第2章 对称图形--圆 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第2章 对称图形--圆 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 4．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 5．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 6．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 10．如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，且．则 ． 11．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 12．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 13．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 14．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 15．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 16．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 17．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 三、解答题 19．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 20．如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 21．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 22．如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 23．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 24．已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 25．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 26．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 8 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第2章 对称图形--圆 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形． 首先根据题意画出图形，连接，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：的位置如解图所示，连接， 的外心为， ，由图可知， ． 故选：D． 2．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 3．斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 故选：B． 4．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 5．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 6．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键． 连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 8．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 二、填空题 9．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出的长，根据旋转的方式，得到底面圆的半径为，母线为，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 10．如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，且．则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，根据圆的基本性质，可得，，从而得到，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 11．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 12．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 13．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 14．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 15．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，扇形的半径， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 18．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ∴， 则的长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 三、解答题 19．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 20．如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 21．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证； （2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． 22．如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了过不在同一直线上的三个点的圆的作法，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）在上取点C，经过A、B两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，并且经过B、C两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，两条垂直平分线相交于点O，则，所以以点O为圆心，线段的长为半径作圆，便可得到经过A、B、C三点的圆； （2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得，由此即得答案． 【详解】（1）如图，圆心O即为所求； （2）连结， ， ， 这个圆的半径为， ， 由勾股定理得， ， ． 23．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，如图，则， 在中，， ∴， ， ， 在中，， ． 24．已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）过点作交于点，首先根据勾股定理解得的长度，再利用面积法解得的长度，进而可得的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得的长即可； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后根据三角形内角和定理解得的度数，即可获得答案； （3）根据“垂线段最短”即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如下图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：∵点是线段上的动点，，，， ∴当点与点重合时，取最小值， 此时， 当点与点重合时，取最大值， 此时， ∴线段的长度取值范围是． 故答案为：． 25．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则可证明，进而证明． （2）先证明，由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，是等边三角形，则四边形是菱形，作于点，则，，求出，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接、、， ，是的两条切线，切点分别为，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接、，则， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 作于点，则，， ， ， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 26．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$