专题10 直线与圆的位置关系（十大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题10 直线与圆的位置关系（十大题型，60题） 目录 题型一：判断直线和圆的位置关系 1 题型二：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 3 题型三：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 4 题型四：证明某直线是圆的切线 6 题型五：切线的性质定理 7 题型六：切线的性质和判定的综合应用 10 题型七：应用切线长定理求解 12 题型八：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 13 题型九：三角形内心有关应用 14 题型十：圆的综合问题 16 一、题型一：判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为2的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6处．如果以1的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．    2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．    (1)判断与的位置关系． (2)求和的数量关系． (3)若，的直径为20，求的长度． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图所示，在等边中，边长均为，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以的速度移动，到点C时停止． (1)几秒后，的面积等于？ (2)设运动的时间为秒，以Q为圆心，为半径画圆，当与线段有唯一公共点时，求的取值范围． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动，点同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，当与直线相切时，求的值； (3)连接，交于点，如图，当时，求的值． 二、题型二：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 9．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 10．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 三、题型三：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 14．（2023·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，、为平面内不重合的两个点，若到、两点的距离相等，则称点是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、中，线段的“似中点”是点______； (2)直线与轴交于点，与轴交于点． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心在轴上，坐标为，上存在线段的“似中点”，请直接写出的取值范围． 15．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 四、题型四：证明某直线是圆的切线 16．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 17．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的半径是 ． 18．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．    (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长； (4)试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线． 五、题型五：切线的性质定理 21．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）直角三角形的直角边分别为5和12，则此直角三角形的内切圆直径是 ． 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为 ． 25．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 28．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，D为的中点，的延长线交于点E，的切线与交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 29．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 30．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，．    (1)尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； (2)求（1）中的面积． 六、题型六：切线的性质和判定的综合应用 31．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 32．（2024·江苏南京·一模）如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，． (1)若与相切，求证：与相切； (2)求证：． 33．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在中，，，．点是射线上一动点，作的外接圆． (1)若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； (2)当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； (3)随着点的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 34．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果． 成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了； 成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分． (1)请你说明三分角仪的正确性； (2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点． 35．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 七、题型七：应用切线长定理求解 36．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 37．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 39．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 40．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 八、题型八：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 41．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 42．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 44．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则长是 ． 45．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，I是的内心，将绕原点逆时针旋转后，I的对应点的坐标为 ．    九、题型九：三角形内心有关应用 46．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 48．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 49．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，I为的内心，连接并延长交于点D．记的面积为m，的面积为n，则 ． 50．（2024·江苏泰州·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长 ． 51．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 52．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    53．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，也是的外心．若，则 ． 