14.2 三角形全等的判定-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版）

第14章全等三角形 14.2三角形全等的判定 14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 ND.1课堂基础训练 5.如图，点D在AC上，BC.DE 交于点F,BA=BD,BC=BE, 知识点1用“SAS”判定两个三角形全等 ∠ABD=∠CBE. 1.下列全等的两个三角形是 ( (1)求证：△ABC≌△DBE: (2)若∠ABD=20°，求 2 70 ∠CDE的度数. 703 700 2 703C ① ② 包 ④ A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.如图，下列条件可以判定 △ABD≌△CBD的是( A.AB=CB,∠ADB=∠CDB B.AB=CB,∠A=∠C C.AB=CB,∠ABD=∠CBD D.AB=CD,∠ADB=∠CDB 知识点3“SAS"判定定理的实际应用 知识点2“SAS"判定定理的应用 6.如图，AC=DB,AO=DO,CD=80m,则A, 3.如图所示，AB=AC,AD B两点间的距离是 () =AE,∠BAC=∠DAE, ∠1=28°，∠2=30°，则 ∠3= 4.如图，已知AB∥CD, AB=CD,BE=CF.求 证：AF∥DE A.60m B.70m C.80m D.90m 7.在测量一个小口圆柱形容器的 壁厚时，小明用“X型转动钳” 按如图方法进行测量，其中OA =OD,OB=OC,测得AB=5 厘米，EF=7厘米，则圆柱形容 器的壁厚是 () A.1厘米 B.2厘米 C.5厘米 D.7厘米 57 ●套金量通第量指金重每金通第 数学八年级上册 易错点忽略两边一角中的角是两边的夹角这 一特征而致错 8.如图，AB=AC,AE=AD, 要使△ACD≌△ABE (SAS),需要补充的一个条 图() 网2② 件是 ( 5.如图，点A,D,B,E在同一 A.∠B=∠C 条直线上，AC=EF,AD B.∠D=∠E EB,∠A=∠E,BC与DF C.∠BAC=∠EAD 交于点G. D.∠B=∠E (1)求证：△ABC≌△EDF: NO2课后提切训练， (2)当∠CGD=110时，求∠GBD的度数. 1.已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12, AC=8,则中线AD的取值范围是 ) A.2<AD<10 B.4<AD<20 C.1<AD<4 D.以上都不对 2.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C= 62°，∠BDE=75°，则∠AFE的度数等于 ( 6.如图(1)，BD,CE分别是△ABC中AC,AB 边上的高，点P在BD的延长线上，CA= BP,点Q在线段CE上，QC=AB,连接 AP.AQ. B A.148 B.140° C.1359 D.128 3.现有一块如图所示的草地，经 测量，∠B=∠C,AB=10米. BC=8米，CD=12米，点E 图() 图(2) 是AB边的中点.小狗P从 (1)写出PA与AQ之间的关系并证明： 点B出发以2米/秒的速度 B P (2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形， 沿BC向点C运动，同时小狗Q从点C出发 AC>AB,∠A是钝角，其他条件不变，上述 沿CD向点D运动.当小狗Q的速度为 结论是否成立？请在图(2)中画出图形并证 米/秒时，能够在某一时刻使△BEP与 明你的结论. △CPQ全等. 4.现有如图(1)所示的折叠凳，图(2)是折叠凳 撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略 不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是 它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将 撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则 由以上信息可推得CB的长度为 58 1。。。至日，。。3。 第14章全等三角形 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 ND.1课堂基础训练， 知识点2“ASA“判定定理的应用 5.如图，AC平分∠BAD,∠DCA=∠BCA, 知识点1用“ASA"判定三角形全等 AB=6cm,则AD= () 1.