专题06 圆（七大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 圆（七大题型，40题） 目录 题型一：圆的基本概念辨析 1 题型二：求过圆内一点的最长弦 2 题型三：求一点到圆上点距离的最值 4 题型四：圆心角概念辨析 6 题型五：求圆弧的度数 7 题型六：判断点与圆的位置关系 8 题型七：已知点与圆的位置关系求半径 10 一、题型一：圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 ． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 二、题型二：求过圆内一点的最长弦 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    9．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ． 10．（2023·四川成都·三模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 三、题型三：求一点到圆上点距离的最值 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，于点D，P是半径为2的上的一个动点，连接，若E是的中点，连接，若在P运动过程中的最大值为，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 15．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为 ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 四、题型四：圆心角概念辨析 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 18．（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    19．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    20．（2023·黑龙江·一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 21．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 五、题型五：求圆弧的度数 22．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 24．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 25．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 26．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 六、题型六：判断点与圆的位置关系 27．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ）    A．20 B．26 C．28 D．30 29．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 30．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 31．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 32．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 33．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的半径为2，点P到圆心O的距离为d，关于x的方程无实数根，则点P在 ． 七、题型七：已知点与圆的位置关系求半径 34．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（      ） A． B． C． D． 35．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 36．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）平面内一点到圆上一点最大距离为，最小距离为，则该圆的半径为 ． 37．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为 ． 38．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是 ． 39．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12．如果点A在⊙D内，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长可以等于 ．（只需写出一个符合要求的数） 40．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知点A到上各点的距离中最大距离为6cm，最小距离为2cm，那的⊙O半径为 cm． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 11 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 圆（七大题型，40题） 目录 题型一：圆的基本概念辨析 1 题型二：求过圆内一点的最长弦 6 题型三：求一点到圆上点距离的最值 13 题型四：圆心角概念辨析 22 题型五：求圆弧的度数 26 题型六：判断点与圆的位置关系 31 题型七：已知点与圆的位置关系求半径 38 一、题型一：圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有． 【详解】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． 4．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握圆的基本性质．首先证明的等腰三角形，易得，结合三角形外角的性质可得，再根据圆的性质可得也为等腰三角形，由即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）过点作交于点，首先根据勾股定理解得的长度，再利用面积法解得的长度，进而可得的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得的长即可； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后根据三角形内角和定理解得的度数，即可获得答案； （3）根据“垂线段最短”即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如下图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：∵点是线段上的动点，，，， ∴当点与点重合时，取最小值， 此时， 当点与点重合时，取最大值， 此时， ∴线段的长度取值范围是． 故答案为：． 二、题型二：求过圆内一点的最长弦 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，   点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 9．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 点，点，点，点四点共圆， 如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于， 是等边三角形，， 点是的内心，也是的外心， ，， ，， ， 点在上运动， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．（2023·四川成都·三模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题由矩形的性质和,得到四点共圆，推出为直径时最大，分析动点E的运动轨迹，当最大时，即时，最大，利用勾股定理求出直径的最大值后即可求出答案．本题考查了圆的相关知识点的应用，还有矩形及正方形的性质，以及勾股定理，解题关键是圆的内接四边形的性质的应用及对动点的分析． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴, ∴四点共圆， 如图所示，当为直径时最大， 连接， 当最大时，即时，最大， ， 此时的最大值为， 故答案为：． 三、题型三：求一点到圆上点距离的最值 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，于点D，P是半径为2的上的一个动点，连接，若E是的中点，连接，若在P运动过程中的最大值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接，当点P在延长线上时，，此时最大，再证明是的中位线，得到，从而得到最大值为7，从而求得， 然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， 当点P在延长线上时，，此时最大， ∵，， ∴，即点D是中点， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的最大值为， ∴最大值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，点到圆上一点的最值问题．判定出点P在延长线上时，此时最大是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径． 【详解】解：设最小距离为m，最大距离为n， 由根与系数的关系得， 是内一点， 点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径， 即圆的直径是12，圆的半径是 故答案为：6 15．