15.4 角的平分线-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线 课时1 角的平分线的作法与性质 NO.1/课堂基础训练 4.如图,在△ABC中,C= 90{.AB-10,AD是△ABC 知识点1 角的平分线的作法 的一条角平分线.若CD= B$$ D C 1.如图,点A是MON边 M 3.则△ABD的面积为 ( _ OM上一点,AE//ON. A.15 B.30 C.12 D. 10 (1)尺规作图:作 5.如图所示,已知BD是 MON的平分线OB. △ABC的角平分线,ED 交AE于点B(保留作图痕迹,不写作法) 1BC于点E,BAC= (2)若 MAE-48{,求出 OBE的大小 90*. C-30*AD-3,则 AC的长为 ) A.3 B.6 C.9 D. 12 6.如图,在△ABC中,AD是/BAC的平分线, DELAB$ AFD=90{*$DE-2 ,则 DF=$$ 7.已知,如图所示,△ABC 的角平分线AD将BC边 分成2:1两部分(BD> CD),若AC-4,则AB= 2.分别画出已知钝角和平角 AOB的平分线 8. 如图,在Rt△ABC中, ABC=90{*,CD平分 乙ACB交AB于点D,A A DB DE AC于点E,BF/DE交CD于点F.求 证:DE-BF. 知识点2 角的平分线的性质 3.如图,OP平分AOB. PC1OA于点C,点D是OB 上的动点,若PC一5cm,则 PD的长可以是 - A.2cm B.3cm C.4 cm D.6cm 89 数学八年级上册 NO2/课后提升训练 (1)CF-EB (2)AB-AF+2FB$ 1.如图,Rt△ABC中.C -90{,用尺规作图法作 出射线AE,AE交BC于 点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的 最小值为 → ) A.2 B.3 C.4 D.无法确定 2.如图,在△ABC中,C-90{}.AC -BC,AD平分BAC交BC于 点D,DE AB,垂足为E,且AB 6. 如图,在△ABC中,BAD -10cm,则△DEB的周长是 _ = DAC,DF |AB于点F, A.10cm B. 20 cm DM]AC于点M,AB= 16 cm.AF=10 cm,AC= C. 10/2cm D.5/2cm 14.cm.动点E以2cm/s的速度从A点向F点 3. 如图,在△ABC中, 运动,同时动点G以Icms的速度从C点向A 之ABC 和ACB的 点运动,当一个点到达终点时,另一个点也随 平分线相交于点O,过 之停止运动,设运动时间为1s. 点O作EF/BC交 (1)求SABD:SAcD. AB于E,交AC于F,过点O作OD1AC于 (2)求证:在运动过程中,无论7取何值,都有 D. 下列四个结论:①EF=BE十CF; S△AED-2SDGc. (3)当:取何值时,△DFE与△DMG全等? ② BOC-90*+1 /A;③点O到△ABC 各边的距离都相等:④设OD三m:AE十AF -n.则SArF-nn. 其中正确结论的个数为 (_ A.1 B.2 C.3 D.4 4.在△ABC中,C=90*,AD是△ABC的角 平分线,BC=6,AC=8,AB-10,则点$D到$ AB的距离为 5. 如图,在△ABC中,C= 90{},AD是BAC的平分线, DEAB于E,F在AC上, BD-DF,求证 90 第15章 轴对称图形与等腰三角形 课时2 角的平分线的判定 知识点2 NO.1/课堂基础训练 角平分线判定的应用 3.如图,PD1AB于点D,PE1AC于点E,若 知识点1 角的平分线的判定 ( PE-PD,则 ) 1. 如图,已知点P到BE, BD,AC的距离恰好相 等,则点P的位置: , ①在B的平分线上; ②在DAC的平分线上 A. BAP> CAP B. $BAP= CAP$ ③在ECA的平分线上; C. BAPCAP D. 不能确定 ④恰是 B, DAC.ECA 4. 如图是一块三角形 三个角的平分线的交点. 草坪,现要在草坪上 上述结论中,正确的结论有 (31 _ A.1个 B.2个 建一座凉亭供大家 D.4个 C.3个 体息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等 凉亭的位置应选在 C ) 2.如图,CE AB于点E,BF 1AC于点F,CE与BF相 A.△ABC的三条中线的交点处 交于点D,且BD一CD.求 B.