如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两 D 个三角形中和△ABC全等的图形是( 70 709 70 A.6 cm B.8 cm 人60° 50 B a 50 50° C.10 cm D.4 cm A.甲 B.乙 6.如图，在△ABC和△EBD中，AB=BE=8, C.甲和乙都是 D.都不是 ∠A=∠E,且BD=4,则CE的长是() 2.在△ABC和△DEF中，下列条件能判定 △ABC≌△DEF的是 A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E A.4 B.5 C.6 D.7 C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D 7.如图，将△ABC和 D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E △ADE的顶点A叠合 3.小明不慎将一块三角形的 在一起，∠BAD 玻璃打碎成如图所示的四 ∠CAE,AB=AD,∠B B 块（图中所标①②③④），你 =∠D.求证：BC=DE. 认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原 来大小一样的三角形玻璃？应该带去 (填序号). 4.如图，点A,B,D,E在同 一条直线上，AB=DE, AC∥DF,BC∥EF.求 证：△ABC≌△DEF B D 知识点3“ASA"判定定理的实际应用 8.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会 主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下. 如图，AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距 59 。。。。。。。。 数学八年级上册 离相等，AC,BD相交于点O,(OD⊥CD,垂足 5.如图，要测量湖中小岛E距 为D.已知AB=20米.请根据上述信息求标 岸边A和D的距离，方法如 语CD的长度. 下：(1)任作线段AB,取其中 点O:(2)连接DO并延长使 R B人行道A ←行车道 CO=DO:(3)连接BC:(4)用仪器测量使点 行车道C :0椭离带刀 E,O,F在一条直线上，并交CB于点F,要测 了D人行道 量AE,DE的长度，只需测量出BF,CF的长 高强民主文明和谐自出平等公正 度即可，为什么？ 法治爱国败业诚信反善 N02☑课后提升训练 1.如图，将两块相同的三角板 (含30°角)按图中所示位置 摆放.若BE交CF于点D, AC交BE于点M,AB交 CF于点N,则下列结论错误的是 A.∠EAC=∠FAB B.∠EAF=∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM=AN 2.如图，已知AD,BC相 6.已知AE与BD相交于点C,AC=EC.BC 交于点O,∠1=∠2， ∠CAB=∠DBA,下面 =DC. 的结论中错误的是 ( A.∠C=∠D B.AC=BD C.OC=OB D.BC=AD 0 D0 图1) 图2② 3.如图，在ABC中，AB=AC, (1)如图(1)，过点C作PQ交AB于P,交 AB>BC,点D在边BC上，且 DE于Q,求证：CP=CQ: CD=2BD,点E,F在线段AD (2)如图(2)，若AB=4cm,点P从点A出 上，且满足∠BED=∠CFD 发，沿A→B→A以3cm/s的速度运动，点Q ∠BAC,若S△AC=24,则 从点D出发，沿D→E以1cm/s的速度运 S△ABE+SACDE= 4.如图，△ABC的面积为 动，P,Q两点同时出发，当点P回到点A时， 5cm,AP垂直∠ABC的 P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间 平分线BP于P,则△PBC 为ts.连接PQ,当线段PQ经过点C时，t的 的面积为 值为 0 第14章全等三角形 14.2.3三边分别相等的两个三角形 ND.1/课堂基础训练 AB=CB,在探究筝形的性质时，得到如下结 论：①∠DAB=∠DCB:②△ABD≌ 知识点1用“SSS”判定两个三角形全等 1.如图，AC=BD,AO=BO,C △CBD;③四边形ABCD的面积为2AC· CO=DO,∠D=30°，∠A= BD,其中正确的结论有 () 95°，则∠AOC等于() A.0个 B.1个 A.60° B.55 C.2个 D.3个 C.50 D.45 6.如图，已知OA=OB,AP=BP,∠BOP= 2.工人师傅常用角尺平分 20°，则∠MON等于 一个任意角，作法如下： 如图，∠AOB是一个任 B 意角，在边OA,OB上分 别取OM=ON,移动角 尺，使角尺两边相同的 第3题图 7.