2.2 命题与证明-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（湘教版）

第2章 三角形 2.2 命题与证明 第1课时 定义与命题 NO.1/课前自主预习 巧梳理、精批括、落实点滴 6.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平 ( 行”的条件是 ) 知识点1 定义 ~ A.平行 1. 下列语句中,属干定义的是 A.直线AB和CD垂直吗 B.两条直线 B.过线段AB的中点C画AB的垂线 C.同一条直线 C.分母中含有未知数的方程叫作分式方程 D.两条直线平行于同一条直线 D.同旁内角互补,两直线平行 7.命题“如果a{}一^{,那么a-b或a十b-0”的$ 2.下列语句属于定义的有 ) ( 结论是 ~ ①含有未知数的等式称为方程;②等式(a十 A.a-b^*或a-b b)}-a{}十+2ab十^{}称为完全平方公式;③如 B.a-b^{} 果a,b为有理数,那么(a-b){}一a^{②}-2ab+$ ;④三角形的内角和等于180*, C.a-b或a+b-0 A.1个 B.2个 D.a*-b^*或a十b-0 C.3个 D.4个 知识点4 逆命题 知识点2 命题 8.命题“如果两个角相等,那么它们都是直角” ,_ 3. 下列说法错误的是 ~ 的逆命题是 C A.判断一件事情的语句叫作命题 A.如果两个角不相等,那么它们都不是 B.判断一件事为错误的语句也是命题 直角 C.命题必须是一个完整的语句 D.一个完整的语句就是命题 B.如果两个角都不是直角,那么这两个角 4. 下列语句:①钝角大于90{*};②两点之间,线 不相等 段最短;③希望明天下雨;④作AD1BC; C.如果两个角都是直角,那么这两个角 同旁内角不互补,两直线不平行,其中是 相等 命题的是 ( ) D.相等的两个角是直角 A.①②③ B.①② 9.逆命题“两直线平行,同旁内角互补”的原命 C.①②④ D.①②④ 题是 _ ) 知识点3 命题的结构 A.两直线平行,同位角相等 5.“两条直线相交只有一个交点”的条件是 _ ( B.两直线平行,内错角相等 B.相交 A.两条直线 C.同旁内角互补,两直线平行 C.只有一个交点 D.两条直线相交 D.同位角相等,两直线平行 4 数学八年级上册 易错点 混淆命题的条件与结论 NO3/课后提升训练 练技巧,找考向、冲刺满分 10.找出命题“两条直线被第三条直线所截,同 拔尖角度1 利用命题的定义辨析命题 位角相等,两条直线平行”的条件和结论 13.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题? (1)若a-b,则-b--a. (2)在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰 三角形吗? (3)直线外一点到该直线的垂线段最短 (4)解方程-3x+7-2(x-1). (5)1+2-3 NO2/课堂巩:固训练 练基础,练方法,能力提升 考查角度1 利用定义的意义给事例下定义 (定义法) 11.观察下列给出的方程,找出它们的共同特 征,试给出名称,并作出定义。 r+-3x+4=0,+x-1-0,-2} +3=x,+2-5y-1-0. 拔尖角度2 利用命题的结构在给定条件中 编写命题 14.如图,给出四个条件:(1)AE一AD:(2)AB -AC;(3)OB=OC;(4) B=C.请你写 考查角度2 利用命题的结构写出命题的条 出一个以其中两个条件作为已知条件,另 件和结论 外两个条件中的一个作为结论的命题,并 12.指出下列命题的条件和结论,并改写成“如 判断其是否正确. 果......那么......”的形式. (1)三角形的三条高交于一点; (2)垂直于同一直线的两直线平行 50 第2章 三角形 第2课时 真命题与假命题、基本事实与定理 知识点2 NO.1/课前自主预习 巧梳理、精概括、落实点油 证明与举反例 5.下列说法错误的是 知识点1 真命题与假命题 A.判断命题的真假需要证明 1.已知三条不同的直线a,,c在同一平面内 B.举反例是一种证明的方法 下列四个命题: C.证明假命题举一个反例即可 ①如果a/b,a lc,那么b lc;②如果b/a D.证明真命题举一个成立的例子即可 c/a,那么//c;③如果 la,c la,那么 Ic;④如果b la,c la,那么b/c 6.对于命题“若a^}>b^{,则a>6”,下面四组关 其中真命题是 .(填写所有真命题 于a,6的值中,能说明这个命题是假命题的 是 ( 的序号) ) A.a-3,6-2 2.下列命题是真命题的是 _~ B.--3,b-2 C.a-3,b--1 A.同旁内角相等,两直线平行 D.a--1,b-3 B.相反数等于它本身的数是0和1 7.下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角 ( 的和是锐角”是假命题的反例是 C.平移不改变图形的大小和形状 ) D.三角形的外角大于任何一个内角 A.A-30*, B-40。 3.下列命题中,是假命题的是 ( BA-30*,B-110 A.三角形的三条角平分线都在三角形的 C. /A-30*,B-70* 内部 D. A-30{, B-90” B.三角形的三条高都在三角形的内部 知识点3 基本事实 C.三角形的三条中线都在三角形的内部 8.下列真命题能作为基本事实的是 ) D.三角形的三条高至少有一条在三角形的 A.对顶角相等 内部 B.三角形的内角和是180 4.如图,① 1=2:② C= D;③ A= C.在同一平面内,过一点有且只有一条直 之F.从以上三个条件中选出两个作为已知 线与已知直线垂直 条件,另一个作为结论所组成的命题中,真 D.内错角相等,两直线平行 ( 命题的个数为 ) 9.“经过两点有且只有一条直线”是 # A.基本事实 B.假命题 C.定义 D.以上都不是 10.下列命题不是基本事实的是 _ A.两点之间,线段最短 A.0 B.1 B.在同一平面内,过一点有且只有一条直 C.2 D.3 线垂直于已知直线 数学八年级上册 C.两条平行线被第三条直线所截,内错角 NO2/课堂巩固训练 练基础、赫方法、能力提升 相等 考查角度1利用真命题、假命题的定义识别 D.过直线外一点有且只有一条直线与这 真假命题 条直线平行 16.下列命题是真命题还是假命题,若是假命 知识点4 定理 题,请举一个反例加以说明 11.下列说法中正确的是 _~ (1)如果n是分数,那么n是有理数; A.所有定理都有逆命题 (2)三角形的三个内角中,至少有一个角大 B.所有定理的逆命题都是真命题 于60”; C. 所有定理都有逆定理 (3)若x-y,则x?-y; D.定理也是基本事实 (4)若AC=BC,则点C为线段AB的 12.命题“直角三角形的两个锐角互余”是 中点. ( _△ A.角的定义 B.假命题 C.基本事实 D.定理 13.下列说法错误的是 A.命题不一定是定理,定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C. 真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实 的,这样得到的真命题就是定理 14.下列命题中,不是定理的是 ) A.直角三角形两锐角互余 B.两直线平行,同旁内角互补 C.三角形的内角和等于180 D.相等的角是对顶角 易错点 判断命题真假时考虑不全面导致 错误 15.已知下列命题: ①若a>b,则c-a<c-b; ②若a>0,则a-a; ③两直线平行,内错角相等; ④对顶角相等 其中原命题与逆命题均为真命题的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 52 第2章 三角形 考查角度2 利用命题中相关概念的定义对 拔尖角度2 利用举反例说明假命题 事例进行辨识 19.阅读下面的材料; 17. 阅读下列语句,完成下面的问题 判断一个命题是假命题,只要举出一个例 ①同类项的数字系数必须相同;②两直线 子(反例),它符合命题的题设,但不满足结 平行,内错角相等;③若la=bl,则a=b; 论就可以了。 ④抗震救灾,众志成城;今晚你去看电 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假 影吗? 命题,可以举出如下反例: (1)其中属于命题的是 ,不属于命 如图,0C是 AOB的乎分线,1=2; 题的是 ;(填序号) 但它们不是对顶角. (2)其中属于真命题的是 ;(填序号) (3)对于每个假命题,你是怎样判断的? 请你举出一个反例说明命题“互补的角是 同旁内角”是假命题,(要求:画出相应的图 形,并用文字语言或符号语言表述所举反 例) NO3/课后提升训练 练技巧,拨考向、冲刺满分 拔尖角度1 利用互逆定理的定义判断定理 是否有逆定理 18.下列定理有逆定理吗?如果有,把它写出 来;如果没有,举一个反例说明。 (1)对项角相等; (2)如果a,b互为相反数,那么a十b-0; (3)两条直线被第三条直线所截,如果这两 条直线互相平行,那么同旁内角互补 3 数学八年级上册 第3课时 命题的证明 NO.1/课前自主预习 #7#4 巧梳理、精概括、落实点满 知识点1 证明的定义 1.要判定一个命题是真命题,往往要从命题的 证明:.AD/BC( 条件出发,根据已知的 乙1一 (包括推论),一步一步推得结论成 ( 又 BAD- BCD 立,这样的推理过程叫作 ). '.BAD-1=BCD-2( 2.能作为证明依据的是 _~ f ). A.已知条件 B.定义及基本事实 即3-4, ..AB/ C.定理及推论 D.以上三项都对 ( 。 , 3.下列说法错误的是 ) 知识点3 反证法 A.命题是判断一件事情的句子 7.用反证法证明命题:如果AB1CD,AB1 B.基本事实的正确性必须得到证明 EF,那么CD/EF,证明的第一个步骤是 C.证明假命题举一个反例即可 ( ) D.推理的过程叫作证明 A.假设CD/EF 知识点2 命题的证明 B.假设AB/EF 4.如图,下列条件能证明AD/BC的是 ~ _ C.假设CD和EF不平行 D.假设AB和EF不平行 8.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成 员希伯索斯发现了无理数/2,导致了第一次 A.乙A-C B. B- D 数学危机,/2是无理数的证明如下; C.B-C D. /A+ B-180* 假设②是有理数,那么它可以表示成(p 5.如图,若AO1CO,BODO,则AOB ( COD,推理的理由是 ) (\②)}-2,所以q^{②}一2p^{},于是q^}是偶数,进 而a是偶数,从而可设q一2m,所以(2m)②} A.同角的补角相等 2 ^{},p^{}一2m{},于是可得,也是偶数,这与 B.同角的余角相等 “D与q是互质的两个正整数”矛盾,从而可 C.AO|CO 知“2是有理数”的假设不成立,所以/②是无 D. BO IDO 6.完成下面的证明过程,并在括号内填上 理数,这种证明“/②是无理数”的方法是 理由, ~ A.综合法 已知:如图所示,AD//BC. BAD= BCD B.反证法 求证:AB/CD. C.举反例法 D.数学归纳法 54 第2章 三角形 易错点 考查角度2 证明时易犯偷换概念的错误 利用证明的意义填充推理的 9.阅读下面的证明过程,并完成填空 依据 如图所示,AB//CD.GM.HN分别为 FGA. 11.完成下面的证明过程 EHC的平分线,求证:GM//HN 已知:如图所示,1和 D互余,C和 D互余,求证:AB//CD 证明:1和D互余( ). 证明::AB/CD. '1+D-90*} ). . EGA-乙EHC. ① . C和 D互余(已知): 又:GM,HN分别为 EGA,EHC的平 ' C十 D=90 ). 分线, .1-C( ). ..AB/CD( ). 考查角度3 利用同角的余角关系证明两角 ② 相等 '. MGA- NHC. ③ 12.如图,在△ABC中.ACB-90{*}CD|AB,垂 '.GM//HN(同位角相等,两直线平行).④ 足为D,求证:1-A.2-B 错在第 步,应为 NO2/课堂巩:固训练 练基础。练方法、能力提升 考查角度1 利用计算推理作出判断 10.如图,每个小正方形的边长为1,网格中有 两个阴影三角形,你感觉它们哪一个的面 积大?实际算一算,看看结果如何 55 数学八年级上册 考查角度4 利用平行线的同位角证明两角 NO3/课后提升训练 练技巧,拨考向、冲利满分 相等 拔尖角度1 在选项中选编命题:一个条件一 13.如图,直线CD,EF被直线OA,OB所截. 个结论 1+2=180^{},求证:乙3- 4 14.如图,已知:① D-B;② 1=2; $③ 3=4;④ B+ 2+ 4=180*;$$$ B+ 1+3-180{,从上述各项中 选出一项作为题设来说明 E一 F 拔尖角度2 反证法的应用 15.已知在同一平面内有三条直线a,b,c,且 a/b,a与c相交,求证:6与c也相交 5615.解:(1)因为 ACD=180*}一ACB 10.解:条件:两条直线被第三条直线所截, -100”, 同位角相等;结论:两条直线平行 所以 PCD=PBC+ P=50* 11.解:共同特征:都是整式方程,均含有一 个未知数,且未知数的最高次数均为3; 名称:一元三次方程; 所以 P-30*. 定义:含有一个未知数,且未知数的最 高次数为3的整式方程是一元三次 方程. 2 PCD= ABC十 A. 12.解:(1)这个命题的条件是“三条线段分 所以2P-A-60, 别是同一三角形三条边上的高”,结论 所以 P-30{. 