54．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，内切于，切点为，已知，则的度数= ； 55．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 十、题型十：圆的综合问题 56．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 57．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接． (1)如图①，求的大小和的长； (2)如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长． 58．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 59．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长． 60．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题10 直线与圆的位置关系（十大题型，60题） 目录 题型一：判断直线和圆的位置关系 1 题型二：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13 题型三：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 18 题型四：证明某直线是圆的切线 27 题型五：切线的性质定理 35 题型六：切线的性质和判定的综合应用 50 题型七：应用切线长定理求解 61 题型八：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 65 题型九：三角形内心有关应用 72 题型十：圆的综合问题 83 一、题型一：判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为2的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6处．如果以1的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．    【答案】2或10 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，由圆的相切解得路程，根据题意与⊙P相切时，，当⊙P在直线左侧时如图，由，求得，则有即可求得时间；当⊙P在直线右侧时，同理求得即可求得时间． 【详解】解：当⊙P在直线左侧时，过点作交于点E，如图，    ∴， ∵， ∴， ， 则⊙P向右移动了2，所用时间秒； 当⊙P在直线右侧时，如图，    过点作交于点F，则， ∵ ∴， ， 则⊙P向右移动了10，所用时间秒． 故答案为：2或10． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．    (1)判断与的位置关系． (2)求和的数量关系． (3)若，的直径为20，求的长度． 【答案】(1)与的位置关系是相切 (2) (3) 【分析】（1）连接，由可得，由角平分线的定义可得，推出，由得到，从而推出，即，即可得证； （2）连接，由可得，由三角形外角的定义及性质可得，证明，再由平行线的性质即可得出答案； （3）作，垂足为点，设，则，由的直径为20，得到，证明四边形是矩形，得到，，则，由勾股定理可得，求出的值可得的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切， 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 为的半径， 与的位置关系是相切； （2）解：如图，连接， ， ， ， ，即， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图，作，垂足为点， 设， ， ， 的直径为20， ， 由（1）得，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴， ，为半径， ． 【点睛】本题考查了判断直线与圆的位置关系、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图所示，在等边中，边长均为，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以的速度移动，到点C时停止． (1)几秒后，的面积等于？ (2)设运动的时间为秒，以Q为圆心，为半径画圆，当与线段有唯一公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)秒后，的面积等于 (2)或 【分析】（1）过点作于点，设运动时间为秒，则，先证明是等边三角形，再根据题意列方程即可； （2）分两种情况：当与直线相切于点时，连接，当与直线相交，与线段只有一个交点时讨论即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 设运动时间为秒，则， 在等边中，， ， ， 是等边三角形， 在中，， ，， ， 解得：，， ， ， ， 故秒后，的面积等于； （2）解：如图，当与直线相切于点时，连接， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， ，即， 解得：， 当与直线相交，与线段只有一个交点时， ，即， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，动点问题，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是本题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动，点同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，当与直线相切时，求的值； (3)连接，交于点，如图，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2) (3) 【分析】（）过点作于，交于，由得到的直径是，求出即可得到的半径，利用三角形中位线得到，进而得到，即可判断与直线的位置关系； （）当与相切时，设切点为，连接并延长交于，根据得到方程，解方程即可求解； （）过作，交的延长线于点，连接，证明，得到，由得到方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离， 故答案为：，相离； （2）解：如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直线和圆的位置关系，勾股定理、中位线的判定和性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 二、题型二：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 【答案】且 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离． 【详解】解：圆心的坐标为， ∴圆心到原点的距离为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：且． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：∵点N的坐标为， ∴点N为直线上任意一点， 如图， 直线为函数的图象，则N为直线上一点，M为上一点， 由图象可知：过点P作垂线，当M、N分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时． 故答案为：2． 9．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 三、题型三：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 14．（2023·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，、为平面内不重合的两个点，若到、两点的距离相等，则称点是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、中，线段的“似中点”是点______； (2)直线与轴交于点，与轴交于点． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心在轴上，坐标为，上存在线段的“似中点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）由点的坐标和勾股定理求出各个点与和的距离，进行判断即可； （2）①求出直线与坐标轴的交点坐标，，得出，，由勾股定理求出，，由题意得出所求的点为的垂直平分线与坐标轴的交点，分两种情况求解即可；②、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，由切线的性质得出、，则、，由，，的半径为2，由平行线分线段成比例定理得出，，得出，，即可得出结果． 