[一题多解]如图，AC 刻度分别与点M,N重合，过角尺顶点C作 =BD,AB=DC.求 射线OC,由此作法便可得△NOC≌△MOC, 证：∠B=∠C. 其依据是 3.如图，已知点A,F,E,D在 同一条直线上，AB=CD, BE=CF,AF=DE.求证： △ABE≌△DCF. 知识点2三角形的稳定性 4.下面选项中的图形不具有稳定性的是( K 知识点4“SSS”尺规作图的应用 C 8.根据图中尺规作图的痕迹，判断得出结论： 知识点3“SSS"判定定理的应用 5.两组邻边分别相等的四边形叫 做“筝形”，如图，四边形ABCD 大M 是一个筝形，其中AD=CD, D 61 套重重通量年。年第重 数学八年级上册 N02☑课后提升训练， 6.如图(1)，已知A.C,F,D在同 B∠ 一直线上，AF=DC,AB= 1,如图，王师傅用六根木条钉 DE,BC=EF. 成一个六边形木框，要使它 D (1)小凡认为△ABC≌ 图(1) 不变形，至少还要再钉上木 △DEF,这是为什么？ 条的根数是 () (2)小灵认为AB∥DE,BC∥EF,这又是为 A.2 B.3 C.4 D.5 什么？ 2.如图，AC与BD相交于点O, (3)把图(1)中的△DEF沿直线AD平移到 且AO=CO,BO=DO,则图中 0 如图(2)(3)(4)(5)所示的四种不同的位置， 全等三角形共有 r B 小灵和小凡得出的结论仍成立，你相信吗？ A.2对 B.4对 C.5对 D.6对 为什么？ 3.如图，△ABC的顶点分别为A(0,3),B(-4,0), C(2,0),且△BCD与△ABC全等，则点D的 A() 乙E 坐标是 CUD) B∠D 图2) 图3) 图(4) 图5) 4.我们把顶点均在小正方形 顶点上的三角形叫做格点 三角形，在如图所示的方格 B 纸中，除了格点三角形ABC 外，可画出与△ABC全等的格点三角形共有 个 5.如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B', BC=B'C',AD和A'D'分别是边BC和B'C 上的中线，且AD=A'D'.求证：∠C=∠C 62 。。正量，，，后。0。 第14章全等三角形 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 ND.1课堂基础训练 6.如图，点C,F,E,B在同一条 直线上，AF∥DE,CD∥AB, 知识点1用“AAS”判定三角形全等 DE=AF,求证：CF=BE. 1.如图，若AB=AC,∠AEB= ∠ADC=90°，则判断△ABE ≌ACD的方法是 () A.AAS B.SSS C.SAS D.以上都正确 2.如图，已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,则根 7.如图，点B,E,C,F四点在同一 据“ ”,就可判定△ABD≌△ABC. 条直线上，AB=DE,AB∥DE. 老师说：“再添加一个条件就可BEC 以使△ABC≌△DEF.”下面是课堂上三位同学 的发言，甲说：“添加AC=DF.”乙说：“添加 3.如图，AB∥DE,AC∥DF, AC∥DF."丙说：“添加BE=CF.” AC=DF,∠B=∠E.求 (1)甲，乙、丙三位同学说法正确的是 证：△ABC≌DEF. (2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的 证明. 知识点3“AAS"判定定理的实际应用 8.如图，水平海岸上有A, B两个观测点，点B在 点A的正东方向，海岛 C在观测点A的正北方 知识点2“AAS”判定定理的应用 向，海岛D在观测点B 4.如图，在△MPN中，H是高 M 的正北方向.如果从观测点A测得C,D的视 MQ和NR的交点，且PM 角∠CAD与从观测点B测得海岛C,D的视 HN,已知MH=3.PQ=2, 角∠CBD相等，那么观测点A到海岛C的 则PN的长为 ( 距离与观测点B到海岛D的距离相等.为 A.5 B.7 什么？ C.8 D.11 5.如图，在△ABC中，∠1= ∠2，BE=CD,AB=5, AE=2,则CE= 多6第意量。量量金的每年彩重 63 数学八年级上册 N02☑课后提升训练， (1)求证：MP⊥MQ: (2)求证：△BMP≌△MCQ, 1.如图，在四边形ABCD中， AB∥DC,E为BC的中点， 连接DE,AE,AE⊥DE.若 B AB=5,CD=3,则AD的长为 A.2 B.5 C.8 D.11 2.如图，在ABC中，点F 在边AB上，EC= AC,CF,EA的延长线 交于点D,且∠BCD =∠ACE=∠DAB,则DE等于 A.DC B.BC C.AB D.AE+AC 7.(1)如图(1)，∠MAN=90°，射线AE在这个角 3.