5.3 什么是几何证明-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（青岛版）

数学八年级上册 5.3 什么是几何证明 N0,1课前自主预习防板理，精棍格、陈来点满 2.如图，工人师傅用角尺画出 工件边缘AB的垂线a和 1. 叫做基本事实.基本事实的作用 是证实所有其他几何命题的 b,得到a∥b.理由是( 2.下列几何命题作为基本事实： A.连接直线外一点与直线 一点：经过一点有且只有一条直线与这条直 上各点的所有线段中，垂线段最短 线 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两 经过直线外一点有且只有一条直线与这条 条直线互相平行 直线 C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有 两点：两点 :两点之间 条直线垂直于已知直线 平行线的判定： D.经过直线外一点，有且只有一条直线与 三角形全等的判定： 这条直线平行 简称“SAS”; 简称“ASA”; 3.如图所示，直线AB,CD相交 简称“SSS”. 于点O,∠AOE=90°，∠DOF 等式的基本性质用符号表示为： =90°，OB平分∠DOG,有下 列结论： 等量代换：如果a=b,b=c那么 ①当∠AOF=60°时，∠DOE 如果a>b,b=c那么 =60: 3.推理的过程叫做 ,推理的依据是 ②OD为∠EOG的平分线： 或 ③与∠BOD相等的角有三个； 儿何证明的一般步骤： 第一步：根据题意，画出图形 ①∠COG=∠AOB-2∠EOF. 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再 其中正确的结论有 根据命题的结论的需要在图上标出必要的字 A.4个 B.3个 母或符号，以便于叙述或推理过程的表达 C.2个 D.1个 第二步：结合图形，根据条件、结论，写出已知 4.在每一步推理后面的括号内填上理由 求证 把命题的条件转化为几何符号的语言写在 D 8- 已知中，命题的结论转化为几何符号的语言 E C 写在求证中。 ① 第三步：找出由已知推出求证的途径，写出 证明：(1)如图①，因为AB∥CD,EF∥CD “证明” 所以AB∥EF( NO2课堂现固训练华是路.#方法、能力提开 (2)如图②，因为AB∥CD,过点F作 EF∥AB( 知识点几何证明 1.下列说法错误的是 所以EF∥CD( A.命题是判断一件事情的句子 5.某品牌遮阳伞的示意图如图(1)所示，图(2) B.基本事实的正确性必须得到证明 是其剖面图，若AG平分∠BAC与∠EDF, C.证明假命题举一个反例即可 AB∥ED,求证：AC∥DF D.推理的过程叫做证明 请将下面的证明过程和依据补充完整， 80 第5章几何证明初步 证明：，AB∥DE(已知)， 4.根据下图填空 ∴.∠ =∠ 已知：如图，∠BDC= ,AG平分∠BAC与∠EDF(已知)， ∠DCE,∠ADB=∠E. .∠DAC=∠DAB,∠GDF=∠GDE( 求证：∠A=∠CBE. ), 证明：因为∠BDC ∴.∠DAC=∠GDF( ∠DCE(已知)， ∴.AC∥DF( 所以 所以∠E=∠ 又因为∠E=∠ADB(已知)， 所以∠ADB=∠ ( 所以AD∥BE( 图(1) 图(2) 所以∠A=∠CBE( N03☑课后提升训练练钱巧，教者向，冲转满分 5.已知点A在射线CE上，∠C=∠D. (1)如图(1)，若AD∥BC,求证：AC∥BD. 1.下列推理正确的是 ①如图(1)，，直线AB,CD相交于点E, (2)如图(2)，若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC 请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你 .∠1=∠2. ②如图(2)，，∠ABD=∠EBC=90°， 的结论，并加以证明. ∴.∠1=∠2.③如图(3)，OB平分 (3)如图(3)，在(2)的条件下，过点D作 ∠AOC,∴.∠1=∠2. DF∥BC交射线CE于点F,当∠DFE= ①如图(4)，，∠1=28.3°，∠2=2830 8∠DAE时，求∠BAD的度数 .∠1=∠2. E、FD B 图2 图3 图1 图2 图3 图4 A.①③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 2.下列平行线的判定方法中属于基本事实的 是 ( A.平行于同一条直线的两条直线平行 6.如图，在△ABC中，D为BC边 B.同位角相等，两直线平行 上的一点，连接AD,点E在AD C.内错角相等，两直线平行 上，∠1=∠2，∠3=∠4. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫作 求证：AD垂直平分BC. 平行线 3.下面四个定理中，可以由基本事实“两点之 间，线段最短”推导出的是 () A.同位角相等，两直线平行 B.角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 C.线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两个端点的距离相等 D.三角形任意两边的和大于第三边 81课后提升训练 9.解 不正确,理由:当n=7时,n{}一6n=7>0$$ 1.D 所以小明的猜想不正确。 2.解析:A.平移三角板,实际不容易操作,比较麻 10.解:①·.5+2-7, 烦,并且不很准确,故本选项错误; 心.左边的三位数是275,右边的三位数是572。 B.没有理论依据,故本选项错误; ·52×275-572×25 C.没有具体的操作方法,故本选项错误; 故答案为:275,572; D.根据同位角相等,两直线平行得出,方法正 ②右边的三位数是396, 确,并且操作简便,故本选项正确, 心.左边的两位数是63,右边的两位数是,36 答案:D 63X396-693×36. 