第9章 第5课时 离散型随机变量的分布列和数字特征-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第5课时　离散型随机变量的分布列 和数字特征 梳理·必备知识 1．(1)唯一　(2)一一列举 2．(2)≥　1　 4．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　　均值　期望　平均水平　(2)　偏离程度　 5．(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X) 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、1．D　[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．故选D.] 2．　[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝.] 3．　[E(X)＝－＝－， 则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.] 4．　[因为E(X)＝，D(X)＝， 由D(X)＝E(X2)－(E(X))2， 得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝.] 考点一 典例1　(1)AB　(2)　[(1)∵随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)， ∴P＋P＋Pξ＝＋Pξ＝＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝，A正确； P＝P＝3×，B正确； P＝Pξ＝＋Pξ＝＝＋2×，C错误； P(ξ＝1)＝5×，D错误.故选AB. (2)由离散型随机变量分布列的性质得 解得q＝.] 跟进训练 1．(1)C　(2)0.3　[(1)由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. (2)因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，所以P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19，则P(η＝j)＝(j＝1，3，5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3.] 考点二 典例2　解：(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6. (2)由题意可知， X 的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06 . 即X 的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13 . 跟进训练 2．(1)1　1　[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ＝0)＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1. D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.] (2)解：①记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M， 先确定3个不同数字，有种方法， 然后每种小球各取1个，有××种取法，所以P. ②由题意可知，X的可能取值为1，2，3， 当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 所以P； 当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 所以P； 当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以P， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E＝1×＋2×＋3×. 考点三 典例3　解：(1)X可能取值为4，5，6，7， P(X＝4)＝，P(X＝5)＝， P(X＝6)＝，P(X＝7)＝， 所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×. (2)Y可能取值为4，5，6，7， 设甲袋和乙袋抽取次数分别为Y1和Y2， P(Y＝4)＝P(Y1＝2)P(Y2＝2)＝·，P(Y＝5)＝P(Y1＝2)P(Y2＝3)＋P(Y1＝3)P(Y2＝2)＝··，P(Y＝6)＝P(Y1＝2)P(Y2＝4)＋P(Y1＝3)P(Y2＝3)＝··， P(Y＝7)＝P(Y1＝3)P(Y2＝4)＝·， 所以E(Y)＝4×＋5×＋6×＋7×＝6． 在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其他球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低. 跟进训练 3．解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为E(Y)>E(X)， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征 [考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2．理解并会求离散型随机变量的数字特征． 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi__0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝__． 3．两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布． 4．离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)＝__________＝__________为随机变量X的____或数学期望，数学期望简称____．它反映了离散型随机变量取值的________． (2)方差 称D(X)＝为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的________，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝______________．(a，b为常数) (2)D(aX＋b)＝____________．(a，b为常数) [常用结论] 1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． 2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． (　　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． (　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 3．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________． 4．已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________． 考点一　分布列的性质 [典例1]　(1)(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．a＝ B．P＝ C．P＝ D．P(ξ＝1)＝ (2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－q q－q2 则q＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． [跟进训练] 1．(1)若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　 B．[1，2] C．(1，2] 　 D．(1，2) (2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________． 考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征 [典例2]　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　离散型随机变量分布列的求解步骤 [跟进训练] 2．(1)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________． (2)(2024年1月九省联考卷)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． ①求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； ②记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　数字特征在决策中的应用 [典例3]　(2024·湖北武汉模拟)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止． (1)记总的抽取次数为X，求E(X)； (2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用均值、方差进行决策的方法 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． [跟进训练] 3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十七)　离散型随机变量的分布列和数字特征 一、单项选择题 1．(2024·浙江温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝，则D(3X－2)＝(　　) X －1 0 1 P a b A．　　　 B．　　　 C．5　　　 D．7 2．(2023·山东烟台高考适应性练习)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A． 　 