如图，点C是AB的中点，ADE 的内部，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN =BE,CD=CE,则图中全等 、F GX H 上，且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于 三角形共有 点D.求证：△ABD2△CAF; A.2对 B.3对 (2)如图(2)，点B.C分别在∠MAN的边 C.4对 D.5对 AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射 4.如图所示，在平面直角坐标 )4 线AD上，∠1，∠2分别是△ABE,△CAF 系中，已知△ABC≌ D 的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2= △FDE,若点A的坐标为 ∠BAC.求证：△ABE≌△CAF. (a,1),BC∥x轴，点B的坐 标为(h,一2)，D,E两点都在y轴上，则点F M 到y轴的距离为 5.如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 ED C入 C N BC=CD,EF⊥AC,BG⊥AC,DH⊥AC,垂 图(2) 足分别是F,G,H.已知EF=6,BG=3, DH=4,则图中实线所围成的图形（阴影部 分)的面积S :: 6.如图，在△ABC中，AM是 △ABC的中线，MP平分 ∠AMB,MQ平分∠AMC, 且BP⊥MP于点P,CQ⊥ MQ于点Q. 。， 第14章全等三角形 14.2.5 两个直角三角形全等的判定 N0.1课堂基础训练 5.如图，AB=AD,AB⊥BC,AD ⊥DC,垂足分别为点B,D 知识点I用“HL”判定直角三角形全等 (1)求证：△ABC2△ADC: 1.可使两个直角三角形全等的条件是( B (2)连接BD交AC于点E,求 A,一个锐角对应相等 证：BE=DE. B.一条直角边和一个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.下列判定两个直角三角形全等的方法中，错 误的是 () A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 6.如图，AB=AC,直线l经过点A,BM⊥l, C.斜边和一直角边对应相等 CN⊥l,垂足分别为M,N,BM=AN, D.两锐角对应相等 (1)求证：MN=BM+CN: 3.如图，点E,F在线段BD上，已 (2)求证：∠BAC=90°. 知AF⊥BD,CE⊥BD,AD= CB,DE=BF.求证：△AFD ≌△CEB. 7.已知：如图，BE⊥CD于点 E.BE=DE.BC=DA. (1)求证：△BCE≌△DAE: (2)判断DF与BC的位 置关系，并说明理由 知识点2“HI"判定定理的应用 4.如图，有两个长度相同的 滑梯（即BC=EF),左边 滑梯的高度AC与右边滑 梯水平方向的长度DF 相等.给出下列结论：①AB=DE:②∠ABC= ∠DEF:③∠ACB=∠DFE:④∠ABC+ ∠DFE=90°.其中成立的是 A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②③ 等●套第童金金第量有量金知原年第第海 65 数学八年级上册 N02☑课后提升训练， 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， D是AC上的一点，且AD=BC 1.如图，在△ABC中，点P在 DE⊥AC于D,AB=AE. D BC上，PR⊥AB于点R,PS⊥ 求证：(1)AE⊥AB:(2)CD AC于点S,且PR=PS,点Q DE-BC. 在AC上，且∠PAS=B ∠APQ.有下列结论：①AS=AR:②QP∥AR: ③△BRP≌△CSP.其中正确的结论是() A.①②③B.①② C.①D.② 2.如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB= ∠CED=90°，AB=CD,CE=AC,则下列结 7.如图，已知点A,F,E,B四 论中错误的是 ( 点共线，AC⊥CE,BD⊥DF, AE=BF,AC=BD.求证： △ACF≌△BDE. A.∠B=∠D B.AC∥DE C.CB=CD D.AB⊥CD 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高 度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，则 8.