【详解】（1），，， ，， ， 点不是线段的“似中点”； ， ，， ， 点是线段的“似中点”； ， ，， ， 点不是线段的“似中点”； 故答案为：； （2）①直线，当时，；当时，， ，， ，， ，， 所求的点为的垂直平分线与坐标轴的交点，如图： ∴， 当“似中点” 在轴上时，，则为 当“似中点” 在轴上时，， 则，为， 为，为； ②如图所示： 、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，则、， 则、， ，，的半径为2，， ，， ，， 当时，上存在线段的“似中点”，． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、新定义“似中点”的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义和切线的性质是解决问题的关键． 15．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 【答案】(1)画图见解析，圆心P的坐标为 (2)或 【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， （2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可． 【详解】（1）如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， 连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M， ∵，A（3，0）、B（5，0） ∴，即点M是AB的中点 ∴M点坐标为（4，0） ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y） ∵ ∴，解得 ∴圆心P的坐标为； （2）如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN， 同（1）可得点M的横坐标为4， ∴设点M的坐标为 ∵⊙M与直线l：相切相切与点N ∴ ∴设MN所在直线的表达式为 将点M代入得，即 ∴MN所在直线的表达式为 ∴联立得：，解得 ∴点N的坐标为 ∵点A和点N都在⊙M上 ∴ ∴ 整理得 解得：或 ∴圆心M的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 四、题型四：证明某直线是圆的切线 16．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)相切 【分析】该题目主要考查基本的作图方法，切线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接作图即可； （2）根据（1）中作图方法结合切线的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：与相切， 证明：∵为半径， ∴与相切． 17．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的半径是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，勾股定理， （1）如图，连接，根据等边对等角得到，则可证明，再证明，即可证明，进而可证明是的切线； （2）根据得到，再由，在利用勾股定理建立方程求出半径即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ，即的半径是2. 18．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G．    (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长； (4)试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，见解析 【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案； （4）作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴；    （4）解：，证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，连接，则，由切线的性质可得，再证明可得，根据切线的判定即可求证，掌握切线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵切于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． 五、题型五：切线的性质定理 21．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得 ， ∴要使最小，只需最小 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4． 故答案为：4． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）直角三角形的直角边分别为5和12，则此直角三角形的内切圆直径是 ． 【答案】4 【分析】如图，，为的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接，由切线长定理得，如图，设的半径为r，根据切线的性质得到，，再证明矩形为正方形得到，所以，所以，解方程求出r，从而得到的直径． 【详解】解：如图，，为的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接，如图，设的半径为r， ∴．    ∵与相切， ∴， ∴四边形为矩形， 而， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的直径为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质． 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，点坐标为， ， ∵点是的中点， ∴． 分与相切和与相切两种情况考虑： ①当与相切时，如图1所示． 点横坐标为， ． 在中，，，， ，即， 解得：； ②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示． ，，， 四边形为矩形， ， ． 在中，，，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E， 分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线交于点O， 以O为半径，以长为半径画圆， 即为所求作； （2）过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【答案】（1）4；无数个；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个； （2）设与切点为E，连接并延长交于F，连接，设，则，，由勾股定理，得解答即可． （3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”； 已知，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”， 故答案为：4，无数． （2）解：如图，，，矩形， 则，，， 设与切点为E，连接并延长交于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接，设， 则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得 （3）解：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 以点Q为圆心，以为半径作， 则即为所求． 证明：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则，，， 故， ， 故点B，C都在上，且是的切线， 故是过点B、C的“友好圆”． 【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键． 28．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，D为的中点，的延长线交于点E，的切线与交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，根据切线的性质得到，于是得到； （2）根据，求得，得到，再求得，最后在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， 是的直径． 是的切线， ． 是的中点， ， ． ， ，， ， 是的平分线； （2）解：， ， ，即，故． ， ． 在中，，， ∴， 解得， 在中，， ∴，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的边角性质，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 29．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 30．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，．    (1)尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； (2)求（1）中的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理. （1）如图所示，先作出线段的中点，再以为圆心，以的长为半径画圆，同理作出的中点，再以为圆心，的长为半径画圆，与交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，先作出线段的中点，再以为圆心，以的长为半径画圆，同理作出的中点，再以为圆心，的长为半径画圆，与交于点，点即为所求；    由可知点在以为圆心，以的长为半径的圆上，由于与交于点，则当与相切时，最大，即则点在以为圆心，的长为半径的圆上； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ， ． 六、题型六：切线的性质和判定的综合应用 31．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等： （1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则； （2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到． 【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴点C在圆O上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 选择①③作为条件，②作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（2024·江苏南京·一模）如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，． (1)若与相切，求证：与相切； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查的切线的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接、、，根据菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得，然后由切线的判定方法可得结论； （2）连接、，根据圆的性质及全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）证明：连接、、， 经过菱形的顶点，， 过点，，，， 在和中， ， ， ， 与相切， ， 是半径， 与相切； （2）证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 33．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在中，，，．点是射线上一动点，作的外接圆． (1)若圆心在边上，如图2，则此时的长为______； (2)当与的某一边所在的直线相切时，求此时的长； (3)随着点的运动，与的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的长的值或取值范围． 【答案】(1)3 (2)6或 (3)当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 【分析】本题主要考查了圆与平行四边形，三角形综合．熟练掌握圆切线性质与判定，垂径定理及推论，圆周角定理及推论，勾股定理解直角三角形，矩形判定和性质，平行四边形的性质，直线与圆的位置关系，四点共圆，分类讨论，是解题的关键． （1）根据直径对的圆周角是直角得到，根据正弦定义得到，根据勾股定理得到． （2）当与相切时，得到 ，根据，得到，根据垂径定理得到，根据，即得；当与相切于点F，设交于点H，作于点L，推出，根据垂径定理得到，推出四边形是矩形，得到，推出，得到，设的半径为r，根据勾股定理得到，解得，得到，推出，结合，推出，得到，求得，得到；根据、都与有两个交点，得到、与都不相切． （3）分，，，四种情况，与的边的交点分别有3个，4个，3个，2个． 【详解】（1）当圆心在边上时，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）如图，当与相切时，与只有一个交点，此时A切点， 则，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， 由①结论可得，， ∴， ∴； 当与相切时，设切点为F，延长线交于点H，过点A作于点L， ，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与相切，与相切时， ∵与有A、B两个交点，与有B、P两个交点， ∴、与相切都不存在． 故当与的某一边所在的直线相切时，的长为6或． （3）如图，由（2）知，当时，与有3个交点； 如图，在射线上取点M，N，使，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，, ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形，， ∴A、B、N、D四点共圆， ∴当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 综上所述，当时，与有3个交点； 当时，与有4个交点； 当时，与有3个交点； 当时，与有2个交点． 34．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果． 成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了； 成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分． (1)请你说明三分角仪的正确性； (2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用垂直平分得到，再根据切线长定理得到平分，即，于是判断就将三等分； （2）如图（2），连接，设的半径为，先证明弧为半圆，，则为直径，所以，再计算出，由作法得，，则，接着利用勾股定理计算出，所以，判断出为等腰直角三角形，，则M点为弧的中点，同理可得N点为弧的中点． 【详解】（1）证明：∵，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵与半相切， ∴平分， ∴， 即就将三等分； （2）解：如图（2），连接，设的半径为， ∵点A、B、C、D、E、F是六等分， ∴弧为半圆，， ∴为直径， ∴， ∴， 由作法得，， ∴， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴M点为弧的中点， 同理可得N点为弧的中点， ∴点A、M、D、N是⊙O四等分点． 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了切线长定理和正多边形和圆． 35．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 七、题型七：应用切线长定理求解 36．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 37．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，是的切线，切点为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 40．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】方法：作的角平分线，在角平分线取一点，过该点作其中一边的垂线段，夹角为，过点画一条射线，作，的另一边与相交于点，过点作的垂线，与点的射线相交于点，同理作，交点为点，连接，可知，即可得，，即有，故点即为所求； 方法二：作的角平分线，在角平分线取一点，分别过点作角两边的垂直段，在上作，分别过点作的垂线，相交于点，由四边形内角和易得，即点即为所求； 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的画法，作一个角等于已知角，掌握切线的性质和角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：方法一：如图，点即为所求； 方法二：如图，点即为所求． 八、题型八：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 41．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，设的三边分别与相切于点，连接，的半径为，利用等面积法进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点，的半径为，连接， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴它的内切圆半径是， 故答案为：． 42．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ， 或2， 当时，，不能组成三角形，不符合题意； ， 当第三边为10时， ，此三角形是直角三角形， 如图所示，在中，点是的内接圆，分别与相切于D、E、F，    ， ， ， ， ， 圆的半径为2， 故选：B． 43．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可． 