专题08 圆章末易错必刷题型专训（69题23个考点）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题08 圆章末易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 圆的基本概念】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在上，，求的度数． 【易错必刷二 判断点与圆的位置关系】 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为，点与点的距离是2，则符合要求的图形可以是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【易错必刷三 圆心角概念及简单运算】 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 8．（2025·江苏常州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【易错必刷四 圆周角的概念及简单运算】 10．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【易错必刷五 判断点与圆的位置关系】 13．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知的半径为4，，则在（   ） A．上 B．内 C．外 D．以上都不对 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为，最大的圆半径为，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为的位置，则该运动员本次射击得分为 分． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围． 【易错必刷六 求圆弧的度数】 16．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则 °． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 【易错必刷七 利用点与圆的位置关系求半径】 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 ． 21．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′， (1)求证：四边形OAO′B是菱形； (2)当点O′落在⊙O上时，求b的值． 【易错必刷八 利用垂径定理求值】 22．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若，，求的长． 【易错必刷九 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 25．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 26．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示） 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【易错必刷十 圆周角定理】 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，A，B，C三点在上，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，以正六边形的顶点A为圆心，长为半径画圆，M是上的任意一点，则的度数为 ． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，是的直径，与相切于点，与相交于点，连接，，求的度数． 【易错必刷十一 已知圆内接四边形求角度】 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为 °． 33．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，，相交于，两点，连接，经过点的直线与交于点，与交于点；经过点的直线与交于点，与交于点．试说明与的位置关系．    【易错必刷十二 利用点与圆的位置关系求半径】 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【易错必刷十三 求能确定的圆的个数】 37．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2025九年级·江苏苏州·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    39．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【易错必刷十四 尺规作图——正多边形】 40．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 41．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 42．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【易错必刷十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 43．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（    ） A． B． C． D．3 44．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．    45．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 【易错必刷十六 切线的性质定理】 46．（2025·江苏·模拟预测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·江苏苏州·模拟预测）校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边、和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与和相切于点、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 ．（结果保留根号、保留） 48．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，切于点B，，，则的半径多少？ 【易错必刷十七 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 49．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是一块草地，将阴影部分修建为花圃，已知，阴影部分是的内切圆，一只飞翔的小鸟将随机落在这块草地上，则小鸟落在花上的概率为（        ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是 （分母不含根号）． 51．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 【易错必刷十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 52．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 53．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 54．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【易错必刷十九 已知正多边形的中心角求边数】 55．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 56．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ． 57．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【易错必刷二十 求弧长】 58．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，OC，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 59．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 60．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 【易错必刷二十一 求扇形面积】 61．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若扇形的面积为，的长为，则该扇形的半径长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 62．（2025·江苏苏州·模拟预测）砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 63．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【易错必刷二十二 求圆锥侧面积】 64．（24-25九年级上·江苏南京·期中）为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（   ） A．4 B．8 C． D． 65．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是 ． 66．（25-26九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【易错必刷二十三 求圆锥侧面展开图的圆心角】 67．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 69．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆章末易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 圆的基本概念】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 2．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查圆的认识，根据题意得，扇形丙的圆心角占的，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的有关概念．连接，由圆的有关概念知，，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二 判断点与圆的位置关系】 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为，点与点的距离是2，则符合要求的图形可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点与点的距离是2，， ∴点B在内部， 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 【答案】点A在圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心O的距离为，且， ∴点A在圆外， 故答案为：点A在圆外． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【答案】渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区．理由见解析 【分析】本题考查了点与圆的关系，设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接，在中可得，根据得，即可得；掌握点与圆的关系是解题的关键． 【详解】渔船应沿着灯塔O过点P的射线方向航行才能尽快离开危险区．理由如下： 解：设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区． 【易错必刷三 圆心角概念及简单运算】 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【易错必刷四 圆周角的概念及简单运算】 10．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案． 【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键． 11．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 【答案】 圆周角 圆 相交 【解析】略 12．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【易错必刷五 判断点与圆的位置关系】 13．