如图(1)，已知点A,E,F,C在一条直线上， 两个滑梯与地面形成的角∠ABC与∠DFE AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC, 的数量关系为 BF⊥AC,且AB=CD. 4.如图，BD=CF,FD⊥BC于 图() 图2 点D,DE⊥AB于点E, (1)试问DB平分EF成立吗？请说明理由： BE=CD.若∠AFD=140°， (2)若△DEC沿AC方向移动，其余条件不 则∠EDF= 变，如图(2)，上述结论是否仍成立？请说明 :: 5.如图，△ABC中，AC⊥BC, P 理由 AC=8 cm.BC=4 cm,AP ⊥AC于A,现有两点D, B E分别在AC和AP上运 动，运动过程中总有DE= D AB,当AD= cm时，能使△ADE 和△ABC全等. 66 量，，，。”6.解：(1)分两种情况：①当点P在BC上时，若△APC的 第14章全等三角形 面积等于△ABC面积的一年，则CP-号BC=号em, 14.1全等三角形 课堂基础训练 此时点P运动的路程为AC+(P=12+号-受(am 1.B 2.△ABC≌△CDE∠BAC与∠DCE,∠ACB与 运动的时同为婴：3=号（s): ∠CED AB与CD,BC与DE ②当点P在BA上时，若△APC的面积等于△ABC 3.B4.B 面积的一丰，则BP=AB=艺cm,此时点P运动 5.解：(1)，△ABC≌△CDE,CE=10. .AC=CE=10.:AB=6,BC=8, 的路程为AC+CB+BP=12+9+5=号（cm),运 22 ∴.△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24. 动的时间为受÷3-号(。).世答案为号式号 (2).∠B=90°，.∠ACB+∠BAC=90. :△ABC≌△CDE,∴.∠ECD=∠CAB, (2)分两种情况： ∠ACB+∠ECD=90°，∴.∠ACE=90° ①当点P在AC上，如图(1)所示.此时AP-4AQ=5, :AC=CE=10, 点Q移动的速度为5片(4÷3)=(cm/s): ∴△ACE的面积为号×10×10=50. ②当点P在AB上，如图(2)所示， 6.解：，△ABC≌△ADE, ∴.∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°， ∴.∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°.由三 角形的内角和定理得∠1十∠D=∠CAD+∠ACF, .∠1+30°=15+75°，解得∠1=60°. 图(1) 图(2) 7.D 此时AP=4,AQ=5, 课后提升训练 点P运动的路程为9+12+15一4=32(cm), 1.C2.A3.3154.(-4,3)或(-4,2) 点Q运动的路程为9+12+15-5=31(cm), 5.(1)证明：，△ACD2△ECD. :点Q运动的装度为31÷(82÷3)-器（ms以 ∴.∠ADC=∠EDC.点A,D,E,B共线， .∠ADC+∠EDC=180°， 笨上所，点Q的运功逢度为cm:或 32 cm/s. .∠ADC=∠EDC=90°， 14.2三角形全等的判定 .CD⊥AB. (2)解：设∠B=a. 14.2.1两边及其夹角分别相等的 :△ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF, 两个三角形 ∴.∠A=∠CED,∠B=∠BCE=a 课堂基础训练 ,∠CED=∠B+∠BCE=2a=∠A,∠A+∠B+ 1.A2.C3.58 ∠ACB=180°，∠ACB=90°， 4.证明，AB∥CD,∴.∠B=∠C .2a+a+90°=180°. ,BE=CF,∴.BE+EF=CF十EF,即BF=CE. .a=30°，即∠B=30° AB=DC, (3)证明：，△CEF≌△BEF, 在△ABF和△DCE中，3∠B=∠C, .∠EFC=∠EFB.又，∠EFB+∠EFC=180°， BF=CE, .∠EFB=90°.，∠ACB=90°， ∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴.∠AFE=∠DEF, ∴∠ACB=∠EFB,∴.EF∥AC. AF∥DE. 47 5.(1)证明：，∠ABD=∠CBE, 证明如下：，BD,CE是△ABC的高， ∴.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .BD⊥AC,CE⊥AB, 即∠ABC=∠DBE. .∠1+∠CAE=90°，∠2+∠DAB=90°. (BA=BD, :∠CAE=∠DAB,∴.∠1=∠2. 在△ABC和△DBE中，3∠ABC=∠DBE, QC=AB, BC=BE, 在△QAC和△APB中，∠1=∠2， ∴.△ABC≌△DBE(SAS). CA=BP. (2)解：由(1)可知，△ABC≌△DBE, .