是“这三条高交于一点”,可改写成“如 (3) A-2P,理由类同(2). 果三条线段分别是同一三角形三条边 16.解:(1)C 上的高,那么这三条高交于一点” (2) 1+2-180*+ A (2)这个命题的条件是“垂直于同一条 理由:因为 1,2为△AEF的外角, 直线的两条直线”,结论是“这两条直线 所以 1= A十 AEF. 平行”.可改写成“如果两条直线都和第 2-A十AFE. 三条直线垂直,那么这两条直线平行”, 所以1+2=A+A+AEF 13.解:根据命题的定义可知,(1)(3)(5)都 十AFE. 是对某一件事情作出判断的语句,所以 又因为A十AEF+AFE=180* 是命题,(2)是问句,不是陈述句,(4)中 所以1+2-A+180* 没有对事情作出判断,所以(2)(4)不是 (3) 1+2-2A. 命题. 理由:因为△EFP是由△EFA折叠得 14.解:此题为开放题,答案不唯一. 到的, 例如:如果(3)OB=OC,(4)B= C 所 以 AFE = PFE,AEF 那么(2)AB-AC.连接BC. 一PEF. 因为OB=OC,所以 OBC= OCB 所以1=180{-2^* AFE,2=180* 又因为 ABE=ACD 2AEF. 所以 ABC- ACB. 所以1+2=360*-2(AFE+ 所以AB-AC. AEF). 即此命题正确. 又因为 AFE十AEF-180*-A, 第2课时 真命题与假命题、基本事实与定理 所以 1+2=360*-2(180*-A)= 1.①②④ 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 2乙A. 7.C 8. C 9.A 10.C 11.A 12.D 2.2 13.C 14.D 15.C 命题与证明 16.解:(1)是真命题,(2)是假命题,如三个 第1课时 定义与命题 角可以都为60{}(3)是真命题,(4)是假 1. C 2. B 3. D 4. B 5.D 6. D 7. C 命题,如当点C不在线段AB上,且AC 8.C 9.C 一BC时,点C不是线段AB的中点。 41. 17.解:(1)①②③;④ .1十B-90。 (2)② . ACB-90”, (3)为说明命题是假命题,可采用举反 .1+2-90*。 例的方法, ' /2= /B.同理可证:1= A 如:①中a和一a是同类项,但数字系数 13.证明:如图,2与5是对顶角, 不同; ..2一5(对项角相等). ③中7=-7,但7-7. 18.解:(1)没有逆定理,反例:三角形的一 个内角被角平分线分成的两个角相等, 但不是对顶角,(反例不唯一) (2)有逆定理,它的逆定理:如果a十 又:1十2=180}(已知). 0.那么a,6互为相反数。 ·1十 5=180{}(等量代换). (3)有逆定理,它的逆定理:两条直线被 ..CD/EF(同旁内角互补,两直线平行). 第三条直线所截,如果同旁内角互补 ..3一4(两直线平行,同位角相 那么这两条直线平行, 等). 19.解:反例:如图,1与2是邻补角, 14.解:(答案不唯一)选②. 1与2互补,但是它们不是同旁内 .1-2. 角,(所举的例不唯一) '.DE/BF(内错角相等,两直线平行) ..E三 F(两直线平行,内错角相 等). 第3课时 命题的证明 15.证明:假设//c·.//...a/c 1.定义;基本事实;定理;证明 这与“a与c相交”矛盾,故假设不成立 2.D 3.B 4.D 5.B 因此与c相交 6.已知;2;两直线平行,内错角相等;已 知;等式的性质;CD;内错角相等,两直线 2.3 等腰三角形 平行 7.C 8.B 第1课时 等腰三角形的性质 1.C 2.D 3.A 4.63{或27* 5.C 6.D 9.③: MGE-NHG 10.解:感觉上面的三角形的面积大,但实 7. C 8.D 9. D 10.C 11.A 12.D 际计算后发现一样大,因为上面的三角 13.解:.'ED AB 形的面积为2×3-2-3,下面的三角形 ' ADE- BDE-90{*, 的面积为1×6一2一3,所以它们的面积 又.AD-BD 一样大. '.ADE沿DE翻折可以和/BDE重 11.已知;互为余角的定义;互为余角的定 合。._A-ABE. 义;同角的余角相等;内错角相等,两直 “A-20。, 线平行 .ABE-20{*}.又:AB-AC 12.证明::CD AB, .ABC-ACB-80*. ' ADC=BDC-90* :EBC-ABC-ABE-60*。 42