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． （1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在外，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决] 如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 四、题型四：圆心角概念辨析 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 19．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 20．（2023·黑龙江·一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 21．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 五、题型五：求圆弧的度数 22．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 23．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 24．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 25．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 26．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 六、题型六：判断点与圆的位置关系 27．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半辅助线，属于中考选择题中的压轴题．如图，连接，取的中点，连接，．利用三角形的中位线定理可得，再求出OH，从而得出．当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，的最大值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，． ，， ， ，， ， ， ∴当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时， 的最大值， 故选：B． 28．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ）    A．20 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用； 根据直角三角形的性质证明，可得要使取得最大值，则需取得最大值，连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，求出，得到，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点 、点关于原点对称， ∴点O是的中线， ∴， ∴要使取得最大值，则需取得最大值， 连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 29．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在上 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故答案为：点在上． 30．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 31．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 32．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 【答案】7 【分析】作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解．本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：作的中点，连接、，， 在中，， 是斜边上的中点， ， 是的中点，是的中点， ， 在中，，即， 最大值为7． 故答案为：7． 33．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的半径为2，点P到圆心O的距离为d，关于x的方程无实数根，则点P在 ． 【答案】的外部 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、点与圆的位置关系的判定等知识点，掌握一元二次方程没有实数根的条件（）是解题的关键． 先利用方程无实数根，可得到，进而求出d的取值范围，然后结合圆的半径是2，得出d与r大小关系即可解答． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴； ∴点P在的外部． 故答案为：的外部． 七、题型七：已知点与圆的位置关系求半径 34．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于P时，最小，然后计算出的最小值即可得到线段的最小值． 【详解】解：连接，如图， 当时，， 解得，则， ∵Q是线段的中点， 为的中位线， ， 当最小时，最小， 连接交圆于P时，最小， ， 的最小值， ∴线段的最小值为． 故选：C． 35．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，可知要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，利用坐标与图形性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 若要使长最小，则需取得最小值， 连接，交于，当点位于位置时，取得最小值， 过点作轴于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、坐标与图形、点与圆的位置关系等知识，能将求的最小值转化为求长是解答的关键． 36．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）平面内一点到圆上一点最大距离为，最小距离为，则该圆的半径为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，分点在圆内和圆外及圆上三种情况，当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，然后求出半径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径，然后求出半径，解题的关键是正确理解点与圆的位置关系，当点在圆内时，直径 最小距离最大距离；当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分三种情况：当点在圆内时，圆的直径为，所以半径为； 当点在圆外时，圆的直径为，所以半径为； 当点在圆上时，圆的直径为，所以半径为 故答案为：或或． 37．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为线段与的交点时， 点M到的距离最短为， ∴面积的最小值为：． 故选：． 【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 38．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得的长，再由勾股定理解得的长，最后由点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：连接， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 要最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴P在上， ∵，， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 39．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12．如果点A在⊙D内，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长可以等于 ．（只需写出一个符合要求的数） 【答案】12.5（答案不唯一）． 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在内得到的半径大于12，再根据点B在外，得到的半径小于13，可得的半径取值范围，在此范围内找到一个值即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴, ∴， ∵点A在内， ∴的半径， ∵点B在外， ∴的半径 ， ∴ ， ∴12.5符合要求， 故答案为：12.5（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是确定的半径的取值范围． 40．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知点A到上各点的距离中最大距离为6cm，最小距离为2cm，那的⊙O半径为 cm． 【答案】4或2 【分析】点A应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点A在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点A在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 【详解】解：当点A在圆内时，最大距离为6cm,最小距离为2cm,则直径是8cm,因而半径是4cm； 当点A在圆外时，最大距离为6cm,最小距离为2cm,则直径是4cm,因而半径是2cm. 故答案为：4或2 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$