精品解析：河南省郑州市郑中国际学校2024-2025学年上期九年级月考数学试卷

郑中国际学校2024-2025学年上学期九年级月学情评价 数学 满分：120分 时间：100分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 平行四边形没有而菱形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的菱形的性质．根据平行四边形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有； 对角线相等，平行四边形和菱形都不具有； 对角线互相平分，平行四边形和菱形都具有； 对角相等，平行四边形和菱形都具有； ∴A正确． 故选：A． 2. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：C． 3. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ） A. －3 B. 2 C. 3 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得： ＝3， 将＝1代入，得＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 5. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长（1+周平均增长率）2第三周人均运动时长列出方程即可． 【详解】解：∵第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，周平均增长率为x， ∴． 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（　　） A. 10 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到． 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，，， （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ，， 由得， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长． 8. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　) A. 4≥x＞2.4 B. 4≥x≥2.4 C. 4＞x＞2.4 D. 4＞x≥2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案． 【详解】 解：连接AP． ∵AB=6，AC=8，BC=10， ∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP=EF， ∵∠BAC=90°，M为EF中点， ∴AM=EF=AP， 当AP⊥BC时，AP值最小， 此时S△BAC=×6×8=×10×AP， AP=4.8， 即AP的范围是AP≥4.8， ∴2AM≥4.8， ∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）． ∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4， ∵P和B、C不重合， ∴x＜4， 综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4． 故选D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=AP． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 10. 如图（1），正方形的对角线相交于点O，点P为的中点，点M为边上的一个动点，连接，过点O作的垂线交于点N，点M从点B出发匀速运动到点C，设，，y随x变化的图象如图（2）所示，图中m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】当点与点重合时，可得；当点与点重合时，可得 ．在中，求解即可． 【详解】解：当点与点重合时，如图： ∵四边形是正方形 ∴ 此时，点与点重合 当点与点重合时，如图： ∵四边形是正方形 ∴ 此时，点与点重合 结合图2可知： 设 ∵点为的中点 在中， 解得：（舍去） ∴，即 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了运用频率估算概率的计算方法，解分式方程，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意设有白球个，根据频率的计算方法列分式方程求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当，原分式方程有意义， ∴口袋中白球可能有个， 故答案为： ． 13. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 【详解】解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 15. 如图，在矩形纸片中，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是___． 【答案】或1##或1 【解析】 【分析】存在两种情况：当，连接，勾股定理求得的长，可判断P，E，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，可得到结论． 【详解】解：①当时，如图1，连接， ∵点P是的中点，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P，E，D三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在和中， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵点P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 综上所述：的长为：或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 用适合的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可； （5）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，； 【小问3详解】 解得，； 【小问4详解】 或 解得，； 【小问5详解】 或 解得，． 17. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）； （2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：设与交于点， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可； （2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． 18. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1），， 补全图形如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数； （3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：， 抽查的总人数为：； 喜欢乒乓球的人数为：(人)． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ ∴该校约有名学生喜爱打篮球． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女2，女1 女3，女1 男，女1 女2 女1，女2 女3，女2 男，女2 女3 女1，女3 女2，女3 男，女3 男 女1，男 女2，男 女3，男 ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女学生的概率是． 19. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）证 ，得，再由，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当时，四边形是矩形； ②． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即当时，四边形是菱形． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 21. 如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）当t为何值时，线段的长为？ 【答案】（1）当t为5时，四边形的面积为 （2）当t为或时．线段的长为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． 【小问2详解】 如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）30元 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可； （2）根据题意列函数关系式即可； （3）将600代入w计算即可． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知∶，解得， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 ， 即与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 （舍） 每件商品的售价应定为30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出解析式是解题的关键． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑中国际学校2024-2025学年上学期九年级月学情评价 数学 满分：120分 时间：100分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 平行四边形没有而菱形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 2. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 3. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ） A. －3 B. 2 C. 3 D. －4 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（　　） A. 10 B. 4 C. D. 6 8. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　) A. 4≥x＞2.4 B. 4≥x≥2.4 C. 4＞x＞2.4 D. 4＞x≥2.4 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 10. 如图（1），正方形的对角线相交于点O，点P为的中点，点M为边上的一个动点，连接，过点O作的垂线交于点N，点M从点B出发匀速运动到点C，设，，y随x变化的图象如图（2）所示，图中m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则______． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 13. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 15. 如图，在矩形纸片中，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是___． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 用适合的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 17. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）； （2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形 18. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 19. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 21. 如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）当t为何值时，线段的长为？ 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $