第9章 第6课时 二项分布、超几何分布与正态分布-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第6课时　二项分布、超几何分布与正态分布 [考试要求]　1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 1．n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 把只包含________结果的试验叫做伯努利试验． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________． (2)二项分布 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从________，记作X～____________． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝____________． ②若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______________． 2．超几何分布 (1)定义 在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布． (2)超几何分布的均值 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 3．正态曲线与正态分布 (1)我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为__________________．特别地，当μ＝__，σ＝__时，称随机变量X服从标准正态分布． (3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线______对称； ②曲线在______处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈______________； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈______________； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈______________． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． (5)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝____． 提醒：正态分布是连续型随机变量，要注意它是用面积表示概率，解决问题一定用到对称性． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布． (　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． (　　) (3)超几何分布与二项分布的期望值相同． (　　) (4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.477 　 B．0.628 C．0.954 　 D．0.977 4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________． 考点一　二项分布 　二项分布的期望 [典例1]　小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是. (1)求比赛结束时恰好打了7局的概率； [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)若现在是小明6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　二项分布的性质 [典例2]　(2024·湖南长沙模拟)若X～B，则当k＝0，1，2，…，100时(　　) A．P(X＝k)≤P(X＝50) B．P(X＝k)≤P(X＝32) C．P(X＝k)≤P(X＝33) D．P(X＝k)≤P(X＝49) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　二项分布问题的解题关键 定型 ①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生 定参 确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率 提醒：下列问题能转化为二项分布 ①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二项分布． [跟进训练] 1．某地区鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)． (1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)； (2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　超几何分布 [典例3]　某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件． (1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率； (2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检验时次品的个数为X，求X的分布列及期望． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的特征是： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． [跟进训练] 2．(2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球． (1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望； (2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　正态分布 [典例4]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大 B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等 (2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)＝0.954 5) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ； (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；μ决定正态曲线位置，σ的大小决定正态曲线的稳定与波动大小，即高矮与胖瘦；注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. [跟进训练] 3．(1)设两个正态分布(σ1>0)和(σ2>0)的概率分布密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 　 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)(多选)(2024·石家庄模拟)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是(　　) A．－P(X≤0) B．－P(X≥2) C．P(X≤2)－P(X≤0) D．－P(1≤X≤2) (3)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．经数据分析，高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布X～N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5) 超几何分布 二项分布 区别 描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取 描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个的取 考察对象分为两类 每一次试验是伯努利试验 已知各类对象的个数 联系 (当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布 [典例]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图)． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列． [赏析]　(1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12. (2)突破点1：总体一定，不放回抽样，超几何分布 质量超过505 g的产品数量为12，则质量未超过505 g的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为＝. 突破点2：总体容量大，不放回抽样，视为二项分布 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505 g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝，k＝0，1，2. 所以P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 　抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在． [跟进训练] 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(　　) A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 2．(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3．则下列判断正确的是(　　) A．随机变量X服从二项分布　 B．随机变量Y服从超几何分布 C．P(X＝k)<P(Y＝k) D．E(X)＝E(Y) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十八)　二项分布、超几何分布与正态分布 一、单项选择题 1．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为(　　) A．　 　B．　 　C．　 　D． 2．北京冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．1.5 3．(2023·山东烟台一模)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有(　　) A．180辆 　 B．360辆 C．600辆 　 D．840辆 4．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 5．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下说法正确的是(　　) A．X的可能取值为1，2，3，4，5 B．P(X＝2)＝ C．X＝3的概率最大 D．X服从超几何分布 6．(2023·山东济南高考适应性练习)已知X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标ξ(单位：mm)服从正态分布X～N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间[5.35，5.55].若K＝45，试以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为(　　) A．45　　 B．53　 C．54　　 D．90 二、多项选择题 7．(2023·福建莆田二模)某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则(　　) A．P(7<ξ<9)＝0.8 　 B．E(X)＝1.8 C．E(ξ)>E(5X) 　 D．P(X≥1)>0.9 8．(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题 9．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5) 10．某校召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________；若用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝________． 四、解答题 11．(2024·重庆巴蜀中学模拟)某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分． (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列． 12．(2023·山东济南一模)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi－)2＝1 690. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)． 附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 13．(2023·广东广州一模)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望； (3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十八)　二项分布、超几何分布与正态分布 1．