5.3 什么是几何证明-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

.... ................................... ># 可撕可裁 5.3 什么是几何证明 【边学边练】 知识点一 基本事实与定理 () 1.下列语句中属于定理的是 A.在直线AB上任取一点E B.如果两个角相等,那么这两个角是对项角 C.乙A>/B D.到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 ( 2.下列命题不是基本事实的是 ) A.两点确定一条直线 B.三边分别相等的两个三角形全等 C.两直线平行,内错角相等 D.同位角相等,两直线平行 知识点二 证明 3.在每步后的括号内填写该步推理的依据。 如图,已知直线AB与CD交于点0,0V平分乙D0B。若乙B0C=110,求乙A0V的 度数。 解:::乙B0C=110o( ),乙BOC+BOD=180o( ). )。 : B0D= C0D-B0C =180*-110*=70( ).乙BON= DON-35( .ON为/BOD的平分线 )。 :·乙A0D=/B0C=110%( ). 'A0M=乙A0D+DO/M=110*+35*=145* )。 4.求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。 【随堂小测】 ( - 1.“经过两点有且只有一条直线”是 A.基本事实 B.假命题 C.定义 D.以上都不是 9g 2.下面四个定理中,可以由基本事实“两点之间,线段最短”推导出的是 () A.同位角相等,两直线平行 B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 D.三角形任意两边的和大于第三边 3.下列说法错误的是 A.命题不一定是定理,定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的,那么这样得到的真命题就是定理 4.(易错题)求证:两条直线相交所成的相邻两个角的平分线互相垂直。 5.如图,已知点A.C分别在 GBE的边BG,BE上,且AB=AC,AD/BE, GBE的平 分线与AD交于点D.连接CD。求证 (1)/AB=AD; (2)CD平分/ACE ## 6.如图,点C在线段AB上,M.V分别是线段AC,BC的中点。 (1)若AB=a.C为线段AB上任意一点,你能用含a的代数式表示MN的长度吗 若能,请写出结果与证明过程:若不能,请说明理由 (2)若将(2)中“C为线段AB上任意一点”改为“C为直线AB上任意一点”,其余条 件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请画图并写出证明过程 A# 1006.解：由题意可得，右一的立方体的下底面为白 分线的定义)。 色，右二的立方体的下底面为绿色，右三的为黄 ∴.∠AOE+∠AOF= 色，左一的为紫色，那么长方体的下底面共有花 2∠A0C+ 4+6+2+5=17(朵)。故长方体的下底面共有 (LA0C+∠A0D)=7×180°=90（等式的 17朵花。 基本性质)。 7.解：两者的空隙一样大。理由如下： .,OE⊥OF(垂直的定义)。 地球的半径是R,设铁丝均匀地离开地面的高 度是H,由圆的周长公式有2π(R+H)=2R+ 1,2mR+2h=2mR+1,2mh=1,H=元设足 球的半径为r,铁丝均匀地离开球面的高度是h, 由圆的周长公式有2π(r+h)=2r+1,2πr+ 5.证明：(1)，AD∥BE(已知). ∴，∠ADB=∠DBC(两直线平行，内错角相等)。 2mh=2mr+l,2mh=l,h=2元。所以I=h。 :BD平分∠ABC(已知)， 所以，由上述计算可知，两者之间的空隙一 ∴.∠ABD=∠DBC(角平分线的定义)。 样大。 ∴.∠ABD=∠ADB(等量代换)。 5.3什么是几何证明 .AB=AD(等角对等边)。 【边学边练】 (2):AD∥BE(已知)， 1.D2.C ∴.∠ADC=∠DCE(两直线平行，内错角相等)。 3.已知平角的定义等式的基本性质已知 由(1)知AB=AD 角平分线的定义对顶角相等等量代换 又：AB=AC(已知)，∴.AC=AD(等量代换)。 4.