 所以该三角形的形状为等腰三角形.故选A. A 10. [新趋势·学科内综合]若△ ABC 的两边长是方程组 的解，第三边长为整数，则符合条件的 三角形有 个. 3　 因为方程组的解为 所以2＜第三边长＜6.因为第三边长为整数，所以第 三边长可以为3，4，5，所以符合条件的三角形有3个. 易错点　忽视组成三角形的不同情况而漏解 11. [母题·教材P73习题13.1T1]　若( a －3)2＋｜ b －5｜＝0，则以 a ， b 为边长的等腰三角形的周长为 ⁠. 11或13　 因为( a －3)2＋｜ b －5｜＝0，( a －3)2≥0，｜ b －5｜≥0， 所以 a －3＝0， b －5＝0，所以 a ＝3， b ＝5. 设三角形的第三边为 c ， 当 a ＝ c ＝3时，三角形的周长＝ a ＋ b ＋ c ＝3＋5＋3＝11， 当 b ＝ c ＝5时，三角形的周长＝ a ＋ b ＋ c ＝3＋5＋5＝13. 故以 a ， b 为边长的等腰三角形的周长为11或13. 12. [新考法·满足条件法]已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长， a ＝4， b ＝6，设三角形的周长是 x . (1)直接写出 c 及 x 的取值范围； 【解】2＜ c ＜10；12＜ x ＜20. (2)若 x 是小于18的偶数，①求 c 的长；②判断△ ABC 的形状. 分层练习-巩固 【解】①因为 x 是小于18的偶数，所以 x ＝16或 x ＝14. 当 x 为16时， c ＝6；当 x 为14时， c ＝4.所以 c 的长为4或6； ②当 c ＝6时， b ＝ c ＝6，则△ ABC 为等腰三角形； 当 c ＝4时， a ＝ c ＝4，则△ ABC 为等腰三角形. 综上，△ ABC 是等腰三角形. 13. [新考法·定义阅读法]若三边均不相等的三角形的三边 a ， b ， c 满足 a － b ＞ b － c ( a 为最长边， c 为最短边)，则称它为“不均衡三角形”.例如：一个三角形的三边长分别为7，5，4，因为7－5＞5－4，所以称这个三 角形为“不均衡三角形”. (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 (填序号). ①4 cm，2 cm，1 cm； ②13 cm，18 cm，9 cm； ③19 cm，20 cm，19 cm；④9 cm，8 cm，6 cm. ②　 ①因为1＋2＜4，不满足三角形三边关系，所以长度为4 cm，2 cm，1 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”；②因为18－13＞13－9，所以长度为13 cm，18 cm，9 cm的小木棍能组成“不均衡三角形”；③不满足“三边均不相等”这一条件，所以长度为19 cm，20 cm，19 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”；④因为9－8＜8－6，所以长度为9 cm，8 cm，6 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”. 【解】分三种情况讨论：①当16＞2 x ＋2，即 x ＜7时，16－(2 x ＋2)＞2 x ＋2－(2 x －6)，解得 x ＜3.因为2 x －6＞0，所以 x ＞3，故不符合题意；②当2 x ＋2＞16＞2 x －6，即7＜ x ＜11时，2 x ＋2－16＞16－(2 x －6)，解得 x ＞9，所以9＜ x ＜11.因为 x 为整数，所以 x ＝10.经检验，当 x ＝10时，可构成三角形； ③当2 x －6＞16，即 x ＞11时，2 x ＋2－(2 x －6)＞2 x －6－16，解得 x ＜15，所以11＜ x ＜15.因为 x 为整数，所以 x ＝12或13或14.经检验， x ＝12，13，14时都可以构成三角形. 综上所述， x 的值为10或12或13或14. (2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为2 x ＋2，16，2x －6( x 为整数)， 求 x 的值. 14. [新考法·数形结合法]已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c . (1)若 a ， b ， c 满足( a － b )2＋( b － c )2＝0， 试判断△ ABC 的形状； 【解】因为( a － b )2＋( b － c )2＝0，且( a － b )2≥0，( b － c )2≥0， 所以 a － b ＝0且 b － c ＝0.所以 a ＝ b ＝ c ，所以△ ABC 是等边三角形. (2)化简：｜ a － b － c ｜－2｜ b － c － a ｜＋｜ a ＋ b － c ｜. 【解】因为 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，所以 a ＋ b ＞ c ， b ＋ c ＞ a ， a ＋ c ＞ b . 所以｜ a － b － c ｜－2｜ b － c － a ｜＋｜ a ＋ b － c ｜ ＝｜ a － ( b ＋ c )｜－2｜ b －( c ＋ a )｜＋｜ a ＋ b － c ｜ ＝－ a ＋( b ＋ c )＋2 b －2( c ＋ a )＋ a ＋ b － c ＝－ a ＋ b ＋ c ＋2 b －2 c －2 a ＋ a ＋ b － c ＝－2 a ＋4 b －2 c . 15. [新考法·构造基本图形]如图，小红欲从 A 地前往 B 地， 有三条路线可走：① A → B ；② A → D → B ；③ A → C → B . (1)在不考虑其他因素的情况下，我们可以肯定小红会走 路线①，理由是 ⁠ ⁠. 三角形两边的和大于第三边(或两点 之间线段最短)　 分层练习-拓展 【解】如图，延长 BD 交 AC 于点 E . 在△ CBE 中，由三角形的三边关系，得 BC ＋ CE ＞ BE ①. 在 △ ADE 中，由三角形的三边关系，得 AE ＋ DE ＞ AD ②. 由①＋②，得 BC ＋ CE ＋ AE ＋ DE ＞ BE ＋ AD . 因为 CE ＋ AE ＝ AC ， BE ＝ BD ＋ DE ，所以 AC ＋ BC ＞ AD ＋ BD . (2)小红绝对不会走路线③，因为路线③的路程最长，即 AC ＋ BC ＞ AD ＋ BD . 你能说明其中的原因吗？ 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 按边分类 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a-b|<x<a+b (a>b,x为第三边） 应用 不等边三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 课堂小结 $$