第10章 第4课时 概率、统计的综合问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(七十二)　概率、统计的综合问题 1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50 kW·h到350 kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200 kW·h时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200 kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位： kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式； (2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？ 2．(2024·湖北武汉江汉区开学考试)某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者． ①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 3．(2024·黑龙江哈尔滨开学考试)某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表： (1)根据条件完成下列2×2列联表： 性别 接受挑战情况 合计 愿意 不愿意 男生 女生 合计 (2)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关； (3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立．记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据： χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．(2023·广东茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求： (1)X1的分布列； (2)数列{an}的通项公式； (3)Xn的期望． 5．(2024·广东实验中学模拟)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体． ①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； ②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X ＝99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n. 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 6．(2023·广州一模)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． (1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率； (2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)． ①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式； ②若E(Xi)>100，求i的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　概率、统计的综合问题 考点一　以统计图表为载体的概率统计问题 [典例1]　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率． [跟进训练] 1．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)； (2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表： 性别 活动天数 合计 [0，15) [15，30] 男生 女生 合计 并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　概率、统计与数列的综合问题 [典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．求： (1)第2次投篮的人是乙的概率． (2)第i次投篮的人是甲的概率． (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解答此类问题关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn＋1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解． [跟进训练] 2．(2024·山东青岛开学考试)某篮球赛事采取四人制形式．在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为Pn. (1)求P3； (2)当n＝3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望； (3)当n≥4时，证明：Pn＝Pn－1－. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　概率、统计与函数的交汇问题 [典例3]　(12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为： X 1 2 3 0 P α α(1－p) α(1－p)2 其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)． (1)若p＝，求α及P(B)； (2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)． ①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？ ②是否存在p的值使得E(X)＝，请说明理由． [规范解答]　(1)由题意得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝，解得α＝.·1分 又因为P(B|A1)＝，P(B|A2)＝＝， P(B|A3)＝＝.···················4分 　　　　　　　↓　　　　 所以P(B)＝＝＝(i＝1，2，3)．··5分 (2)①由已知＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1， 　　　　　　↓　　　　 变形整理得，＝p2－3p＋＋3. ···················6分 可设f(p)＝p2－3p＋＋3，0＜p＜1， 所以f ′(p)＝. ·······················7分 设g(p)＝2p3－3p2－1， 即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0， 故g(p)在(0，1)上单调递减， 因为g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f ′(p)＜0， 　　　　　　　　↓ 关键点：视“p”为变量，建立函数f (p)，g(p) 故f (p)在(0，1)上单调递减，所以增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大．······························9分 ②假设存在p使E(X)＝＋2α＋3α(1－p)＝，又因为＝p2－3p＋＋3， 将上述两等式相乘，化简整理得：5p3－6p2＋2＝0， 设h(p)＝5p3－6p2＋2，0＜p＜1， 即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4). ··················11分 所以h(p)在上单调递减，在上单调递增，故h(p)min＝h＝＞0. 所以不存在p，使得E(X)＝.····················12分 　该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化． [跟进训练] 3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(七十二)　概率、统计的综合问题 1．解：(1)根据题意，得当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t； 当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100. 综上，宿舍的月用电费用为y＝ (2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)． 2．解：(1)不妨设第75百分位数为a， 此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75， 解得a＝36.25. (2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人． ①第一组应抽取2人，记为A，甲， 第五组抽取4人，记为B，C，D，乙， 此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点， 记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M， 此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点， 则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝. ②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为s2，s′2， 此时＝42，s2＝1，s′2＝2， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s″2， 此时＝＝＝38， s″2＝ ＝＝， 故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为. 3．解：(1)根据条件得2×2列联表如表所示． 性别 接受挑战情况 合计 愿意 不愿意 男生 15 45 60 女生 20 20 40 合计 35 65 100 (2)零假设为H0：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，根据列联表的数据，经计算得到χ2＝≈6.593<6.635＝x0.01， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分理由证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关． (3)记甲第i次通过第一关为Ai(i＝1，2)，第i次通过第二关为Bi(i＝1，2)， 由题意得，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝P()＝×＝， P(X＝1)＝P(A1)＋P(A2)＝××＋×××＝， P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2) ＝×＋××＋××＋×××＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝＝，P(X1＝1)＝＝，P(X1＝2)＝＝， 故X1的分布列为 X1 0 1 2 P (2)由全概率公式可知： P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1) ＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0) ＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0)， 即an＋1＝an＋bn＋(1－an－bn)， 所以an＋1＝－an＋， 所以an＋1－＝－， 又a1＝P(X1＝1)＝，a1－＝－， 所以数列为以－为首项，以－为公比的等比数列， 所以an－＝－＝， 即an＝. (3)由全概率公式可得： P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝·P(Xn＝1)＋·P(Xn＝2)＋0×P(Xn＝0)， 即bn＋1＝an＋bn， 又an＝， 所以bn＋1＝bn＋， 所以bn＋1－ ＝， 又b1＝P(X1＝2)＝， 所以b1－＝＝0， 所以bn－＝0， 所以bn＝， 所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1. 