个ABC三边的垂直平分线的交点处 证:AD是BAC的平 C.△ABC三条角平分线的交点处 分线. D.△ABC三条高所在直线的交点处 5.如图,在四边形ABCD中,B 一C一90*,M是BC的中点. DM平分ADC,且ADC= 120{,则 MAB的度数为( A.30* B.35{*} C.45* D.60* 6.已知点O是△ABC内到三边的距离相等的 点,A=40,则BOC= 7.小明在学习了全等三角形的 相关知识后发现,只用两把完 全相同的长方形直尺就可以 P 作出一个角的平分线,如图, 一把直尺压住射线OB,另一 B 把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于 点P,小明说:“射线OP就是 BOA的平分 线.”小明做法的理论依据是 91 数学八年级上册 8.如图,O是△ABC内一 4.如图,在△ABC中,BE AC 点,且O到三边AB,BC 于点E,BC的垂直平分线 CA的距离QE:OD.OE 分别交AB,BE于点D. 相等,若 BAC-70*,则 G.垂足为H,CD AB. BOC的度数是多少? CD交BE于点F. (1)求证:△CDA△BDF,并写出BF与 AC的数量关系. (2)若DF=DG,求证:①BE平分 ABC; NO2/课后提升训练 1.如图,点E是BC的中点,AB 1BC,DCBC,AE平分 BAD,下列结论:① AEL =90*;② ADE- CDE;③ DE=BE:④AD=AB+CD 其中成立的是 _ 5.已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直 A.①②④ B.①②③ 线的距离相等,且OB=OC C.②③④ D.①③ 2.如图,点G在AB的延长线上,GBC,BAC 的平分线相交于点F,BE1CF于点H.若 ( 乙AFB-40{*,则 BCF的度数为 ) ## 图(1) 图② (1)如图(1),若点Q在边BC上; 求证:ABC- ACB; (2)如图(2),若点O在△ABC的内部; A.40* B.50* QBC= /OCB,求证。 ABC= ACB: C.55* D.60{ (3)若点Q在△ABC的外部:则ABC 3. 如图,在Rt△ABC中. ACB成立吗?请画图表示, C一90{*,以顶点A为 圆心,适当长度为半径 画弼,分别交AC,AB于 点M,N,再分别以点M.N为圆心,大于 MN的长为半径画张,两孤交于点P,作射 线AP交BC边于点D,若CD=3,AB=10. 则△ABD的面积是 92∴.∠ACE=∠ACK+∠ECK=∠B=a=(a+ .∠AEN=∠ANE=54°， ∠AGC)+(h+∠EGC)=a+b+∠AGE=a+b+B. 即ANE是等腰三角形. 即a=a十b+B,.a十b=a-R. ②解：CD=BN十CE.证明如下： 又由(1)中证明可知∠ECD=∠BAC=2a, 由①知AN=AE. 由三角形内角和定理可得∠ECD+∠DEC 又，BA=BC,DB=AC, +∠D=180°， .BN=AB-AN=BC-AE.CE=AE-AC=AE-BD, 即2a+2b十a=180°， ∴.BN+CE=BC-BD=CD,即CD=BN+CE. .2(a+b)+a=180°，.3a-23=180. 6.解：(1)由题意得AB=15×2=30(海里). .∠NBC=60°，∠NAC=30°， ∴·∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°. ∴.∠ACB=∠NAC, .AB=BC=30海里. 答：海岛B到灯塔C的距离为30海里. (2)过，点C作CP⊥AN于点P,则∠BPC=90°.根 图(1) 图(2) 据垂线段最短，知线段CP的长为小船与灯塔C的 (3)解：当AH∥E1时，如图(2)所示， 最短距离.，∠NBC=60°， 过，点C作MN∥AH,则MN∥AH∥EI. ∴.∠PCB=180°-∠BPC-∠CBP=30°， 设∠CAH=∠ACM=c,∠CEI=∠ECM=d, ∠B=Y, ∴PB=2BC=15海里， ∴.∠ACE=∠ACM+∠ECM=c+d=Y, .AP=AB+BP=30+15=45(海里)， 即y=c+d. ∴.航行的时间为45÷15=3（时）. 由(1)中证明可得∠ECD=∠BAC=2C, 答：若这条船继续向正北航行，则11时小船与灯塔 ∠D=∠B=Y. C的距离最短， 在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD十 15.4角的平分线 ∠CED+∠D=180°， 课时1角的平分线的作法与性质 即2c+2d+y=180°，即2(c+d)+y=180°， 课堂基础训练 即3y=180°，解得y=60°.