第2章 专题特训七 圆中常用的辅助线作法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

58 　　 　　专题特训七　圆中常用的辅助线作法 ▶ “答案与解析”见P33 类型一 定点定长构造隐性圆 1. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD, 且∠CAD=3∠BAC.若∠DBC=42°,则 ∠CAD= ,∠BDC= . (第1题) 2. ★如图①,把一块含45°角的三角尺ECF 和 一个正方形ABCD 摆放在一起,使三角尺的 直角顶点和正方形的顶点C 重合,点E、F 分别在正方形ABCD 的边BC、CD 上.连接 AF,取AF 的中点M、EF 的中点N,连接 DM、MN. (1) 尝试探究:DM、MN 之间的数量关系是 ,DM、MN 之间的位置关系是 . (2) 猜想论证:证明你的结论. (3) 拓展延伸:如图②,将图①中的三角尺 ECF 绕点C 按顺时针方向旋转180°,其他条 件不变,(1)中的两个结论还成立吗? 若成 立,请加以证明;若不成立,请说明理由. (第2题) 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 垂直平分 AC,连接BD、CD、AD,AD 交BC 于点P, ∠CBD=30°. (1) 求证:AB=AD. (2) 当△ABP 是等腰三角形时,求∠ABC 的度数. (第3题) 类型二 定角对定边构造所在圆 4. 在平面直角坐标系中,已知点A(4, 0)、B(-6,0),C 是y轴上的一个动 点.当∠BCA=45°时,点C 的坐标 为 . 5. (2024·宿迁沭阳期中)如图,在△ABC 中, AC=2,BC=3,∠ACB=30°,D 是△ABC 内一动点,☉O 为△ACD 的外接圆,☉O 交 直线BD 于点P,交边BC 于点E,若AE ︵ = CP ︵,则AD 长的最小值为 . (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 59 类型三 遇直径构造90°的圆周角 6. 如图①,AB 是☉O 的直径,且AB=10,C 是 ☉O 上的动点,AC 是弦,直线EF 和☉O 相 切于点C,AD⊥EF,垂足为D. (1) 求证:∠DAC=∠BAC. (2) 若AD 和☉O相切于点A,则AD 的长为 . (3) 如图②,若把直线EF 向上平移,EF 交 ☉O 于G、C 两点,连接AG,题中的其他条件 不变,这时是否存在与∠DAC 相等的角? 若 存在,找出相等的角并证明;若不存在,请说 明理由. (第6题) 类型四 遇切线巧作过切点的半径 7. 如图,☉O 是Rt△ABC 的外接圆,∠ABC= 90°,P 是☉O 外一点,PA 切☉O 于点A,且 PA=PB. (1) 求证:PB 是☉O 的切线. (2) 已知PA= 3,∠ACB=60°,求☉O 的 半径. (第7题) 类型五 补全垂直于直径的弦 8. 如图,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 上的一点,CD⊥AB 于点D,E 为 BC ︵ 上一点,AC ︵ =CE ︵,AE 与CD 相 交于点F,与BC相交于点G,连接AC.求证: (1) AE=2CD. (2) 点F 是△ACG 的外心. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ AC=AD+CD=6+2=8. ∴ AC的长是8. 专题特训七　圆中 常用的辅助线作法 1. 84° 14° 解析:∵ AB=AC= AD,∴ 点B、C、D 在以点A 为圆心、 AB 长 为 半 径 的 圆 上 (如 图). ∵ ∠DBC = 42°,∴ ∠CAD = 2∠DBC=84°.∵ ∠CAD=3∠BAC, ∴ ∠BAC = 13 ∠CAD = 28°. ∵ ∠BDC=12∠BAC ,∴ ∠BDC= 1 2×28°=14°. (第1题) 2. (1) DM=MN;DM⊥MN. (2) 连接AE. ∵ M 是AF 的中点,N 是EF 的 中点, ∴ MN 是△AEF 的中位线. ∴ MN=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠B=90°,AD=AB= BC=CD. ∵ 在Rt△ADF中,M 是AF的中点, ∴ DM=12AF=AM=MF. 由题 意,知△ECF 是 等 腰 直 角 三 角形, ∴ FC=EC. ∴ CD-FC=BC-EC,即 DF= BE. 在△ADF 和△ABE 中, AD=AB, ∠ADF=∠B, DF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ABE. ∴ AF=AE. ∴ MN=12AF. ∴ MN=DM=AM=MF. ∴ 点A、N、F、D 在以点M 为圆心、 1 2AF 的长为半径的圆上. 连 接 AN,则 易 得 ∠NAD + ∠DFN=180°. 又∵ ∠DFN+∠NFC=180°, ∴ ∠NAD=∠NFC=45°. ∴ ∠NMD=2∠NAD=90°. ∴ DM⊥MN. (3) (1)中的两个结论还成立. 连接AE,交DM 于点G. ∵ M 是AF 的中点,N 是EF 的 中点, ∴ MN 是△AEF 的中位线. ∴ MN=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠B=90°,AD=AB= BC=CD. ∵ 在Rt△ADF中,M 是AF的中点, ∴ DM=12AF=AM=MF. 由(2)同理,可证△ADF≌△ABE. ∴ AF=AE. ∴ MN=12AF. ∴ MN=DM=AM=MF. ∴ 点A、F、N、D 在以点M 为圆心、 1 2AF 的长为半径的圆上. ∴ 易得∠NMD=2∠NFD=90°. ∴ DM⊥MN. 构造辅助圆解决问题的 一般方法 当条件中出现两个或两个以 上的点到某一定点的距离相等时, 我们可以尝试以这个定点为圆心、 各点到定点的距离为半径构造一 个圆,这样可以在问题的条件与结 论之间架设新的桥梁,从而使解题 思路“柳暗花明”. 3. (1) 如图,作△BDC 的外接圆,延 长DE 交圆于点F,连接CF、AF,则 ∠CBD=∠CFD=30°. ∵ DE 垂直平分AC, ∴ AF=FC. ∴ ∠AFE=∠CFE=30°. ∴ ∠AFC=60°. ∴ △AFC是等边三角形. ∴ AF=AC. ∵ AB=AC, ∴ AF=AC=AB. ∴ 点A 为所作圆的圆心. ∴ AB=AD. (2) ① 若 PA=PB,则∠BAP= ∠ABC. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠DAC=2∠CBD=60°, ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠ACB = 60°+∠ACB. ∴ ∠APB=60°+∠ABC. ∵ ∠ABC + ∠BAP + ∠APB = 180°, ∴ 3∠ABC +60°=180°,解 得 ∠ABC=40°. ② 若BA=BP,同理,可得∠ABC=20°. ③ 若AB=AP,此时点P 与点C 重 合,则点D 与点E 重合,不合题意, 舍去. 综上所述,当△ABP 是等腰三角形 时,∠ABC的度数为40°或20°. (第3题) 4. (0,12)或(0,-12) 解析:设线段 AB 的中点为E.∵ A(4,0)、B(-6, 0),∴ AB=10,E(-1,0).∴ OE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 1.① 如图①,过点E 在第二象限作 PE⊥AB,且PE=12AB=5 ,连接 PB、PA,则易知△PBA 为等腰直角 三角形,∠BPA=90°,PA=PB= 52.以点P 为圆心、PA(或PB)长 为半径作☉P,与y 轴的正半轴交于 点C.∵ ∠BCA 为☉P 的圆周角, ∴ ∠BCA=12∠BPA=45°.∴ 点C 即为所求.过点P 作PF⊥y轴于点 F,则易得四边形 PEOF 为矩形. ∴ OF=PE=5,PF=OE=1.∵ 在 Rt△PFC 中,PF =1,PC=52, ∴ CF= PC2-PF2=7.∴ OC= OF+CF=5+7=12.∴ 点C 的坐标 为(0,12).② 如图②,在第三象限可 以参照①进行同样的操作,同理,可得 y轴的负半轴上的点C 的坐标为 (0,-12).综上所述,点C 的坐标为 (0,12)或(0,-12). (第4题) 5. 13-3 解析:∵ AE︵=CP︵, ∴ ∠ACB=∠CDP.∵ ∠ACB= 30°,∴ ∠CDP=30°.∴ ∠BDC= 180°-30°=150°.∴ 点D 在以BC 为 弦,∠BDC=150°的圆弧上运动.如 图,设点D 运动的圆弧所在圆的圆心 为点M,取优弧BC 上一点N,连接 MB、MC、NB、NC、AM、MD,则 ∠BNC =180°- ∠BDC =30°, ∴ ∠BMC =60°.∵ BM =CM, ∴ △BMC 为 等 边 三 角 形. ∴ ∠MCB =60°,MC =BC =3. ∵ ∠ACB=30°,∴ ∠ACM =90°. ∴ AM= AC2+MC2= 22+32= 13.∴ 当A、D、M 三点共线时,AD 长取得最小值.此时,AD=AM- MD= 13-3. (第5题) 6. (1) 如图①,连接OC. ∵ EF 和☉O 相切于点C, ∴ OC⊥EF. ∵ AD⊥EF, ∴ OC∥AD. ∴ ∠DAC=∠OCA. ∵ OA=OC, ∴ ∠BAC=∠OCA. ∴ ∠DAC=∠BAC. (2) 5. 解析:如图②,连接 OC. ∵ AD 和☉O 相切于点A,∴ OA⊥ AD.∵ AD ⊥ EF,OC ⊥ EF, ∴ ∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°. ∴ 四边形OADC 是矩形.∵ OA= OC,∴ 矩 形 OADC 是 正 方 形. ∴ AD=OA.∵ AB=2OA =10, ∴ AD=OA=5. (3) 存在;∠BAG=∠DAC. 如图③,连接BC. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠BCA=90°. ∴ ∠ACD+∠BCE=90°. ∵ ∠ADC=90°, ∴ ∠ACD+∠DAC=90°. ∴ ∠DAC=∠BCG. ∵ BG︵=BG︵, ∴ ∠BCG=∠BAG. ∴ ∠BAG=∠DAC. (第6题) 7. (1) 如图,连接OB. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA. ∵ PA=PB, ∴ ∠PAB=∠PBA. ∴ ∠OAB + ∠PAB = ∠OBA + ∠PBA,即∠PAO=∠PBO. 