3.3 探索与表达规律　导学案　　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

第三章 整式及其加减 3.3探索与表达规律 知识点 探索规律的一般方法 1.探索规律的一般方法： （1）从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点； （3）由此及彼，合理联想，大胆猜想； （4）总结规律，得出结论，并验证结论正确与否。 2.常见规律类问题： （1）数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与其式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律。 （2）探索图形变化的规律问题，要注意观察图形、分析图形特点，重点挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证。 例1 观察下列数据：，，，，，…，则第12个数是（ ） A. B. C. D. 例2 将从1开始的正整数按一定规律排列如图所示： （1）探究“+”框中的5个数：设这5个数中间的数为，则最小的数为 ，最大的数为 . （2）若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数. （3）这5个数的和可能是2025吗？若可能，求出这5个数中间的数；若不可能，请说明理由. 习题追练 题型一 图形摆放的规律探究 例1 用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，第个图案中所有小三角形的个数是 . 练1-1 观察如图所示的“蜂窝图”，则第个图案中的“”的个数是 .（用含有的式子表示） 练1-2 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成。第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第个图案中有 个白色圆片（用含的代数式表示）。 题型二 数列的规律探究 例2 ，，，，，，…是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2024个数的值是 . 例3 将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 . 练2 一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，….若第个数为，则（ ） A.50 B.60 C.62 D.71 题型三 算式中的规律探究 例4 观察下列各式的规律： ①；②；③. 请按以上规律写出第4个算式： ； 用含有字母的式子表示第个算式： . 练3 研究下列算式，根据你发现的规律，写出第个式子。 ①；②；③；④；…. 综合提升练 1.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第8个图案用的木棍根数是（ ） A.39 B.44 C.49 D.54 2.如图所示，每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定的值为（ ） A.135 B.170 C.209 D.252 3.观察下列一组数：，，，，，….它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 。 4.如图所示，图（1）、（2）、（3）、（4）是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字.按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是 ，第个“广”字中的棋子个数是 . 5.观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：；…. 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出第（为正整数）个等式： （用含的等式表示）； （3）利用你发现的规律求的值. ★问题解决策略：归纳 知识点 运用归纳策略寻找规律 1.归纳：从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。 2.运用归纳策略寻找规律：要先在若干简单情形中寻找相应的规律。初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。 例1 如图所示. 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为 。 例2 如图所示是一些若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案. （1）完成下表的填空： 正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数 4 7 10 13 … （2）某同学用若干根火柴棒按此方式摆图案，摆完了第1个后摆第2个，接着摆第3个、第4个、…。当他摆完某个图案时剩下了20根火柴棒，若要刚好摆完下一个图案，则还差2根火柴棒。问：最后摆完的图案是第几个图案？ 学科网（北京）股份有限公司 $$