故∠B=60 1.解：(1)如图，OB即为所求 课后巩固训练 1.A2.B3.C4.60° 5.(1)解：，BA=BC, .∠C=∠BAC=∠BAD+∠DAC. N DA=DB,∴∠BAD=∠B (2),AE∥ON,∴.∠MON=∠MAE=48. :AD=AC,∴.∠ADC-∠C-∠BAC-2∠B, ∴∠DAC=∠B. :OB平分∠MON,∴∠NOB=号∠MON=24. :∠DAC+∠ADC+∠C=180°， ,AB∥ON, .∠B+2∠B+2∠B=180°， ∴.∠OBE=180°-∠BON=180°-24°=156° .∠B=36°，∠C=2∠B=72°， 2.解：如图所示，射线OC即为已知纯角和平角∠AOB 故答案为36,72. 的平分线. (2)①证明：在△ADB中，，DB=DA,∠B=36,. ∠BAD=36 在△ACD中，，AD=AC M .∠ACD=∠ADC=72°， N B AM O N B ∴.∠BAD=∠CAD=36. ,MH⊥AD,.∠AHN=∠AHE=90°， 61 3.D4.A5.C6.27.8 (3)解：在△ADF和△ADM中， 8.证明：如图，：CD平分 '∠AFD=∠AMD, ∠ACB,∴.∠1-∠2 D ∠FAD=∠MAD. :∠1=∠2，DE⊥AC, AD-AD. ∠ABC=90°，∴.DE=BD. ∴.△ADF≌△ADM(AAS),∴.AM=AF=10cm, ..CM=4 cm. :∠3=90°-∠1.∠4=90°-∠2，.∠3=∠4. 由题意知EF=AF-AE=(10-21)cm,CG=1cm, :BF∥DE,.∠4=∠5， .0≤1≤5. ∴.∠3=∠5， DF=DM,∠DFE=∠DMG. .BD=BF..'.DE=BF. ∴.当EF=MG时，△DFE≌△DMG(SAS). 课后提升训练 ①当点G在线段AM上时，4<1≤5，MG=CG-CM .A2.A3.C48 =(t-4)cm. 5.证明：(1)AD是∠BAC 10-21=1一4，解得1-兰 的平分线， ②当点G在线段CM上时，0≤1≤4， DE⊥AB,DC⊥AC, MG=(4-t)cm, ∴.10-2t=4-t,解得t=6(舍去). ∴.DE=DC DE=DB, 综上，当1=兰时，△DFE与△DMG金￥. 在Rt△CDF和Rt△EDB中， DC=DE, 课时2角的平分线的判定 ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB(HI),∴.CF=EB. 课堂基础训练 (2)由(1)得CD=DE. 1.D 在Rt△ADC与Rt△ADE中， 2.证明：，CE⊥AB,BF⊥AC, (CD=ED, ∴.∠BED=∠CFD=90. ∴.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL), AD=AD. (∠BED=∠CFD, 在△BDE和△CDF中， ∠BDE=∠CDF, ∴.AC=AE,∴.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF BD=CD. 十EB=AF+2EB. .△BDE≌△CDF(AAS),.DE=DF. 6.(1)解：∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC, CE⊥AB.BF⊥AC, ∴.DF=DM. ∴，点D在∠BAC的平分线上， :SaID=2AB·DF,SAm=号ACDM. ∴.AD是∠BAC的平分线. 3.B4.C5.A6.110 ∴S△ABD:S△AD=AB:AC=8:7. 7.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 (2)i证明：S=号AE·DF.Sm=2G,DM 8.解：OF=OD=OE,OF LAB,OD⊥BC,OE⊥AC, .OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB. DF=DM. :∠BAC=70°， ∴.S△AED:SAGC=AE:CG, .∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ,动点E以2cm/s的速度从A点向下点运动，同 ∴∠OBC+∠OCB=号（∠ABC+∠ACB)=2X 时动，点G以1cms的速度从C点向A点运动， 110°=55， ∴.AE=2tcm,CG=tcm, ∴.