解：已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC ÷.∠ACD=∠ADC(等边对等角)。 中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F。 .∠ACD=∠DCE(等量代换)。 求证：DE=DF。 ∴，CD平分∠ACE(角平分线的定义)。 证明：如图，连接AD AB=AC,BD=CD(已知)， 6解：1)N=2。证明如下： ∴.∠1=∠2（等腰三角形的三 :点M是AC的中点MC=2AC。 线合一)。 又：DE⊥AB,DF⊥AC(已知)， :点N为BC的中点，CN=,BC。 2 ∴.DE=DF(角平分线上的点到 角两边的距离相等)。 MN-MG+CN-AG+-AB- 0。 【随堂小测】 (2)结论仍然成立。证明如下：当点C在线段 1.A2.D3.C AB延长线上时，如图1。 4.解：已知：如图，直线AB,CD相交于点O,OE平 M方N 分∠AOC,OF平分∠AOD 图1 求证：OE⊥OF。 证明：：直线AB,CD相交于点O(已知)， 点N为BC的中点CN=BN=BC。 .∠A0C+∠A0D=180°（平角的定义）。 ,OE平分∠AOC,OF平分∠AOD(已知)， 点M是AC的中点MC=2AC LA0E=7∠A0C,∠A0F=∠A0D(角平 MN-MG-NC-ZAG-RC-AB. 150 当点C在线段BA延长线上时，如图2。 又.∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°， 新N .∠1=∠2。 图2 又∠C=∠1，∠C=∠2。 :点N为BC的中点CN=BN=BC。 .AB∥CD 7.(1)证明：∠1=∠BDC, 点M是AC的中点MC=了AC。 ∴AB∥CD。∴.∠2=∠ADC。 ∠2+∠3=180°， MN=NC-CM=6C-4C=B。 .∠ADC+∠3=180°。 ∴.AD∥CE 综上所述，(1)中的结论仍然成立。 (2)解：DA⊥FE, 5.4平行线的性质定理和判定定理 ∴.∠DAF=90°. 【边学边练】 ∴.∠ADC=∠2=∠DAF-∠FAB。 1.B :∠FAB=55°，∴.∠ADC=35°。 2.105 :DA平分∠BDC,∠1=∠BDC, 3.A4.D5.C .∠1=∠BDC=2∠ADC=70°。 6.是 ∴.∠ABD=180°-70°=110°。 【随堂小测】 5.5三角形内角和定理 1.D2.C3.C 第1课时三角形内角和定理及推论 4.a+B-y=90°【解析】如图，过点C作CM∥ 【边学边练】 AB,过点D作DN∥EF,则∠BCM=∠ABC=a, 1.B ∠EDN=∠DEF=y。AB∥EF,.CM∥DN。2.15o ∴.∠DCM=∠CDN。:∠BCM+∠DCM=90°， 3.C ∠CDN+∠EDN=B,∴a+(B-Y）=90°。∴.a 4.360° +B-y=90°。 5.B 【随堂小测】 1.C2.B3.C V----- BD EY 4.a=B+y5.105°6.150 5.60°或120°【解析】如图1。 7.解：(1)①：∠C=70°，∠BAC=60°， ∴.∠ABC=50°。 a∥b,∴.∠1=∠a。c∥d, :AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ∴.∠B=∠1=∠a=60°。 .LBAD=LBC-3,LARE=LABG =25° 6a2/B d ∴.∠BED=∠BAD+∠ABE=30°+25°=55°。 6 2.∠BED=50°，∴.∠ABE+∠BAE=50°。 图1 图2 :AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， 如图2。a∥b,∴.∠a+∠2=180° ∴.∠ABC=2∠ABE,∠BAC=2∠BAE。 c∥d,∴.∠2=∠B。.∠B+∠ax=180°。 ∴.∠ABC+∠BAC=2×50°=100°。 ∠a=60°，∴.∠B=120°。 .∠C=80°。 综上，∠B=60°或120°。 6.证明：BE⊥FD (2)∠BED=90-∠C。理由如下： ∴.∠EGD=90°。∴.∠1+∠D=90°。 :AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， 151