专题2.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积（七大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题2.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积 目录 【典型例题】 1 【考点一 正多边形和圆】 1 【考点二 已知圆心角与弧长】 4 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 5 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 6 【考点五 求其他不规则图形的面积】 8 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 12 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 13 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 正多边形和圆】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    【考点二 已知圆心角与弧长】 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（2024·浙江金华·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则该扇形的面积是 ． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【变式训练】 1．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【考点五 求其他不规则图形的面积】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 【变式训练】 1．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【变式训练】 1．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·云南玉溪·一模）小明用一个圆心角为，半径为8的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图所示，已知的内接正四边形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 4．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为 ． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 8．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形内接于，连接，则 ． 9．（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 10．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号和）． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)在图中经过、、三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)点绕点顺时针旋转后的点的坐标为______，此时点旋转到点所经过的路径长为______（结果保留根号和）． 12．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 13．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 15．（2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 正多边形与圆、弧长和扇形的面积 目录 【典型例题】 1 【考点一 正多边形和圆】 1 【考点二 已知圆心角与弧长】 4 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 5 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 6 【考点五 求其他不规则图形的面积】 8 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 12 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 13 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 正多边形和圆】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【详解】本题主要考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，灵活运用相关定理成为解题的关键． 如图，根据正五边形的性质，可知圆周长，进而求出，求出，即可解答． 【分析】解：五边形为正五边形， ， 圆周长， ， ， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含 角的直角三角形的特征是解题的关键． 连接、， 作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【详解】解：连接、， 作于， 如图：    ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴的估计值为 故答案为：． 【考点二 已知圆心角与弧长】 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：∵在扇形中，，， ∴的长为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【知识点】求扇形半径、求圆心角 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 【考点三 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（2024·浙江金华·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则该扇形的面积是 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查的是扇形的面积，根据公式扇形的面积弧长与半径积的一半，即可得出答案． 【详解】解：该扇形的面积是， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、求扇形半径、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 【考点四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据题意，点所经过的路径是圆弧，根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半”，易知，结合旋转的性质可知，然后求出圆弧的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了弧长的计算、直角三角形的性质．首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解； 【详解】解： ． ，， ， 顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为． 故答案为：． 【考点五 求其他不规则图形的面积】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 【考点六 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆锥的计算，先由勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的侧面积是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的母线长为：； 故答案为：12． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 【考点七 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于其展开图的扇形弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为， 由题意得，， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 【答案】120 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·云南玉溪·一模）小明用一个圆心角为，半径为8的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的侧面展开图，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长计算即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， 依题意，得， 解得：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图所示，已知的内接正四边形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题主要考查了正多边形和圆,圆周角定理和圆内接四边形，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 连接、，首先根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理和点的位置确定的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ，三点共线， ∴, ∵四点共圆，点在劣弧上， ∴， 故选：D． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、求弧长、折叠问题 【分析】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则， ∵的度数为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴的长度为， ∴的长度为． 故选：D． 4．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求扇形面积、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，再根据，从而可得四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积）进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 解得：， 阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积+扇形EOG的面积） ， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，扇形面积公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索、求弧长 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键．观察图形知曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，得出半径规律，再计算弧长即可， 【详解】四边形是边长为的正方形 由已知可得；的半径为1；的半径为，的半径为2；的半径为，的半径为3，， 每一段弧的半径每次比前一段的圆心角所对的弧半径大， 半径增加2， 的半径为3；的半径为5， 的半径为7； 的半径为， 的长是． 故选：A． 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长公式．利用弧长公式“”计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式，明确圆锥的侧面展开图与圆锥的关系是解题的关键．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6， ∴这个圆锥的侧面积； 故答案为：． 8．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 9．（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 【答案】 【知识点】求扇形面积、求圆心角 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为 ∴ 则 则 ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴ 则 故答案为： 10．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号和）． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式、含角的直角三角形的性质，连接，作于，由平行四边形的性质得出，，求出，证明为等边三角形，得出，，推出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，作于， ， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵以点C为圆心，为半径作弧， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)在图中经过、、三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)点绕点顺时针旋转后的点的坐标为______，此时点旋转到点所经过的路径长为______（结果保留根号和）． 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点； （2）根据旋转的性质在图上作出线段，即可得到点的坐标，再根据勾股定理求出，最后根据弧长公式即可求出点旋转到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，点坐标为， 故答案为：； （2）如图，点的坐标为， ， 点旋转到点所经过的路径长为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． 12．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积； （1）连接．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．则，即是的切线． （2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，进而根据阴影部分面积等于，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ，即 ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 在中， ， 阴影部分的面积． 13．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线、正多边形和圆的综合 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合、三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 15．（2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 【答案】(1)90 (2)与相切，证明见解析 (3) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、求扇形面积 【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案； （2）证明四边形为矩形，可得，可得是的切线； （3）如图，连接，则，作于，证明四边形为矩形，可得， 证明为等边三角形，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：当与相切时， ∴， ∴， ∴旋转角为； （2）解：与相切，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． （3）解：如图，连接，则，作于， 而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$