专题13 圆锥的侧面积（五大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题13 圆锥的侧面积（五大题型，35题） 目录 题型一：求圆锥底面半径 1 题型二：求圆锥的高 3 题型三：求圆锥侧面展开图的圆心角 4 题型四：圆锥的实际问题 6 题型五：圆锥侧面上最短路径问题 6 一、题型一：求圆锥底面半径 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面半径r为 ． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是 ． 4．（2023·江苏苏州·模拟预测）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 5．（2024·江苏宿迁·二模）已知一块等腰直角三角形纸片，，，在该纸片上剪下一个以点为圆心的最大扇形并围成一个无底的圆锥，所围成的圆锥底面圆的半径是 ． 6．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    7．（2024·江苏苏州·三模）将半径为的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径是 ． 8．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置； (2)请在（1）的基础上，完成下列问题： ①的半径为______（结果保留根号）； ②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． (3)连接，请探究与的位置关系，并说明理由． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 二、题型二：求圆锥的高 11．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 12．（2022·云南昆明·三模）如图，是的外接圆，，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，那么该圆锥的高是 ． 14．（2022·广西贵港·二模）如图，菱形ABCD中的边长为cm，∠A＝135°，以点C为圆心的弧EF分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．（结果保留根号） 15．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 三、题型三：求圆锥侧面展开图的圆心角 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 17．（2024·江苏无锡·二模）如果圆锥的母线长为4，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面展开图圆心角度数为 ． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 19．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥的左视图为等边三角形，其侧面展开图的圆心角是 度． 20．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    21．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为 °． 22．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， 以边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是 ；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为 ． 23．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 四、题型四：圆锥的实际问题 24．（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 27．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ． 28．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为 ． 五、题型五：圆锥侧面上最短路径问题 29．（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 30．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 31．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    32．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 33．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 ． 34．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 35．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 9 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题13 圆锥的侧面积（五大题型，35题） 目录 题型一：求圆锥底面半径 1 题型二：求圆锥的高 10 题型三：求圆锥侧面展开图的圆心角 15 题型四：圆锥的实际问题 21 题型五：圆锥侧面上最短路径问题 23 一、题型一：求圆锥底面半径 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，利用勾股定理先求出圆锥底面半径，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可求解，掌握圆锥的侧面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长是，高是， ∴圆锥的半径， ∴圆锥的侧面积， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面半径r为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长为，求得圆锥底面的周长，进而求得底面半径． 【详解】解：母线长l为，扇形的圆心角为， 圆锥底面的周长为， ， 故答案为：1． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径．设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面周长等于展开以后扇形的弧长列式计算即可．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得， ， 其中，， ， 故答案为：． 4．（2023·江苏苏州·模拟预测）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 【答案】/0.25 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 5．（2024·江苏宿迁·二模）已知一块等腰直角三角形纸片，，，在该纸片上剪下一个以点为圆心的最大扇形并围成一个无底的圆锥，所围成的圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，过作，利用勾股定理和三线合一性质求出，然后根据弧长公式、圆的周长公式计算即可． 【详解】解∶过作， ∵等腰直角三角形纸片，， ∴当扇形与相切时，扇形最大，此时， ∵，， ∴为中点， ∴， 设底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    【答案】/ 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7．（2024·江苏苏州·三模）将半径为的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了弧长公式，理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键．根据弧长等于圆锥底面圆的周长求解即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为R， 则 解得：， 故答案为：4． 8．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， 设底面圆的半径为r，则 ， 解得， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置； (2)请在（1）的基础上，完成下列问题： ①的半径为______（结果保留根号）； ②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． (3)连接，请探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图见详解； (2)①；②； (3)与相切； 【分析】（1）本题考查垂径定理找圆心，根据格点图形找到，的垂直平分线线交点即为点； （2）①本题考查勾股定理求半径，连接根据勾股定理求解即可得到答案；②本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆周长直接求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理逆定理与圆的切线判定，根据勾股定理逆定理得到即可得到答案； 【详解】（1）解：由垂径定理得，作，的垂直平分线线交点即为点，如图所示， ； （2）解：①连接， ， 由勾股定理得， ， 故答案为：； ②由图像可得， ， ∴， 解得：； （3）解：由图像可得， ，， ∴， ∴， ∴与相切． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)该圆锥的底面圆的半径是． 