△QAC2△APB(SAS), ∴.∠C=∠E.:∠DFB=∠C+∠CDE .AQ=AP,∠QAC=∠P.∠PDA=90°， ∠DFB=∠E+∠CBE,∴.∠CDE=∠CBE. ∴.∠P+∠PAD=90°， :∠ABD=∠CBE=20°，∴.∠CDE=20. .∠QAC+∠PAD=90.∴.∠QAP=90°， 6.C7.A8.C .AQ⊥AP. 课后提升训练 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三 1.A2A32或号 4.30cm 角形 5.(1)证明：，AD=EB,.AD十BD=BE十BD,即 课堂基础训练 AB=ED. 1.C2.D3.④ (AC=EF, 4.证明：，AC∥DF,.∠CAB=∠FDE. 在△ABC与△EDF中，∠A=∠E, :BC∥EF,∴∠CBA=∠FED, AB=ED. 在△ABC和△DEF中， ∴.△ABC≌△EDF(SAS). ∠CAB=∠FDE, (2)解：由(1)得△ABC≌△EDF, AB=DE, ∴.∠ABC=∠EDF,即∠GBD=∠GDB. ∠CBA=∠FED, ∠GBD+∠GDB=∠CGD=1I0°， ∴.△ABC≌△DEF(ASA). ∠GBD=∠CGD=55. 5.A6.A 7.证明：∠BAD=∠CAE,.∠BAD-∠CAD= 6.解：(1)AP=AQ,AP⊥AQ. 证明：，BD,CE是△ABC的高， ∠CAE-∠CAD,即∠BAC=∠DAE. ∴.BD⊥AC,CE⊥AB,∴.∠1+∠CAB=90°， (∠B=∠D, ∠2+∠CAB=90°， 在△BAC和△DAE中，AB=AD, ∴.∠1=∠2.在△QAC和△APB中， ∠BAC=∠DAE, (QC=AB, .△BAC2△DAE(ASA),.BC=DE. ∠1=∠2， 8.解：因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO, CA=BP. 又因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°， ∴.△QAC≌△APB(SAS), 即OB⊥AB. ∴AQ=AP,∠QAC=∠P 因为相邻的两平行线间的距离相等， :∠DAP+∠P=90°， 所以OB=OD. .∠DAP+∠QAC=90°，即∠QAP=90°， ∠ABO=∠CDO. .AQ⊥AP 在△ABO和△CDO中，OB=OD, (2)上述结论成立，画出图形如图所示. ∠AOB=∠COD, 所以△ABO2CDO(ASA), 所以CD=AB=20米. 课后提升训练 5 1.B2.C3.164.2cm 48 5.解在△AOD与△BOC中， .△ABD≌△DCA(SSS),∴.∠B=∠C. OA=OB. ∠AOD=∠BOC, OD=OC. ∴.△AOD≌△BOC(SAS), ∴.AD=BC,∠A=∠B. 解法二连接BC,在△ABC和△DCB中， 在△AOE与△BOF中， (AC=DB. (∠A=∠B, AB=DC. AO=BO. BC=CB. ∠AOE=∠BOF, ∴.△ABC≌△DCB, ∴.AOE≌BOF(ASA),.AE=BF, ∴.∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC, ∴.AD-AE=BC-BF, ∴.∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB, 即DE=CF. 即∠ABD=∠DCA. 因此只需测出BF,CF的长度，即可知道AE,DE的 8.OM平分∠BOA 长度了 课后提升训练 6.(1)证明：在△ABC和△EDC中， 1.B2.B AC=EC. 3.(-2,3)或(-2，-3)或(0，-3)4.15 ∠ACB=∠ECD, 5.证明：：AD,A'D'分别是△ABC和△ABC的中 BC=DC, 线，BC=B'C',.BD=BD'.在△ABD和△A'BD ∴.△ABC≌△EDC(SAS)..∠B=∠D BD=B'D'. (∠D=∠B, 中，AB=A'B',.△ABD≌△A'B'D'(SSS). 在△DCQ和△BCP中，CD=BC, AD=A'D'. ∠DCQ=∠BCP, ∴.△DCQ≌△BCP(ASA),∴.CP=CQ. AB=A'B'. (2)1或2由(1)可知，当线段PQ经过点C时， ∴∠B=∠B.在△ABC和△A'B'C'中， ∠B=∠B, △DCQ≌△BCP, BC=B'C', .DQ=BP,则4-3t=1或31-4=1， ∴.△ABC≌△A'B'C'(SAS), ∴.1=1或2.故答案为1或2. .∠C=∠C 14.2.3三边分别相等的两个三角形 6.解：(1)由AF=DC,得AF-CF=DC-CF, 即AC=DF. 