B． C．2 　 D． 3．(2024·云南昆明模拟)甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，摸出红球的个数Y的均值和方差分别为E(Y)，D(Y)，则(　　) A．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) B．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y) C．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y) D．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y) 4．(2023·江苏盐城中学三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 5．(2024·湖北咸宁模拟)设0<a<1，随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在(0，1)内减小时(　　) A．D(X)减小 　 B．D(X)增大 C．D(X)先减小后增大 　 D．D(X)先增大后减小 6．(2024·山东济南模拟)已知等差数列{an}的公差为d，随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0<ai<1)，i＝1，2，3，4，则d的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 二、多项选择题 7．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝E(X) 　 B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝4 　 D．D(X)＝ 8．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则(　　) A．目标被击中的概率为 B．P(X＝1)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ 三、填空题 9．在一次社团活动中， 甲、乙两人进行象棋比赛， 规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分 (假设没有平局). 已知甲胜乙的概率为0.6, 若甲、乙两人比赛两局， 且两局比赛结果互不影响. 设两局比赛结束后甲的得分为ξ， 则 E＝________． 10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________． 四、解答题 11．(2023·广东深圳二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第k次投进的概率为p(0<p<1)，当第k次投进时，第k＋1次也投进的概率保持p不变；当第k次没能投进时，第k＋1次能投进的概率降为. (1)若选手甲第1次投进的概率为p(0<p<1)，求选手甲至少投进一次的概率； (2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分X的分布列与数学期望． 12．(2024·江西上饶模拟)甲、乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，m，其中0<m<1. (1)若m＝，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求m的取值范围． 13．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十七)　离散型随机变量的分布列和数字特征 1．C　[∵E(X)＝，∴由随机变量X的分布列得， 解得 ∴D(X)＝＝， ∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×＝5.故选C.] 2．D　[由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.] 3．C　[由题意，甲箱中摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 乙箱中摸到白球的概率为＝，摸到红球的概率为＝， 由题意可知X的可能取值为0，1，2， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝＋＋＝； 由题意可知Y的可能取值为0，1，2， 所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝， 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝， D(Y)＝＋＋＝； 所以E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)． 故选C.] 4．B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝， ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮， P(ξ＝6)＝＝， 故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.] 5．C　[根据题意可得，E(X)＝＝，D(X)＝＝＝，所以D(X)在上单调递减，在上单调递增，所以D(X)先减小后增大．故选C.] 6．D　[因为随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0<ai<1)，i＝1，2，3，4， 所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1， 也即a1＋a2＋a3＋a4＝1，又因为是公差为d的等差数列， 所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d， 所以a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝1，则a1＝d，a2＝a1＋d＝d，a3＝a1＋2d＝d，a4＝a1＋3d＝d， 因为0<ai<1，所以 解得－<d<，故选D.] 7．AB　[依题意P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝＝. 所以P(X＝1)＝E(X)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4， D(3X＋2)＝32D(X)＝32×＝2，所以AB选项正确，CD选项错误． 故选AB.] 8．BD　[由题意可得，目标没有被击中的概率为＝，所以目标被击中的概率为1－＝，A错误； 易知该射手每次射击未命中的概率为， X的可能取值为1，2，3，所以P(X＝1)＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E(x)＝1×＋2×＋3×＝，D(x)＝＝，BD正确，C错误． 故选BD.] 9．4.4　[由题意可得，ξ可能取值为2，4，6， P(ξ＝2)＝0.4×0.4＝0.16， P(ξ＝4)＝×0.6×0.4＝0.48， P(ξ＝6)＝0.6×0.6＝0.36， 所以E＝2×0.16＋4×0.48＋6×0.36＝4.4．] 10．　[由题意知P(ξ＝2)＝＝. ξ的所有可能取值为1，2，3，4. P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝.] 11．解：(1)记选手甲第k次投进为事件Ak(k＝1，2，3)，未投进为事件，选手甲至少投进一次这一事件的概率为1－P()． 因为P()＝(1－p)＝1－， 所求概率为1－P()＝. (2)得分X等于乙投进的次数，则X的可能取值为0，1，2，3. 记选手乙第k次投进为事件Bk(k＝1，2，3)， P(X＝0)＝P()＝＝， 投进1次对应事件为B1＋B2＋B3， P(X＝1)＝＝， 投进2次对应事件为B1B2＋B1B3＋B2B3， P(X＝2)＝＝，投进3次对应事件为B1B2B3，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 选手乙得分的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 12．解：(1)设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A，小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件B，根据题意可得P(A)＝＝，P(B)＝＝. (2)设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为Y， 根据题意可知，X～B，则E(X)＝3×＝， P(Y＝0)＝(1－m)＝(1－m)， P(Y＝1)＝(1－m)＋(1－m)＋m＝， P(Y＝2)＝(1－m)＋m＋m＝， P(Y＝3)＝m＝m， 则随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (1－m) m E(Y)＝×2＋m×3＝， 若E(Y)>E(X)，则>， 故<m<1，即m的取值范围是. 13．解：(1)y＝ (2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为 X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912， D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336. ②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为 Y 660 780 900 1 020 P 0.1 0.2 0.16 0.54 则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8，916.8＞912. 从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$