【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，， ∵， ∴四边形为正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的内切圆O相切， ∴， ∴的周长是， ∴， ∵的面积， ∴； 故答案为：13． 44．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识；设圆与的切点分别为E，G，F，分别连接，利用面积关系可求得内切圆的半径，从而利用全等三角形的性质可得的长，进而求得的长，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理得：； ∵点D是斜边AB的中点， ∴； 设圆与的切点分别为E，G，F，分别连接，如图， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，I是的内心，将绕原点逆时针旋转后，I的对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点作于点F，于点E，连接，先根据点的坐标得到，轴，轴，则，利用勾股定理得到；根据内心的性质结合三角形面积公式求出，进而求出，过点作轴于H，连接，证明，得到，则I的对应点 的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点作于点F，于点E，连接， ∵， ∴，轴，轴， ∴，即， ∴， ∵I是的内心， ∴I到角平分线的交点， ∴I到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴I到的距离也为1， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于H，连接， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴I的对应点 的坐标为． 故答案为：．    九、题型九：三角形内心有关应用 46．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 点I是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 48．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 49．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，I为的内心，连接并延长交于点D．记的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 【分析】由内心可知是三角形三条角平分线的交点，继而从角平分线定理出发，进行线段比转化，最后再将面积比转化． 【详解】解：∵I为的内心， ∴是的平分线， ∴由角平分线定理得， ∴由比的等比性质得，， ∵与共高， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内心，角平分线定理，三角形的面积，等比定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键． 50．（2024·江苏泰州·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，求得，作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、，可求得，则，，再证明四边形是正方形，则，求得，，同理可得，，即可求得四边形的周长，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 同理可得，， 四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 51．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】（1）由翻折的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求出，则； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G，由矩形的性质得到；由点F为的内心，得到，，则是等腰直角三角形，可得；证明，即可证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F为的内心， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内心的定义，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 52．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，I为的内心，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点于点，连接、、，    ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 53．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点是的内心，也是的外心．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 点是的内心，， ，是，的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 则的度数为． 故答案为： 54．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，内切于，切点为，已知，则的度数= ； 【答案】/55度 【分析】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理求出，根据多边形的内角和定理求出，根据圆周角定理求出即可． 【详解】连接， 内切于，切点为D、E、F， ， 故答案为：． 55．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、、、，可证明，得，则平分，再由点是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点是的中点． 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，， ， ， 平分， 点是的内心， 平分， 与在同一条直线上， 所在的直线经过点． （2）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点． 十、题型十：圆的综合问题 56．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3) (4) 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【详解】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 57．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接． (1)如图①，求的大小和的长； (2)如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理和圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键． （1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）连结，根据切线的定义及，求出度数，再根据圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质求得线段，，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）上有点A，B，连接，，C为的中点， ，， ， ， ， ， 在中， ． （2）连结，如图， 为的切线， ． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 在中 ． 58．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 59．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②16 (2) 【分析】（1）①连接，证明为等边三角形，得根据得，利用弧长公式即可解答；②过O作，证，即可解答； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，得四边形是矩形，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求，设，，，由，得，解方程即可 【详解】（1）①连接， 由翻折得， ， 为等边三角形， ， ， ， 弧的长：； ②过O作， ， ， ， 由翻折得， 在与中 ， ， ， ； （2）如图所示，将沿着翻折得， 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D， ∵， ∴四边形是矩形， 由折叠和 (1) 可知，，， ， ， ， 在中 ， 设，则， ， 在中 ， ， 解得： 的长为． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 60．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$