课堂基础训练 1.B AC=DF. 2.SSS(或三边分别相等的两个三角形全等) 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE, 3.证明：，AF=DE, BC=EF, ..AF+EF=DE+EF. 所以△ABC≌△DEF(SSS) 即AE=DF. (2)因为△ABC2△DEF, (AB=CD. 所以∠A=∠D,∠ACB=∠DFE, 在△ABE和△DCF中，BE=CF, 所以AB∥DE,∠BCF=∠EFC, AE=DF. 所以BC∥EF. ∴.△ABE≌△DCF(SSS). (3)相信.理由： 4.D5.D6.40 变换到如题图(2)(3)(4)(5)的位置，均有AC=DF, 7.【证明】解法一 如图，连接AD. 利用“SSS”可证△ABC≌△DEF. AB=DC, 由△ABC≌△DEF可得到相应的角相等，进而得到 在△ABD和△DCA中，BD=CA, AB∥DE,BC∥EF(题图(2)中BC与EF在同一直 AD=DA. 线上时除外).所以小灵和小凡得出的结论仍成立. 49 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 课后提升训练 课堂基础训练 1.C2.C3.C4.35.50 1.A 2.AAS 6.证明：(1)：MP平分∠AMB,MQ平分∠AMC,. 3.证明：设AC与DE交于点O. ∠AMP=2∠AMB,∠AMQ=2∠AMC, .AC∥DF,.∠D=∠DOC :AB∥DE,∴.∠A=∠DOC,∠A=∠D. ·.∠PMQ=∠AMP+∠AMQ=2∠AMB+ I∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D. ∠AMC-(∠AMB+∠AMC)=2X180=. AC=DF, ∴.MP⊥MQ. ∴.△ABC2△DEF(AAS). (2)由(1)知，MPMQ. 4.B5.3 ,BP⊥MP,CQ⊥MQ, 6.证明：，AF∥DE,CD∥AB, ∴.∠BPM=∠CQM=∠PMQ. ∴，∠DCE=∠ABF,∠CED=∠BFA. ∴.BP∥QM,∴.∠PBM=∠QMC. I∠DCE=∠ABF, ,AM是△ABC的中线，∴.BM=MC. 在△CDE和△BAF中，∠CED=∠BFA, I∠BPM=∠MQC, DE=AF. 在△BMP和△MCQ中，∠MBP=∠CMQ, .△CDE≌△BAF(AAS), BM=MC. ∴CE=BF,CE-EF=BF-EF,∴CF=BE ∴.△BMP≌△MCQ(AAS). 7.(1)乙、丙：AB∥DE,∴∠B=∠DEF.若添加 7.证明：(1)，CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAV=90°， AC=DF,不是两边夹一角，不能判定全等，甲说法 .∠BDA=∠AFC=90°， 错误：添加AC∥DF,则有∠F=∠ACB,符合 ∴.∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°， “AAS”,可以判定全等，乙说法正确：添加BE=CF, ∴.∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中， 则有BC=EF,符合“SAS”,可以判定全等，丙说法 I∠ADB=∠CFA, 正确.故答案为乙、丙 ∠ABD=∠CAF, (2)证明：（答案不唯一）证明乙同学的说法. AB=CA. ,AB∥DE,∴∠B=∠DEF. ∴.△ABD≌△CAF(AAS). AC∥DF,.∠F=∠ACB, (2),∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE, ∠ACB=∠F, ∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF, 在△ABC和△DEF中，： ∠B=∠DEF, ∴.∠ABE=∠CAF.∠BAE=∠FCA. AB=DE, ∠ABE=∠CAF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). 在△ABE和△CAF中，∴.{AB=CA, 8.解：如图，∠CAD=∠CBD,∠1=∠2， ∠BAE=∠ACF, ∠C=∠D. ∴.△ABE≌△CAF(ASA). 由题意知∠CAB=∠ABD=90° 14.2.5 两个直角三角形全等的判定 ∠C=∠D, 课堂基础训练 在△ABC和△BAD中， ∠CAB=∠DBA, 1.B2.D AB=AB. 3.证明：，DE=BF,∴.DE十EF=BF+EF, .△ABC≌△BAD(AAS),∴.AC=BD .DF=BE. 即观测点A到海岛C的距离与观测点B到海岛D DF=BE. 的距离相等. 