3.解析:①锐角都相等,错误 故答案为:63,36. ②大于90{}且小于平角的角是钝角,正确; 11.解:第1个图形有棋子6题,第2个图形有棋 ③互为相反数的两数和为0,正确; 子9颗,第3个图形有棋子12颗,第4个图形 ④若/ ,,则l1,错误。 答案:B 有棋子15颗,第5个图形有棋子18题,...,第 n个图形有棋子3(n十1)颗. 4.解析:因为P(P二5)是一个质数,则P是奇数, 设-2a+1(a-1,2,3..) (1)第5个图形有18颗黑色棋子; *. -1-(2a+1)②-1-4a+4a=4a(a+1) (2)第n个图形有棋子3(n十1)颗. 因为a,a十1一定有一个可以被2整除 设第n个图形有2016颗黑色棋子, 所以){一1是8的倍数, 得3(n+1)-2016. ·P(P二5)是一个质数, 解得n-671. .P不是3的倍数, 所以第671个图形有2016颗黑色棋子. P-3+1或3+2(=1,2,3..). 12.解:因为互不相邻的两点B,D,B处至少调整5 .-1-(+1)(-1). 件次,D处至少调整11件次,两处之和至少为 当一3+1时,力-1是3的倍数, 16件次,所以四个维修点的调动件次至少为 同样一3b十2时,,十1是3的倍数 16.又A,B的配件减少,C,D的配件增加,所 '-1也是3的倍数, 以从A调11件到D,从B调1件到A,调4件 .}-1是24的倍数 到C,共调动了1+1+4三16(件次).综上,最 ·P{}-1除以24没有余数. 少调动16件次,(调动方案不唯一) 答案:C 13.解;因为用饭的三十分钟可同时完成擦窗。 5.127 洗菜、炒菜, 6.解:因为x^*}+4x+5-r^*}+4x+4+1-(x+2)* 所以王慧同学完成以上五项家务活,至少需要 十1,且当x为任意实数时,(x十2){}0,所以(x 3十30一33(分钟). +2)*+1>0,即x+4x+5>0. 故答案为:33 7.解:观察可能得出的结论是: 5.3 (1)中的实线是弯曲的; 什么是几何证明 (2)a更长一些; (3)AB与CD不平行 课前自主预习 用科学的方法验证可发现 1.通过长期实践总结出来被大家所公认的真命题 (1)中的实线是直的; 起始依据 2.垂直 平行 确定一条直线 线段最短 (2)a与b一样长; 两条 (3)AB与CD平行. 直线被第三条直线所截,如果同位角相等两直 8.解:如果a-3,b-5,那么a十b-8不一定 线平行 两边及其夹角对应相等的两个三角形 成立, 全等 两角及其夹边对应相等的两个三角形全 例如 -3 -3,15-5,但是-3+5-2 等 三边对应相等的两个三角形全等 若a 54 $b,则a+c-b士c 若a=b,则ac=bc,a/d-b $ 又. BAC= BAD,.ABC= ABD$$ (d≠o)a-ca>c 3.证明 已知条件 定义 公理 已经证实的真 命题 180*-45*-36*-99*。 课堂巩固训练 6.证明:1-2,3-4(已知), 1.B 2.B 3.B '1十 3-2十4(等式的性质), (2)过 4.(1)平行于同一条直线的两条直线平行 即ABC= ACB. 直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平 ·AB一AC(等角对等边) 行 平行于同一条直线的两条直线平行 又:1-2(已知). 5.解 证明:·AB/DE(已知),'DAB= ..BE一CE(等角对等边). GDE(两直线平行,同位角相等). 在△ABE和△ACE中, *AG乎分 BAC与 EDF(已知) [AB一AC(已证), . DAC= DAB, GDF= GDE(角平分$ 3-4(已知). 线定义). BE一CE(已证). . DAC=GDF(等量代换). ..△ABE△ACE(SAS). ..AC/DF(同位角相等,两直线平行) ..BAD一CAD(全等三角形的性质). 故答案为DAB:GDE;两直线平行,同位角相 '.AD垂直平分BC(等腰三角形“三线合一”的 等;角平分线定义;等量代换;同位角相等,两直 性质) 线平行. 5.4 平行线的性质定理和判定定理 课后提升训练 1.B 2.B 3.D 第1课时 平行线的性质 4.EC;DB;内错角相等,两直线平行;DBE;两直 课前自主预习 线平行,内错角相等;DBE;等量代换;内错角相 1.两直线平行 2.两直线平行 3.两直线平行 等,两直线平行:两直线平行,同位角相等 课堂巩固训练 5.(1)证明 .:AD/BC..DAE-C. 1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.C 7. A 8. B 又." CD..DAE-D...AC//BD 9.B 10.140· 解 (2)EAD+2C-90*。 E 2 a+B-235① 11.解析 证明如下:如图,设CE与BD (1) -乙a-70② 的交点为G. ①-②,得3a-165”,解得 a-55{, .CGB是△ADG的外角, . CGB- D+DAE. 把 a-55}代入②,解得 B-125^{} . BD1BC.. CBD-90*. (2)由(1)知,a=55*,③-125^{*, ..在△BCG中,CGB十C=90{,.D+ 所以a十③-180{}(等式的性质), DAE+C-90*. 所以AB/EF(同旁内角互补,两直线平行) 又.D-C..2C+DAE-90* 又因为CD/EF(已知), (3)设 DAE-a,则 DFE-8a. 所以AB/CD(平行于同一条直线的两条直线 ·' DFE+AFD-180*. 乎行),所以 BAC十 C一180^{}(两直线平行 ..AFD-180*-8a. 同旁内角互补) ·.DF/BC..C= AFD-180*-8 因为ACAE(已知), 又.2C+ DAE-90* 所以CAE一90{(垂直的定义). ·2(180*-8a)十a-90*,..=18*. 所以 BAC- CAE十 a-145* .C- ADB-180*-8a-36*。 所以 C-180*-BAC-35*。 2