又∵ PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAO=90°. ∴ ∠PBO=90°. ∴ OB⊥PB. 又∵ OB 是☉O 的半径, ∴ PB 是☉O 的切线. (2) 如图,连接OP. ∵ PA=PB, ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. ∵ OA=OB, ∴ 点O 在线段AB 的垂直平分线上. ∴ OP 为线段AB 的垂直平分线. 又∵ ∠ABC=90°,即BC⊥AB, ∴ PO∥BC. ∴ ∠AOP=∠ACB=60°. 由(1),知∠PAO=90°, ∴ ∠APO=30°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 ∴ 易得PO=2AO. ∵ 在Rt△APO中,AO2+PA2=PO2, ∴ AO2+3=(2AO)2. 又∵ AO>0, ∴ AO=1. ∴ ☉O 的半径为1. (第7题) 8. (1) 如图,延长CD 交☉O 于点M. ∵ AB⊥CD, ∴ AC︵=AM︵,CD=MD. ∵ AC︵=CE︵, ∴ AC︵=CE︵=AM︵. ∴ AM︵+AC︵=AC︵+CE︵,即 MC︵= AE︵. ∴ MC=AE. ∵ MC=MD+CD, ∴ MC=2CD. ∴ AE=2CD. (2) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACG=90°. ∴ ∠ACF+∠FCG=90°,∠CAF+ ∠FGC=90°. ∵ CE︵=AM︵, ∴ ∠CAF=∠ACF. ∴ AF=CF,∠FCG=∠FGC. ∴ AF=CF=FG. ∴ 点F 是△ACG 的外心. (第8题) 2.6　正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆的关系 1. B 2. 36° 3. 2 4. (1) ∵ 八边形ABCDEFGH 是正 八边形, ∴ AB=BC,∠ABM=∠C. 在△ABM 和△BCN 中, AB=BC, ∠ABM=∠C, BM=CN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△BCN. (2) ∵ △ABM≌△BCN, ∴ ∠BAM=∠CBN. ∵ ∠APN=∠BAM+∠ABP, ∴ ∠APN = ∠CBN + ∠ABP = ∠ABC. ∵ 易得∠ABC=135°, ∴ ∠APN=135°. 5. B 6. A 解析:如图,连接AD,交BE 于点O.∵ 在正六边形ABCDEF 中, 易得∠BAO=∠ABO=∠OED= ∠ODE=60°,∴ △AOB 和△DOE 是等边三角形.∴ OA=OD,OB= OE.① ∵ BM=EN,∴ OM=ON. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ① 符 合 题 意.② ∵ ∠FAN = ∠CDM, ∠CDA = ∠DAF, ∴ ∠OAN=∠ODM.∴ AN∥DM. 又∵ ∠AON=∠DOM,OA=OD, ∴ △AON≌△DOM.∴ AN=DM. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ②符合题意.③ ∵ AM=DN,AB= DE,∠ABM =∠DEN,∴ △ABM 和△DEN 不一定全等,不能得出四 边形AMDN 为平行四边形,故③不 符合题意.④ ∵ ∠AMB=∠DNE, ∠ABM = ∠DEN,AB = DE, ∴ △ABM≌△DEN.∴ AM=DN. ∵ ∠AMB + ∠AMN = 180°, ∠DNM + ∠DNE = 180°, ∴ ∠AMN=∠DNM.∴ AM∥DN. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ④符合题意.综上所述,符合题意的是 ①②④. (第6题) 7. (1) 如图,连接AC. ∵ 四边形ABCD 是☉O的内接矩形, ∴ AC是☉O 的直径. ∵ EF 与☉O 相切于点C, ∴ AC⊥EF. ∵ OE=OF, ∴ CF=CE,∠FOC=∠EOC. ∴ ∠AOF=∠AOE. ∵ OA=OA, ∴ △AOF≌△AOE. ∴ AF=AE. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠FAE=90°. ∴ AC=12EF=CF=CE. ∴ ∠CAE=45°. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠ACB=45°. ∴ AB=CB. ∴ 矩形ABCD 是正方形. (2) 40. 解析:∵ OC=12AC ,AC= CF,∴ CF=2OC.∵ OF=10,在 Rt△COF 中,OF2 =OC2 +CF2, ∴ 102=OC2+4OC2.∴ OC=25. ∴ 易得AB=2 10.∴ AB2=40. ∴ 正方形ABCD 的面积是40. (第7题) 第2课时 正多边形的对称性 1. B 2. C 3. 10 4. (1) 如图,正六边形ABCDEF 即 为所求作. (2) 四边形BCEF 是矩形. 如图,连接OE. ∵ 六边形ABCDEF 是正六边形, ∴ AB=AF=DE=DC=FE=BC. ∴ AB︵=AF︵=DE︵=DC︵. ∴ BF︵=CE︵. ∴ BF=CE. 又∵ FE=BC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53