【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径． （1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴， 又∵， ∴， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）解：的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 二、题型二：求圆锥的高 11．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 由折叠的性质可知，，则 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． 弧的长为． 设围成的圆锥的底面半径为，则， ． 圆锥的高为． 故选A． 12．（2022·云南昆明·三模）如图，是的外接圆，，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB，再根据扇形的弧长公式即可求解； 【详解】解：根据圆的性质， ∵， ∵ ∴ ∴ ∴圆锥底面圆的半径为： ∴圆锥的高 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，那么该圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的定义是解题的关键．根据圆锥的定义以及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3， 该圆锥的高是， 故答案为：． 14．（2022·广西贵港·二模）如图，菱形ABCD中的边长为cm，∠A＝135°，以点C为圆心的弧EF分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先连接，设，由三角函数定义求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式，再由，求出底面半径，最后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】如图： 连接， ， ， 与相切， ， 在直角中，，即圆锥的母线长是， 设圆锥底面的半径为，则：， ． 则圆锥的高． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算， 先利用直角三角形求出扇形的半径， 运用弧长公式计算出弧长， 然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径 ． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 三、题型三：求圆锥侧面展开图的圆心角 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/216度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理及弧长公式，首先根据圆锥的高与母线之比为，设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为，利用勾股定理即可得到圆锥底面半径的长为，然后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长为，再利用弧长公式列出方程，即可求得． 【详解】解：设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为， 圆锥底面半径的长为， ， 解得：， 其侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 17．（2024·江苏无锡·二模）如果圆锥的母线长为4，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面展开图圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥的有关计算、弧长公式，解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意，得， 解得， 则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】90 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度． 【详解】解：圆锥底面半径是1， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：90． 19．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥的左视图为等边三角形，其侧面展开图的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，掌握理解圆锥的侧面展开图为扇形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得圆锥的底面直径和母线长，再根据圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为度，圆锥的左视图为边长为的等边三角形， 则圆锥的底面直径和母线长均为， 由圆锥的侧面积公式得：， 又圆锥的侧面展开图是扇形， ， 解得：， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为度， 故答案为：． 20．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 21．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为 °． 【答案】108 【分析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解∶圆锥的底面半径为，底面周长为， 设原扇形纸板的圆心角度数为度， 解得． 故答案为∶108 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 22．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， 以边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是 ；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据圆锥侧面积公式和弧长公式求解即可． 【详解】解：，在中， ∴， ∴边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是， ∵此圆锥展开的侧面扇形的扇形弧长是底面圆周长， ∴此圆锥展开的侧面扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长． 23．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 四、题型四：圆锥的实际问题 24．（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥母线长为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥母线长为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 25．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 26．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 27．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解． 【详解】解：设母线长为，则， 解得：． 故答案为：3． 28．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了扇形的面积，圆锥的基础知识，先求出圆锥的底面面积，进而求出圆锥侧面积，然后根据扇形面积即可求出答案． 【详解】∵底面半径为5， ∴圆锥底面面积， ∴圆锥侧面积． 设圆锥母线得长为x，则， 解得． 所以圆锥得母线长为15． 故答案为：15． 五、题型五：圆锥侧面上最短路径问题 29．（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 30．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 31．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作, ∴    设∠ASB＝n°， 即：， 得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键． 32．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 33．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 ． 【答案】cm 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角 再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示： 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为 则n=90， ∵ 即这根绳子的最短长度是cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键. 34．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 35．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 14 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