5．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在[0，20)内有0.002 5×20×200＝10(只)； 在[20，40)内有0.006 25×20×200＝25(只)； 在[40，60)内有0.008 75×20×200＝35(只)； 在[60，80)内有0.025×20×200＝100(只)， 在[80，100]内有0.007 5×20×200＝30(只)． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只， 而指标值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如表所示． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为H0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联． 根据列联表中数据，得χ2＝≈4.945>3.841＝x0.05， 根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，以此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”， 事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”， 事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)， 则P(A)＝＝0.8，P(B|)＝＝0.5， P(C)＝1－P()＝1－0.2×0.5＝0.9， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p＝0.9. ②由题意，知随机变量X～B(n，0.9)， P(X＝k)＝×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，n)， 因为P(X＝99)最大， 所以 解得109≤n≤110， 因为n是整数，所以n＝109或n＝110， 所以接受接种试验的人数为109或110. 6．解：(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率P(A)＝＝. (2)①甲第1次答题得20分，10分的概率分别为，则E(X1)＝20×＋10×＝，甲第2次答题得40分，20分，10分的概率分别为， 则E(X2)＝40×＋20×＋10×＝，显然E(X2)＝2＋10×＝E(X1)＋， 当i≥2，i∈N*时，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)， 因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为， 于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×＋10×＝E(Xi－1)＋， 所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是E(Xi)＝E(Xi－1)＋，i≥2，i∈N*，且E(X1)＝. ②由①知，E(X1)＝，当i≥2，i∈N*时，E(Xi)＋5＝[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝， 因此数列{E(Xi)＋5}是以为首项，为公比的等比数列，E(Xi)＋5＝＝15×， 于是E(Xi)＝15×－5，由15×－5>100得：>7，显然数列是递增数列， 而＝<7，＝>7，则有正整数imin＝5， 所以i的最小值是5. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　概率、统计的综合问题 考点一 典例1　解：(1)该地区这种疾病患者的平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设A＝｛一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)｝，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝｛任选一人年龄位于区间[40，50)｝，C＝｛任选一人患这种疾病｝，则由条件概率公式，得P(C|B)＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 跟进训练 1．解：(1)由频数分布表知μ＝×(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5)＝14.9， 则X~N(14.9，6.12)， ∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， ∴P(X>21)＝P(X>14.9＋6.1)≈＝0.158 65， ∴3 000×0.158 65＝475.95≈476， ∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476. (2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15)的人数为4＋15＋33＝52， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中有20名男生， ∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15)的学生中女生人数为52－20＝32. 由频数分布表知，锻炼活动的天数在[15，30]的人数为31＋11＋6＝48， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生， ∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中女生人数为48－30＝18. 列联表如下： 性别 活动天数 合计 [0，15) [15，30] 男生 20 30 50 女生 32 18 50 合计 52 48 100 零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关， χ2＝≈5.769>3.841， 依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关， 而且此推断犯错误的概率不大于0.05. 根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数不低于15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号频率的≈1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号. 考点二 典例2　解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A， 所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi+1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi+1＝0.4pi＋0.2＝pi＋， 所以pi+1－， 又p1－为公比的等比数列， 所以pi－×， 所以pi＝×. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi. Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn， 则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn， 由(2)知，pi＝×， 所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＝＝. 跟进训练 2．解：(1)乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后， 事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为P3＝×. (2)由题意知，X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝3×， P(X＝3)＝×， P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝， X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×. (3)证明：n次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况， 第一种：n－1次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为Pn-1； 第二种：n－1次传球后乙、丙、丁中只有两人接过他人传球，第n次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为. 所以，当n≥4时，Pn＝Pn－1＋＝Pn－1－， 所以Pn＝Pn－1－. 考点三 跟进训练 3．解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)法一(常规求导)： p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x>0， 令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x， f '(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1， 令g(x)＝f '(x)，则g'(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f '(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f '(x)≤f '(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0，∴x＝1，即p＝1. 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时，注意到f '(0)＝p1－1<0， f '(1)＝p1＋2p2＋3p3－1>0， ∴存在唯一的x0∈(0，1)使f '(x0)＝0，且当0<x<x0时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 当x0<x<1时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 注意到f (0)＝p0>0，f (1)＝0，∴f (x0)<f (1)＝0. ∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1<1. 法二(巧妙因式分解)： 由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1， E(X)＝p1＋2p2＋3p3， 由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0， ∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0， (x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0， 令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f (x)的对称轴为x＝－<0， 注意到f (0)＝－p0<0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1， 当E(X)≤1时，f (1)≤0，f (x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1， 当E(X)>1时，f (1)>0，f (x)的正实根x0<1，原方程的最小正实根p＝x0<1. (2) 当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能. 学科网（北京）股份有限公司 $$