A　[由题得最多1人被感染的概率为＝＝.故选A.] 2．B　[设小华收到的“冰墩墩”的个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3. 则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝. 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.故选B.] 3．A　[因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7， 所以P(ξ≥14)＝×[1－P(12<ξ<14)]＝×(1－0.7)＝0.15， 所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆)．故选A.] 4．A　[由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为， 故小球落到第⑤个格子的概率P＝＝.] 5．C　[对于A，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，A错误； 对于B，P(X＝2)＝，B错误； 对于D，由题意，随机变量X～B，D错误； 对于C，随机变量X～B，所以P(X＝k)＝， 若P(X＝k)取得最大值时， 则 则 即 解得2.6≤k≤3.6，k∈N*，则k＝3，故X＝3的概率最大，C正确．故选C.] 6．B　[由已知可得，P(5.35≤ξ≤5.55)＝P(5.40－0.05≤ξ≤5.40＋3×0.05)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)． 又P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ) ＝ ≈＝0.84， 所以K～B(M，0.84)，P(K＝45)＝·0.8445·0.16M-45. 设f (x)＝·0.8445·0.16x-45， 则＝ ＝0.16· ＝0.16·>1， 所以x<＝52＋，所以f (53)>f (52)． ＝ ＝0.16·＝0.16·<1， 所以x>＝53＋，所以f (53)>f (54)． 所以，以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为53. 故选B.] 7．BD　[由正态分布的对称性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误； X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确； E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C错误； 因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确．故选BD.] 8．ABD　[由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，A正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，D正确．故选ABD.] 9．　[依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|<2σ的解集A⊆(99，101)， 由|X－100|<2σ可得100－2σ<X<100＋2σ， 所以解得σ≤，故σ至多为.] 10．　　[由题意3人全是男志愿者，即X＝0，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，则 P(A)＝P(X＝0)＝， P(B)＝1－P(X＝3)＝， P(A|B)＝＝＝.] 11．解：(1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40， 所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24； D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256. (2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布， 且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40， 所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝＝， P(Y＝－20)＝P(η＝1)＝＝， P(Y＝0)＝P(η＝2)＝＝， P(Y＝20)＝P(η＝3)＝＝， P(Y＝40)＝P(η＝4)＝＝， 所以Y的分布列为 Y －40 －20 0 20 40 P 12．解：(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56. (2)因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)因为＝56，s2＝2＝×1 690＝169， 所以μ＝56，σ＝13. 因为P(30≤ξ≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，故Y～B(100，0.954 5)， 所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45. 13．解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为＝， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B， 所以X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＝. (2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2， 则P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＋＝， P(Y＝2)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以Y的数学期望E(Y)＝1×＋2×＝. (3)因为(1)(2)两问的数学期望相等， 第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的小， 即<，第(1)问不中奖的概率比第(2)问小， 即<， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖． 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6课时　二项分布、超几 何分布与正态分布 梳理·必备知识 1．(1)两个可能　n重伯努利试验 (2)pk(1－p)n-k　二项分布　B(n，p) (3)p(1－p)　np　np(1－p) 2．(1)　(2) 3．(2)X~N(μ，σ2)　0　1　(3)x＝μ　x＝μ (4)0.682 7　0.954 5　0.997 3　(5)μ　σ2 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 二、1．D　[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝＝.] 2．A　[由题意，E(X)＝＝4．故选A.] 3．C　[∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.] 4．　[由题意得P(X＝2)＝.] 考点一 考向1　典例1　解：(1)恰好打了7局小明获胜的概率 P1＝××， 恰好打了7局小亮获胜的概率 P2＝××， ∴比赛结束时恰好打了7局的概率为 P＝P1＋P2＝. (2)X的可能取值为2，3，4，5. P， P××， P×××， P××××， ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P E＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 考向2　典例2　C　[由题意，得 即 化简得≤k≤，又k为整数，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33)，故选C.] 跟进训练 1．解：(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2， P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2××p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8， P(X＝2)＝0.2p2＋0.8××p×(1－p)＝ 0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p， P(X＝3)＝0.8p2. X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2p2－0.4p＋0.2 0.4p2－ 1.2p＋0.8 －1.4p2＋ 1.6p 0.8p2 E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8. (2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值. ①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96. ②记Y为n棵树苗的成活棵数，M为n棵树苗的利润，则Y~B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n， E(M)＝350E(Y)－50n＝286n， 要使E(M)≥200 000，则有n>699. 所以该农户为获利不低于20万元，需至少引种700棵B种树苗. 考点二 典例3　解：(1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则P. (2)由已知得10个元件中有2个次品，8个正品，随机抽取3个电子元件进行检验时，次品的个数为X，X可取0，1，2. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×. 跟进训练 2．解： (1) X的可能取值为0，1，2， P，其中k＝0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的数学期望E. (2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，所以所求概率P(Y＝5)＝＝. 考点三 典例4　(1)D　(2)2　0.954 5　[(1)σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，A正确.由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，B，C正确.D显然错误.故选D. (2)由X~N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(X>c＋1)＝ P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. ∴P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5.] 跟进训练 3．(1)A　(2)ABC　(3)0.158 65　11 [(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状.由题图可得，选A. (2)根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为－P(X≤0)，A正确；根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正确；阴影部分的面积也可以表示为，C正确；阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确.故选ABC. (3)因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.682 7，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝≈＝0.158 65．又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.954 5，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝≈＝0.022 75．又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.158 65，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.022 75≈11.] 微点突破7 跟进训练 1．B　[依题意知，ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ1~B，所以E(ξ1)＝2×，D(ξ1)＝2××. 当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0，1， P(ξ2＝0)＝×， P(ξ2＝1)＝××， 所以E(ξ2)＝0×＋1×， D(ξ2)＝××. 所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2).故选B.] 2．ABD　[对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，则E(X)＝3·，E(Y)＝，D正确； 对于C选项，假若C正确可得E(X)<E(Y)，则D错误，矛盾.C错误.故选ABD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$