第二十四章 圆（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用，人教版）

第二十四章 圆（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 2．如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）． A．7 B．14 C．10 D．4 5．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 12．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 13．已知的半径为，弦，则上到弦所在直线的距离等于的点有 个． 14．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 15．如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 16．如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长． 18．（4分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 19．（6分）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 20．（6分）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题： (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 21．（8分）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 22．（10分）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 23．（10分）如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 24．（12分）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 25．（12分）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 2．如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【详解】解：∵半径为5， ∴，，，， ∴到圆心O距离为7的点为点， 故选：C． 3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：C． 4．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）． A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 5．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为． 故选：C． 6．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是的内接四边形． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 8．下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 9．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 10．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接． ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴，是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于，则， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 12．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 13．已知的半径为，弦，则上到弦所在直线的距离等于的点有 个． 【答案】4 【详解】解：如图，中，弦， 过作半径于，连接， ， ， ， ， 在上点到弦所在直线的距离为2， ∴在上有2个点到弦的距离为1 而在有两个点到弦所在直线的距离为1， 上到弦所在直线的距离为1的点有4个． 故答案为：4． 14．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】10 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 16．如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取的中点N，连接，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，，， ∴， ∴， ∴要使四边形的面积最大，只需的面积最大． ∵， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴当时，取得最大面积，此时，，， ∴， ∴，此时， ∴四边形面积的最大值为 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ 18．（4分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 19．（6分）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 20．（6分）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题： (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆； （2）解：如图1，连接， ∴，即， 解得，， ∴的周长为． 21．（8分）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【详解】（1）如图作于， 在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 22．（10分）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2）解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 23．（10分）如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴； （2）解：为直径， ， 过点作于点， ， ， 阴影部分的面积为． 24．（12分）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 25．（12分）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 【答案】(1)90 (2)与相切，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：当与相切时， ∴， ∴， ∴旋转角为； （2）解：与相切，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． （3）解：如图，连接，则，作于， 而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$