∠BC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180° ∴.AE:CG=2:1,.S△AED=2S△DcC, 55°-125. ∴.在运动过程中，无论t取何值， 课后提升训练 都有S△AED=2S△C 1.A2.B3.15 62 4.证明：(1)，DH垂直平分BC,.BD=CD. ∴.∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE= :BE⊥AC,BA⊥CD, 40°+2∠ABE. ∴，∠A+∠DBF=90°，∠DBF+∠DFB=90°， 在△BDC中，BD=BC,∴，∠BDC=∠BCD=B. ∴.∠A=∠DFB,且CD=BD,∠ADC=∠FDB, ∴.∠BDC+∠BCD+∠DBC=23+40°+2∠ABE ∴.△CDA≌△BDF(AAS),.BF=AC. =180°， (2)①，DF=DG,.∠DGF=∠DFG. ∴.3=70°-∠ABE,.a+B=40°+∠ABE+70° :∠BGH=∠DGF, ∠ABE=110°，∴.∠BEC+∠BDC=110°. .∠DGF=∠DFG=∠BGH. 综合练习闯关 ∠DBF+∠DFB=90°，∠FBC+∠BGH=90°， 1.C2.A3.D4.A5.B6.C7.B8.C ∴.∠DBF=∠FBC,∴.BE平分∠ABC 9.①10.48°11.30°12.(4，-2) ②'∠ABE=∠CBE,BE=BE, 13.(1)证明：，∠ACB=90°，∠BEC=90°， ∠AEB=∠CEB=90°， .∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°， ∴.△ABE≌△CBE(ASA), ∴.∠EBC=∠ACD. .AE=CE,∴.AC=2CE 在△BEC和△CDA中， :△CDA≌△BDF,BF=AC,CE=2BF ∠EBC=∠DCA, ∠BEC=∠CDA=90°， 5.(1)证明：过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分 BC=CA, 别为E,F,则OE=OF .△BEC≌△CDA(AAS). (OB=OC, 在Rt△OEB和R1△OFC中， (2)解：如图，过C作CD⊥x轴于点D. OE=OF. ∴.Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),∴.∠ABC=∠ACB. (2)证明：过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分 别为E,F,则OE=OF 同(1)易证Rt△OEB≌Rt△OFC, D B O .∠ABO=∠ACO. 又，∠OBC=∠OCB,.∠ABC=∠ACB. 直线y-是十3与y轴交于A点，与x轴交于B (3)解：不一定成立，如图： 点，令y=0可求得x=一4，令x=0可求得y=3, .OA=3,OB=4. 同(1)可证得△CDB≌△BOA,∴.CD=BO=4, BD=AO=3,.OD=4+3=7,∴.C(-7,4). A(0,3).设直线AC表达式为y=kx十3(k≠0)，把 (成立) (不成立) C点坐标代入可得4=一7k十3，解得k=一月 章末综合训练 考点突破 直线AC表达式为y=-7十3. 1.D2.B3.B4.2.45.B6.36或45°7.C 14.解：(1)如图，AE和MN即为所作. 8.解：(1)，∠ABC=80°，BD=BC, ∴∠BDC=∠BCD=2(180°-80)=50 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°， ,∠ACB=180°-40°-80°=60°.，CE=BC, △BCE是等边三角形，∠EBC=60°， .∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20 (2)∠BEC+∠BDC=110°.理由： (2)如图，BD即为所作. 设∠BEC=a,∠BDC=R.在△ABE中， 15.(1)解：，△ABC是等边三角形， a=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.CE=BC, .AC=BC,∠ACB=∠B=60 ∴∠CBE=∠BEC=a, D为AC的中点， 63