在Rt△AFD和Rt△CEB中， AD=CB, .Rt△AFD≌Rt△CEB(HL). 4.A 5.证明：(1)，AB⊥BC,AD⊥DC, ∴.∠ABC=∠ADC=90°， ∴.△ABC和△ADC均为直角三角形. 50 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∴，∠A=∠B(全等三角形的对应角相等). AC=AC. ,AE=BF(已知)，∴.AE一EF=BF-EF(等式的 .Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). AB=AD. 性质)，即AF=BE. (2),△ABC≌△ADC,.∠BAC=∠DAC. (AF=BE, (AB=AD, 在△ACF和△BDE中，{∠A=∠B, 在△ABE和△ADE中，：∠BAE=∠DAE, AC=BD. AE=AE, ∴.△ACF≌△BDE(SAS). ∴.△ABE≌△ADE(SAS),∴.BE=DE. 8.解：(1)DB平分EF成立.理由如下： 6.证明：(1)BM⊥1，CN⊥l AE=CF,∴.AF=CE ∴.∠AMB=∠CNA=90 ,DE⊥AC,BF⊥AC. (AB=CA. 在Rt△AMB和R1△CNA中， ∴.∠CED=∠AFB=90. BM=AN, (AF=CE. ∴.R△AMB≌Rt△CNA(HL),.CN=AM, 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD. ∴.MN=AM+AN=BM+CN. .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),.BF=DE.在 (2)由(1)得Rt△AMB≌Rt△CNA, ∠BOF=∠DOE, ∴.∠BAM=∠ACN.:∠CAN+∠ACN=90°， △BOF和△DOE中， ∠BFO=∠DEO=90°， ∴.∠CAN+∠BAM=90°， BF=DE, ∴.∠BAC=180°-90°=90° .△BOF≌△DOE(AAS)..EO=FO, 7.(1)证明：BE⊥CD, ∴.DB平分EF. ∴.∠BEC=∠DEA=90°.在R1△BCE和Rt△DAE (2)DB平分EF仍成立.理由如下： (BE=DE. 中， DE⊥AC,BF⊥AC,∠CED=∠AFB=90 BC=DA, ,AE=CF,∴.AF=CE ∴.Rt△BCE≌Rt△DAE(HL). (AF=CE, (2)解：DF⊥BC.理由如下： 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD. 由(1)知△BCE≌△DAE. .Rt△ABF2Rt△CDE(HL),∴.BF=DE. ∠B=∠D ∠BOF=∠DOE, ∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF, 在△BOF和△DOE中， ∠BFO=∠DEO=90°， .∠BAF+∠B=90°， BF=DE. ∴.∠BFA=90°，即DF⊥BC .△BOF≌△DOE(AAS),∴.EO=FO, 课后提升训练 DB平分EF 1.B2.C3.∠ABC+∠DFE=90°4.50 5.8或4 专题4全等三角形的判定 6.证明：(1)在Rt△ADE和Rt△BCA中， 专题精练 AD=BC. 1.证明：，AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三 AE=BA. .Rt△ADE≌Rt△BCA(HL), 角形ABE的高，且AD=AF,AC=AE, .∠AED=∠BAC.:∠AED+∠EAD=90°， .Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)∴.CD=EF. .∠BAC+∠EAD=90°， .AD=AF,AB=AB, ∴∠EAB=90°，即AE⊥AB. ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),∴.BD=BF. (2),'Rt△ADE≌Rt△BCA,∴.DE=AC ∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. CD=AC-AD,..CD=DE-BC. 2.证明：：AE∥BC,∴∠EAD=∠BDA. 7.证明：AC⊥CE,BD⊥DF(已知)， ,AB=AD,∴.∠BDA=∠B,∴.∠EAD=∠B .∠ACE=∠BDF=90°（垂直的定义）. (AB-AD. (AE=BF. 在△ABC和△DAE中，∠B=∠EAD, 在Rt△ACE和Rt△BDF中， AC=BD. BC=AE. ∴.Rt△ACE≌Rt△BDF(HL), ∴.△ABC≌△DAE(SAS). 51