专题07 圆的对称性（六大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 圆的对称性（六大题型，40题） 目录 题型一：利用垂径定理求值 1 题型二：利用垂径定理求解其他问题 2 题型三：垂径定理的推论 4 题型四：垂径定理的实际应用 7 题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 题型六：利用弧、弦、圆心角的关系求证 10 一、题型一：利用垂径定理求值 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的两条弦，且，求证：． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 二、题型二：利用垂径定理求解其他问题 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 10．（2023九年级上·江苏·专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 11．（2023·江苏盐城·二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 12．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)在图①中，作的中点M； (2)在图②中，作，使得． 三、题型三：垂径定理的推论 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 14．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 15．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为 m． 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 18．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）． (1)该图中弧所在圆的圆心的坐标为______． (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径______．（结果保留根号）； ②点在______．（填“上”、“内”或“外”）； ③______． 19．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，为的外接圆，请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在劣弧上找一点，使； (2)作出一点，使得． 20．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点A，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为 （2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径． 四、题型四：垂径定理的实际应用 21．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 23．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是             24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 25．（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 五、题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 26．（2024·江苏扬州·三模）已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 28．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 ，这条弦的长度为 ． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 30．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 六、题型六：利用弧、弦、圆心角的关系求证 31．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 33．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 34．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 35．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 36．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    37．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的弦、的延长线相交于点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 38．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．    (1)求证：； (2)如果的半径为5，，求的长． 39．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．      ∵为的中点， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 40．（2023·江苏南京·一模）如图，已知为半圆的直径．求作矩形，使得点，在上，点，在半圆上，且．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 圆的对称性（六大题型，40题） 目录 题型一：利用垂径定理求值 1 题型二：利用垂径定理求解其他问题 7 题型三：垂径定理的推论 15 题型四：垂径定理的实际应用 27 题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 32 题型六：利用弧、弦、圆心角的关系求证 37 一、题型一：利用垂径定理求值 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系可得，从而可得，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵M，N分别是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为2，弦，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，首先过点O作于点D，由垂径定理，即可求得，的长，然后由勾股定理，可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】过点O作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∵的半径为，即， ∴在中，， 在中， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理，熟记相关定理是解题的关键．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论． 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等腰三角形的三线合一的性质成为解题的关键． 如图：过O作于M，于N，求出，根据角平分线的定理即可解答． 【详解】证明：如图：过O作于M，于N，则， ∵过O， ∴, ∵， ∴， ∵, ∴， ∴,即平分， ∵， ∴． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键． （1）由题意，有，运用垂径定理即可解得答案； （2）由（1）知，垂直平分，交点为，则，在中，利用勾股定理求得，设的半径为，则，，在中运用勾股定理解出答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． （2）解：由（1）知，垂直平分，交点为， ∵，， ∴， ∴在中，根据勾股定理，可知； 设的半径为， 则，， 在中， ，即， 解得：． 二、题型二：利用垂径定理求解其他问题 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．运用过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短这个经验是解决该题的关键． 【详解】解：对于直线， 当时，， 故直线恒经过点，记为点D， 过点D作轴于点H， 则有， ， 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 连接， ， 因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为， 故答案为：24．    10．（2023九年级上·江苏·专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于． （2）根据图形得出结论 （3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则． 【详解】（1）解：如图所示， 在图①中、延长线交于外一点； 在图②中、交于内一点； 在图③中．    （2）在三个图形中均有结论：线段． （3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知． 于，于， ， ∴， 为直径， ， ， ． 【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 11．（2023·江苏盐城·二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 【答案】(1)画图，理由见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析； （2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． 【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；    证明：∵M是半圆的中点， ∴， ∴直径直径， ∴， ∴， 即平分． （2）如图2中，射线即为所求．    【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)在图①中，作的中点M； (2)在图②中，作，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点； （2）在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； （2）解：如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求． 如图，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形． 三、题型三：垂径定理的推论 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键． 连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7． 【详解】解：如图1，连接，， ，， ，O是的中点， 是的中点， ， ， ， ∴点M在以O为圆心，以3为半径的上， 如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值为7， 故选：A． 14．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长． 【详解】解：连接， 设， 则， 点为弦的中点，为圆心， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算． 15．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为 m． 【答案】/ 【分析】根据垂径定理可得设圆的半径为x，则在Rt中，根据勾股定理列方程即可求出x的值. 【详解】∵点C是 的中点 ∴，且 设圆O的半径为x，则 在Rt△中， 解得（舍去) ∴   故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及一元二次方程.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.熟练掌握垂径定理是解题的关键. 