专题11 正多边形与圆（三大题型，25题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题11 正多边形与圆（三大题型，25题） 目录 题型一：求正多边形的中心角 1 题型二：正多边形和圆的综合 2 题型三：尺规作图--正多边形 6 一、题型一：求正多边形的中心角 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．    6．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 7．（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是 （填写序号）．    二、题型二：正多边形和圆的综合 8．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2024·江苏扬州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B． C．3 D． 12．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 14．（2024·江苏苏州·二模）边长为3的正六边形面积为 ． 15．（2024·江苏常州·二模）如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 16．（2024·江苏徐州·二模）蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ． 17．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 18．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）一个正方形，四段弧分别过A点B点，B点C点，C点D点，D点A点，每段弧对应圆周角为120度（圆心在正方形外），四段弧在正方形内部产生四个交点，顺次连接得到正方形，求两个正方形的面积比． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 20．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 三、题型三：尺规作图--正多边形 21．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 22．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 23．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 8 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题11 正多边形与圆（三大题型，25题） 目录 题型一：求正多边形的中心角 1 题型二：正多边形和圆的综合 8 题型三：尺规作图--正多边形 24 一、题型一：求正多边形的中心角 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，三角形内角和定理，连接，根据切线的性质得，再利用圆内接正五边形的性质可得，再利用三角形的内角和等于即可求解．熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，   与相切， ， 正五边形内接于， ， ， ， 故选B． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 【详解】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 故选：D． 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    【答案】 /60度 【分析】正多边形的中心角等于除以边数；先证是等边三角形，推出，再利用得出，再利用勾股定理即可求出边心距． 【详解】解：在圆内接正六边形中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的知识，熟练掌握中心角和边心距的求法是解题的关键．边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形边的距离． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．    【答案】48或36 【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正m边形与内接正n边形的中心角得到，根据，得到m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：连接，如图，   ， ， ， ， ， m，n的中有一个值必是3的倍数，且均为正整数， 设（均为正整数），则， （n为正整数）， 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，（不符合题意）； ； 当时，n均不为正整数，（不符合题意）； 综上，的值为48或36． 6．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 7．（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是 （填写序号）．    【答案】①③/③① 【分析】补全缺失的A角，连接、、、，根据正八边形可得，，先得出点O在线段的垂直平分线上，结合对称可得垂直平分线段，可得①正确；故有②错误；先根据对称性得出与在同一条直线上，由四边形、四边形是等腰梯形，可得，进而有，则判断③正确，根据等腰直角三角形可得，再证明，即有，进而可判断故④错误，问题得解． 【详解】如图，补全缺失的A角，连接、、、，    ∵多边形是正八边形， ∴正八边形是称轴图形，且，， ∴四边形、四边形是等腰梯形， ∵以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵在正八边形中，所在直线是正八边形的对称轴， ∴垂直平分线段， ∴点O在上，故①正确； ∴点O不在上，故②错误； ∴点O为与的交点， ∵正八边形是关于对称的轴对称图形， ∴点A、点O、点D三点共线， ∴与在同一条直线上， ∵四边形、四边形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且，故③正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，充分利用正八边形是轴对称图形，是解答本题的关键． 二、题型二：正多边形和圆的综合 8．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，   点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 10．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键．根据旋转的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：将，即将①绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将②绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将③绕着的中点，逆时针旋转与重合； 将，即将④绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将⑤绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 即图中①，②，③，④，⑤可以通过1次旋转与重合， 故选：D． 11．（2024·江苏扬州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 不妨设圆的半径为， 过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故选：C． 12．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【答案】72 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 14．（2024·江苏苏州·二模）边长为3的正六边形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，边长为3的正六边形可以分成六个边长为3的正三角形，计算出正六边形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵， 又∵， ∴为正三角形， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴． ∴正六边形的面积． 故答案为：． 15．（2024·江苏常州·二模）如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，设该圆锥的底面半径为r，根据正多边形内角和定理求出，再根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得， 由题意得，， ∴， ∴该圆锥的底面半径为， 故答案为：． 16．（2024·江苏徐州·二模）蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．先求出正六边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 正六边形的外角和为， 它的每一个外角都为， ， 为等边三角形， ， 共需要正六边形的个数为， 故答案为：6． 17．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18．（21-22九年级·江苏南京·自主招生）一个正方形，四段弧分别过A点B点，B点C点，C点D点，D点A点，每段弧对应圆周角为120度（圆心在正方形外），四段弧在正方形内部产生四个交点，顺次连接得到正方形，求两个正方形的面积比． 【答案】两个正方形的面积比为3． 【分析】本题考查了圆与正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理．连接，，，于点，利用圆周角定理求得是等边三角形，设，在中，求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接，，，于点， 由题意得，点和点在上，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积比． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 又是半径， 是的切线； （2）解：， 以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ， 以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 20．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、题型三：尺规作图--正多边形 21．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 22．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 23．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）利用半径把圆等分即可作出等边三角形． 【详解】（1）如图所示，点即为所求，， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图，坐标与图形的性质，垂径定理，三角形外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$