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知的半径为4，，则在（   ） A．上 B．内 C．外 D．以上都不对 【答案】B 【分析】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径判断即可． 【详解】解：， 点在内， 故选：B． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为，最大的圆半径为，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为的位置，则该运动员本次射击得分为 分． 【答案】8 【分析】先求得9分小圆和8分小圆的半径即可求解． 【详解】解：∵最小的圆半径为，最大的圆半径为， ∴9分小圆的半径为，8分小圆的半径为， ∴该运动员本次射击得分为8分． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，能求出各个圆的半径是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围． 【答案】 【分析】连接，过点作于点．过点作于点，显然，解直角三角形求出，即可判断． 【详解】解：连接，过点作于点．过点作于点， ∴， ，， ， ， 点是中点，即是中位线 ，， ， ， 又∵， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【易错必刷六 求圆弧的度数】 16．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 【答案】A 【分析】在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案． 【详解】解：如图，在⊙O取点，连接 四边形为⊙O的内接四边形， ． 故选A 【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键． 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则 °． 【答案】127.5 【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数． 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示． ∵和的度数分别是30°和120°， ∴∠AOD=30°，∠BOC=120°． ∵AB=CD， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定理是解题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 【答案】当点在劣弧上时，；当点在优弧上时，． 【分析】本题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．本题注意要分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】连接，在弧上任取一点C，连接． ∵是的切线，A、B为切点， ∴， ∵，在四边形中，可得， 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧上，则； ②若C点在优弧上，则． 【易错必刷七 利用点与圆的位置关系求半径】 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵半径为，点为内一点，， ∴． 故选：B 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 ． 【答案】4＜r＜5 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：在RtADC中，∠C=90，AC=4，CD=3， ∴． ∵BC=7，CD=3， ∴BD=BCCD=73=4． ∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内， ∴r的范围是4＜r＜5， 故答案为：4＜r＜5． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 21．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′， (1)求证：四边形OAO′B是菱形； (2)当点O′落在⊙O上时，求b的值． 【答案】(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称， ∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′． 又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB． ∴AO＝AO′＝BO＝BO′．∴四边形OAO′B是菱形． (2)解：如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是 N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M． 则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°． ∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN． ∴△OMP为等腰直角三角形． 当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1． 在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝． 【详解】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． (1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案． (2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可． 【易错必刷八 利用垂径定理求值】 22．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设的半径是r，由垂径定理可得，然后根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【易错必刷九 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 25．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 26．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的性质，全等三角形的判定与性质，由点是弧的中点，得出，，已知的长，用正弦公式可表示， 即可求解，关键是掌握正弦的定义． 【详解】解：∵点是弧的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 【易错必刷十 圆周角定理】 28．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，A，B，C三点在上，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案． 本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，以正六边形的顶点A为圆心，长为半径画圆，M是上的任意一点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，圆周角定理．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出圆心角度数． 根据多边形的内角和公式求出，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形 ∴， ∴． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，是的直径，与相切于点，与相交于点，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理，掌握以上知识的综合计算是关键． 根据切线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角即可求解． 【详解】解：∵与切于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十一 已知圆内接四边形求角度】 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 32．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为 °． 【答案】120 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理， 先根据圆内接四边形的对角互补得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于，且， ∴， ∴． 故答案为：120． 33．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，，相交于，两点，连接，经过点的直线与交于点，与交于点；经过点的直线与交于点，与交于点．试说明与的位置关系．    【答案】，理由见解析 【分析】根据圆内接四边形的性质证明即得结论． 【详解】，理由： ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内角四边形的性质和平行线的判定，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【易错必刷十二 利用点与圆的位置关系求半径】 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 35．（24-25九年级·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】1＜r＜ 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1， 则BD=， 由图可知1＜r＜， 故答案为：1＜r＜． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】首先根据圆切线的性质，得出，然后根据四边形是矩形得出，进而得出，，再设半径为r，根据勾股定理，列出方程，即可解得半径，进而得解. 【详解】设其切点为F，连，交于点E ∵是的切线 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，． 设半径为r, 在中， ∴ ∵即 ∴ 答：圆弧形门的最高点离地面的高度为． 【点睛】此题主要考查圆的切线的性质以及运用勾股定理列出方程，熟练运用，即可解题. 【易错必刷十三 求能确定的圆的个数】 37．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C． 考点：确定圆的条件． 38．（2025九年级·江苏苏州·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 39．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 【易错必刷十四 尺规作图——正多边形】 40．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 41．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 42．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】解：正方形如图所示： 【易错必刷十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 43．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，，解得，即可得． 【详解】解：由题意得，，，， ∴是直角三角形， 设OA=x，则OB=x， 在中，，根据勾股定理得， 解得， 则半径OA的长为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 44．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离． 【详解】解：由图可知，的取值范围在半径和之间．    在直角三角形中，，， 则； 则的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及直角三角形的性质，解答本题的关键是要画出图形,利用数形结合可轻松解答，注意:当等于半径时,有一个交点,故> 45．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm． 【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果； （2）由（1）的结果即可得出答案． 【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm， ∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切； （2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm， ∴2cm＜x＜12cm， x的取值范围为：2cm＜x＜12cm． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 【易错必刷十六 切线的性质定理】 46．（2025·江苏·模拟预测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义，三角形内角和定理等知识，连接，由圆周角定理得出，由角的和差关系得出，由切线的定义得出，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， 故选：C 47．（2025·江苏苏州·模拟预测）校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边、和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与和相切于点、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 ．（结果保留根号、保留） 【答案】 【分析】本题考查菱形性质，圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等，解题的关键是熟练掌握这些性质．过点作于点，利用菱形性质得出，，结合切线性质和等腰三角形的性质求出，，则可得，，，即可求出优弧的长度，同理优弧的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴优弧的长度为， 同理优弧的长度为， ∴“爱心”的周长为， 故答案为：． 48．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，切于点B，，，则的半径多少？ 【答案】3 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，由切线的性质得，设的半径为r，则．由勾股定理解求出r即可． 【详解】解：切于点B， ， 设的半径为r，则， ， ． 在中，， 即． 解得， 即的半径为3． 【易错必刷十七 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 49．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是一块草地，将阴影部分修建为花圃，已知，阴影部分是的内切圆，一只飞翔的小鸟将随机落在这块草地上，则小鸟落在花上的概率为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边长，勾股定理的逆定理可知是直角三角形，阴影部分是的内切圆，可求出阴影部分的面积，小鸟落在花上的概率即为阴影部分的面积与三角形的面积比，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵是的内切圆，如图所示， ∴四边形是正方形，是的角平分线，且，，设， ∴，，， 在，中，，， ∴， ∴， ∴，解方程得，， ∴， ∴小鸟落在花上的概率为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，概率的计算方法，掌握直角三角形中内切圆的知识，概率的计算方法是解题的关键． 50．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是 （分母不含根号）． 【答案】 【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF， 则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC， 设半径为r，CD=CE=r， ∵∠C=90°，AC=4，BC=2， ∴AB=， ∴BE=BF=2-r，AF=AD=4-r， ∴4-r+2-r=， ∴r=． ∴△ABC的内切圆的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 51．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； （2）勾股定理求得，设的半径为，根据等面积法求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）∵中， ∴, 设的半径为， 则， 解得：， ∴内切圆的面积为． 【点睛】本题考查了作三角形的内切圆，三角形内心的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键． 【易错必刷十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 52．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 53．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ． 【答案】S1+S3=S2+S4 【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4． 【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H， 由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r， 设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d， S1=r（a+b）r，S2=r （b+c） S3= r（c+d），S4=r（a+d）， ∴S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）， S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d）， ∴S1+S3=S2+S4． 故答案为：S1+S3=S2+S4． 【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键． 54．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 【易错必刷十九 已知正多边形的中心角求边数】 55．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 56．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】如图所示，连接，由圆周角定理得到，则该多边形的中心角为，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴该正多边形是正五边形， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大． 57．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 【易错必刷二十 求弧长】 58．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，OC，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键． 先根据圆周角定理求出，求出半径，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵直径， ∴半径， ∵圆周角， ∴ ∴圆心角， ∴的长是， 故选：B． 59．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、根据，得出，进而根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 60．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 【答案】应该走这条路比较近，理由见解析 【分析】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式分别计算出和的长即可求解． 【详解】解：，， ∴的长为：， ∴， ∵， ∴应该走这条路比较近． 【易错必刷二十一 求扇形面积】 61．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若扇形的面积为，的长为，则该扇形的半径长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积公式，弧长公式，熟练掌握以上公式是解题的关键，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为，依题意，，， 解得：； 故选：C． 62．（2025·江苏苏州·模拟预测）砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 63．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差． 【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积． （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差． 【详解】（1）解：弦AB， 由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分． ， 在中，对应的角的为 设，则． 由勾股定理可知： 解得（舍去） ，． ，扇形AOB的面积为 弧田实际面积为． （2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1． 按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为， ∴两者之差面积之差为． 【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握． 【易错必刷二十二 求圆锥侧面积】 64．（24-25九年级上·江苏南京·期中）为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积． 根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得圆锥形的帽子的侧面积为：， ∴所需纸板的面积是． 故选：D． 65．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：这张扇形纸板的面积是． 故答案为：． 66．（25-26九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，理解圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键． 利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为：． 答：所需油毡的面积至少是． 【易错必刷二十三 求圆锥侧面展开图的圆心角】 67．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用扇形的面积求出扇形的半径，再求出扇形的弧长，由扇形正好是一个圆锥的侧面展开图可以得出圆锥底面圆周长为扇形的弧长，由此可解． 【详解】解：设， ∵，且扇形的面积为， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∵扇形正好是一个圆锥的侧面展开图， ∴该圆锥底面圆周长为扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积计算、弧长计算，圆锥的侧面展开图等知识点，熟练掌握“圆锥侧面展开所得扇形的弧长为底面圆的周长”是解题的关键． 68．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得，的长，再根据即可建立方程求解． 【详解】解：根据弧长公式（l为弧长，n为圆心角度数，r为扇形半径）， ，， ， 解得 故答案为：． 69．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是求解圆锥的侧面积，展开图的圆心角的大小，熟记公式是解本题的关键；本题先求解展开图的圆心角，再求解扇形的面积即可． 【详解】解：设该圆锥展开后所得扇形的圆心的度数为， 由题意得，冰激凌的底面圆的周长为：． ∵母线长为12cm， ∴， 解得，即展开后所得扇形的圆心角的度数是． ∵吃掉一部分后母线长为9cm， ∴此时冰激凌外壳的侧面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $