第三章 整式及其加减 第三节 探索与表达规律课件2024-2025学年鲁教版（五四制）六年级数学上册

开心数学，数学不难 2024新教材数学6年级上册 秦老师 第三章 整式及其加减 第3节 探索与表达规律 学习目标 （1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会推理的特点 和作用。（推理能力） （2）能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性，并解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。（推理能力） 一.探索规律的一般方法 1.探索规律的一般方法 （1）从具体、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律。 （2）善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点； （3）由此及彼，合理联想，并验证结论正确与否。 （4）总结规律，得出结论，并验证结论正确与否。 提示：在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，以达到事半功倍的效果。 2 2.常见规律着问题 （1）数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分怀变化部分，数与式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律。 （2）探索图形变化的规律问题，要注意观察图形、分析图形特点，重点挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同解度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证。 具体来说：若一列数均是整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可以是奇、偶、平方待方面的规律；若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律；若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的关系。 3 例1. 观察下列数据：－，-－，－，-－，－，......则第12个数是（ ） A.－ B.-－ C.－ D.-－ 2 1 5 2 10 3 17 4 26 5 143 2 12 143 12 145 12 12 145 分析：观察这列数据发现，它们的符号为正负相间，其中第奇数个数为正，第偶个数为负数，它们的分子是由1开始的连续正整数，分母为分子的平方和加1，第12个数是第偶数个数，所以它的符号为负，负子是12，分母是12 +1=145，所以第12个数为-－. 2 145 12 例2. 将从1开始的正整数按一定规律排列如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 每行中相邻两数相差1，每列中相邻两数相差9 （1）探究“+”框中的5个数：设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数 。 （2）若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数。 （3）这5个数的和可能是2025吗？若可能，求出这5个数中间的数，若不可能，请说明理由。 解析：（1）中间的数为a，则其他4个数分别为a-9,a-1,a+9,a+1，即可得最小的数和最大的数 （2）根据题意列出等式求解： （3）先求出这5个数最中间的数，看是否与已知条件相吻合。 解:(1)由题意知，中间的数为a，则其他4个数分别为：a-1,a+1,a-9,a+9,所以最小的数是a-9，最大的数是a+9。 （2）根据题意可得：a-1+a+1+a+a-9+a+9=240所以a=48 (3)不可能是2025，理由：根据题意可得a-1+a+1+a+a-9+a+9=2025，则a=405 因为405÷9=45 所以405是第9列的数，也就是最右边一列的数，所以这5个数的合不可能是2025. 点拨： 求解用的图形框数部题时，设中间的数为a，并用含a的代数式表示其他被框数，计算它们的和，是代数推理的应用，体现了推理能力。 5 题型一 .图形摆放的规律探究 例1. 用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，第n个图案中所有小三角形的个数是 。 典型例题剖析 n=1 n=2 n=3 n=4 解析：（方法一）观察各个图案，可知它们都可以看作由两部分构成 （1）变化部分，中间是一个由小三角形构成的大三角形，且每条边上小三角形的个数为n+1；（2）不变的部分，上面的4个小三角形。将以上两部分小三角形的个数相加即可即：3（n+1)-3+4(因为三角形每个顶点处的小三角形被计算了2次，所以要减3.3（n+1)-3+4=3n+3-3+4=3n+4 （方法二）观察图形可知，将它们分行计数求和 第1个图案中共有小三角形(5+2)个 第2个图案中共有小三角形（5+2+3）个 第3个图案中共有小三角形（5+2x2+4)个 第4个图案中共有小三角形（5+2x3+5)个...... 所以第n个图案中共有小三角形5+2(n-1)+(n+1)=3n+4个 （方法三） 数出前4个图案中小三角形的个数分别为：n=1 n=2 n=3 n=4 随着序号的增加小三角形的个数依次加3，所以第n个图案中有7+3（n-1)=3n+4 7 10 13 16 规律总结 一 解决这类问题的方法通常有两种:第一种是通过直接观察图形,随着“序号”或“编号”的增加,探究相邻两个图形间的变化关系,用恰当的代数式表示规律并加以验证,此方法适用于不易计数的图形规律探究问题;第二种是对图形进行计数,找出相应图形对应数据间的变化规律,同时探究这些数据与序号间的关系，此方法适用于较易计数的图形规律探究问题。 7 练习题 观察如图 3-3-6所示的“峰窝图”,则第n个图案中的“ ”的个数是 。（用含有n不式子表示） 1 2 3 同学们试解：4+3(n-1)=4+3n-3=1+3n 8 题型二.数列的规律探究 例1. a ,a ,a ,a ,a ,a ,......是一列数，已知第1个数a =4,第5个数a =5,且任意三个相邻的数之和为15，则第2024个数a 的值是 . 1 2 3 4 5 6 1 5 2024 分析：由任意三个相邻的数之和为15，可知a +a +a =15,a +a +a =15 a +a +a =15,...a +a +a =15,由此可推出，a =a =a =...=a , a =a =a =...=a ,a =a =a =...=a ，即3个数为一个循环周期， 所以a =a =5,则4+5+a =15 解得a =6 , 因为2024÷3=674......2，所以a =a =5 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n n+1 n+2 1 4 7 3n-2 2 5 8 3n-1 3 6 9 3n 2 5 2 3 2024 2 点拨：对于找数字规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，而对于有周期性的题目，找出一个循环周期是解题的关键。 9 例2. 将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，例如位于第3行、第四列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 2019 . 1 1 2 5 10 …… 4 3 6 11...... 9 8 7 12...... 16 15 14 13...... 解析：观察图可知第n行的第一个数是n ,所以第45行第一个数是2025，所以第45行第7列的数是2025-6=2019 2 根据以上二题，试着解此题 一列数按某规律排列如下： －，－，－，－，－，－，－，－，－，－，...若第n 个数为－，则n=( ) A. 50 B.60 C.62 D.71 这种题要先进行分组，然后在进行推理 1 1 1 2 1 2 1 3 2 2 1 3 1 4 3 2 2 3 1 4 7 5 题型三. 例：观察下列各式的规律 （1）1x3-2 =3-4=-1 (2)2x4-3 =8-9=-1 (3)3x5-4 =15-16=-1 请按以上规律写出第4个算式：4x6-5 =-1 用含有字母的式子表示n个算式：nx(n+2)-(n-1) =-1 2 2 2 2 2 11 根据上题研究下列算式，根据发现的规律写出第n个式子。 （1）4x1x2+1=3 (2)4x2x3+1=5 (3) 4x3x4+1=7 (4) 4x4x5+1=9 .... 请写出改式子：解：第n个式子是 4×n×(n+1)+1=(2n+1) 2 2 2 2 2 中考典型题 用长度相同的小棒按图中的规律拼摆三角形： （1）填写下表： （2）第n个这样的三角形需要多少根小棒：2n+1 三角形/个 1 2 3 4 5 ..... 小棒/根 3 5 7 9 11 ...... 12 本节重点内容总结 探索与表达规律 一般步骤 常见类型 （1）观察各数量的特点及相互之间的变化规律 （2）猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想 （3）归纳：善于类比，发现相似点或相同点 （4）验证：总结规律，得出结论，验证结论 图形中的规律 数式中的规律 日历中数字间的规律 谢 谢 $$