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据等角对等边和角的直角三角形可得，，可得出答案； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，根据垂径定理的推论和垂直平分线的性质可确定点为大圆的圆心，证明为等边三角形，得到，从而得到，再结合（2）的结论可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：， ∴小圆与大圆的半径之比是：， 故答案为：； （2）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆， ∵垂直平分，是圆的弦， ∴线段为圆的直径， ∵垂直平分于点， ∴点为大圆的圆心，， ∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 由（2）知：，， 则小即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了利用尺规作垂直平分线、过一点作垂线、作一个角的角平分线、作一条线段等于已知线段，垂径定理的推论，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，等角对等边等知识点．解题的关键是理解题意，利用数形结合思想解决问题． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】（1）先求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，据此即可求解； （2）作于，由垂径定理和勾股定理求得，，利用等积法求得的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35； （2）解：作于，如图，    由垂径定理得， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）． (1)该图中弧所在圆的圆心的坐标为______． (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径______．（结果保留根号）； ②点在______．（填“上”、“内”或“外”）； ③______． 【答案】(1) (2)①；②外；③ 【分析】（1）由垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，即可作线段和线段的垂直平分线，则其交点即为圆心，再结合图形即得出圆心坐标； （2）①根据勾股定理即可求解；②求出点到圆心D的距离，再与半径相比较即可解答；③连接，根据勾股定理分别求出，，即得出，根据勾股定理逆定理，即确定． 【详解】（1）如图，作线段和线段的垂直平分线，则两直线交点即为圆心， ∴由图可知圆心的坐标为． 故答案为：； （2）①由图可知的半径． 故答案为：； ②∵点到圆心D的距离为， ∴点在外． 故答案为：外； ③如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理和勾股定理逆定理．掌握弦的垂直平分线必过圆心是解题关键． 19．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，为的外接圆，请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在劣弧上找一点，使； (2)作出一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作弦的垂直平分线即可； （2）延长至点E，使即可． 【详解】（1）如图，点D即为所求． ∵， ∴； （2）延长至点E，使，则点E即为所求． 连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查尺规作图，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 20．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点A，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为 （2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；在中，由勾股定理可求得半径的长． 【详解】解：（1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心， 如图所示，圆心的坐标为； 故答案为：； （2）如图：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图． 连接，设，，， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 故破残的圆形轮片圆的半径为． 【点睛】本题考查了尺规作图-线段的垂直平分线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握和运用求作圆心的方法是解决本题的关键． 四、题型四：垂径定理的实际应用 21．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 即的半径为寸， 的直径为寸， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是             【答案】26寸 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识，利用垂径定理，勾股定理解决问题即可． 【详解】解：∵是半径， ∴， ∵寸，寸， ∴寸， 在中，， ∴， ∴寸， ∴寸． 故答案为：26寸． 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 25．（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 五、题型五：利用弧、弦、圆心角的关系求解 26．（2024·江苏扬州·三模）已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等；  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等的知识是解题的关键． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等，故原命题是假命题，不符合题意； ②等弧：能完全重合的弧， ∴等弧所对的弦相等，故原命题是是真命题，符合题意； ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的弧相等，故原命题是假命题，不符合题意； 故答案为：1 ． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解． 【详解】如图所示，连接，延长交分别为， ∵，为等腰直角三角形 ∴， ∵弧的度数， ∴是等腰直角三角形， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中， ∴ 即 整理得， ∴ 故答案为：． 28．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 ，这条弦的长度为 ． 【答案】 /90度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据一条弦分为部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为，这条弦的长度为． 故答案为：，． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，如图，则， 在中，， ∴， ， ， 在中，， ． 30．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； （2）根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的弧上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合运用以上知识画图． 【详解】（1）如图，延长，交于点M，连接交弧于点P， 则点P即为所求． （2）根据题意，画图如下： 则点Q即为所求． 六、题型六：利用弧、弦、圆心角的关系求证 31．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，先根据题意得到，则，即可判断①；推出，进而证明，即可判断③；证明，得到，即可判断②，证明的度数的度数，得到的度数的度数，则，即可判断④． 【详解】解：为的中点， ， ∴，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：B． 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 33．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 34．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等： （1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； （2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； 由角平分线的定义得到，则，则，则； （2）解：设交于H，连接， 角平分线的定义得到，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）垂径定理，得到，进而得到，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得到，即可； （2）勾股定理求出，设，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的弦，半径， 是的中点． ． ． ． ， ． ，． ． ． ． 即为的中点． （2）如图，连接． 半径，垂足为，， ． 是的中点，， ． ． 在中，． 设，则， ． ，即的半径为． 36．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆的对称性及全等三角形的性质和判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 连接，根据定理得出，由全等三角形的性质得出，进而可得出结论． 【详解】证明：连接，，    ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 37．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的弦、的延长线相交于点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证，则即可求证； （2）连接，作，证，进而可证，即可求证． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 即： （2）证明：连接，作    ∵, ∴ 即 【点睛】本题考查了圆中“弧、弦、角”的关系、全等三角形综合．熟记相关结论进行几何推理即可． 38．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．    (1)求证：； (2)如果的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）根据，可得，再证明，即可； （2）过O作与F，于G，连接，则，根据垂径定理可得，证明，可得，从而得到四边形是正方形，可得，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：过O作与F，于G，连接，则，    ∴四边形是矩形， 根据垂径定理得：， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 39．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．    【答案】见解析 【分析】在上截取，连接，由为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，易得，得到，于是有，因此． 【详解】证明：在上截取，连接，如图，   ∵为的中点， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理． 40．（2023·江苏南京·一模）如图，已知为半圆的直径．求作矩形，使得点，在上，点，在半圆上，且．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【分析】根据题意，先找到圆心，过点作交于点，然后在的两侧分别作正方形，则，矩形即为所求． 【详解】解：如图所示， ①过点作交于点， ②作的角平分线，交于点， ③作垂直于，垂足分别为， 则矩形即为所求． 理由如下，∵是的角平分线，， ∴， 又 则是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，则四边形是正方形，同理可得是正方形， 又 ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，正方形的性质，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题的关键． 同步新课程，周周有练习，月月有重点！2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！1 学科网（北京）股份有限公司 $$