第9章 第4课时 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(六十六)　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 一、单项选择题 1．(2024·江苏南京模拟)在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲、乙两人各自行动，则在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是(　　) A．0.3　　B．0.32　　C．0.8　　D．0.84 2．现有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(　　) A．0.8 　 B．0.4 C．0.2 　 D．0.1 3．(2023·广东广州一模)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(　　) A．0.92 　 B．0.93 C．0.94 　 D．0.95 4．(2023·湖北武汉三模)已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.3，则P(A)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 5．(2023·广东深圳二模)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 6．(2023·山东潍坊二模)已知事件A、B满足P(A|B)＝0.7，P()＝0.3，则(　　) A．P(A∩B)＝0.3 　 B．P(B|A)＝0.3 C．事件A，B相互独立 　 D．事件A，B互斥 7．(2023·湖南郴州三模)篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 8．(2023·河北唐山三模)假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 二、多项选择题 9．(2023·山东威海一模)已知事件A，B满足P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则(　　) A．若B⊆A，则P(AB)＝0.5 B．若A与B互斥，则P(A＋B)＝0.7 C．若A与B相互独立，则P(A)＝0.9 D．若P(B|A)＝0.2，则A与B相互独立 10．(2023·江苏南通一模)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则(　　) A．P(A)＝ 　 B．A，B为互斥事件 C．P(B|A)＝ 　 D．A，B相互独立 三、填空题 11．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将元件T2，T3并联后再和元件T1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________． 12．(2024·湖南长沙模拟)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________． 四、解答题 13．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. (1)求试生产该款芯片在进入第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 14．(2023·江苏南京、盐城一模)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型．有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率)． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十六)　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．C　[依题意，在这段时间内，甲、乙都不去参观市博物馆的概率为P1＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2， 所以在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是P＝1－P1＝1－0.2＝0.8.故选C.] 2．A　[根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P(A)＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝＝0.8.故选A.] 3．B　[从某地市场上购买一个电子产品，设买到的电子产品是甲厂产品为事件A，设买到的电子产品是乙厂产品为事件B，则由题意可知P(A)＝60%，P(B)＝40%，从甲厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件C，从乙厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件D，则由题意可知P(C)＝95%，P(D)＝90%，由题意可知A，B，C，D互相独立，故从该地市场上买到一个合格产品的概率是P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝60%×95%＋40%×90%＝0.93.故选B.] 4．D　[P(B)＝P(AB＋)， 即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]， 解得P(A)＝0.2＝. 故选D.] 5．D　[从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，若这三个数之积为偶数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9种情况，它们之和大于8有 (1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5种情况， 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P＝. 故选D.] 6．C　[由题设P(A)＝1－P()＝0.7＝P(A|B)， 所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)， 即A，B相互独立，同一试验中不互斥， 而P(B)未知，无法确定P(A∩B)，P(B|A)．故选C.] 7．D　[由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，则概率为×1××1＋＝. 故选D.] 8．D　[设事件A表示从第一箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品， 则P(B)＝＝＝.故选D.] 9．BD　[对于A，因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，B⊆A， 所以P(AB)＝P(B)＝0.2，故错误； 对于B，因为A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.2＝0.7，故正确； 对于C，因为P(B)＝0.2，所以P()＝0.5×0.8＝0.4，故错误； 对于D，因为P(B|A)＝0.2，即＝0.2，所以P(AB)＝0.2×P(A)＝0.1， 又因为P(A)·P(B)＝0.5×0.2＝0.1， 所以P(AB)＝P(A)·P(B)， 所以A与B相互独立，故正确．故选BD.] 10．AC　[P(A)＝，A正确； A，B可同时发生，即“第一次取红球，第二次取黄球”，A，B不互斥，B错误； 在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为，C正确； P(B)＝×0＝，P(AB)＝＝，P(AB)≠P(A)P(B)，∴A，B不独立， D错误．故选AC.] 11．　[记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. ∵电路不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， ∴电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P()]P(A1)＝＝.] 12．　[法一：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝， P(D|B)＝，P(D|C)＝， P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)＝＝.小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝＝. 法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P＝＝.] 13．解：(1)因为前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝， 所以试生产该款芯片在进入第四道工序前的次品率为P＝1－＝1－＝. (2)设该款芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－P＝1－＝， 记工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B，所以P＝＝＝. 14．解：设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2. (1)P(B1)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B1)＝＝. 所以试验一次结果为红球的概率为. (2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝，所以P(A1)＝ ＝＝＝， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得P(A2)＝1－P(A1)＝1－＝， 所以方案一中取到红球的概率为 P1＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B1)＝＝， 方案二中取到红球的概率为 P2＝P(A2)P(B1)＋P(A1)P(B1)＝＝， 因为>，所以选择方案二第二次试验结束的概率更大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　事件的相互独立性、 条件概率与全概率公式 梳理·必备知识 1．P(A)·P(B)　P(B)　P(A) 2．(2)P(A)·P(B|A) 3．P(Ai)P(B|Ai) 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、1．AB　[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥.] 2．D　[根据题意，在第1次抽到几何题后，还剩4道题，其中有3道代数题，则第2次抽到代数题的概率P＝.故选D.] 3．C　[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB， 所以P(AB)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] 4．　[设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知P(A)＝P(AB)＝，P(B|)＝，∴P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)＋P()·P(B|)＝×，∴P(A|B)＝. ] 考点一 典例1　(1)B　(2)C　[(1)事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝，事件丁发生的概率P(丁)＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)·P(丙)，A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，D错误.故选B. (2)两个球都是红球的概率为×，A正确； 两个球中恰有1个红球的概率为××，B正确； 两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－，C错误； 至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为，D正确.故选C.] 跟进训练 1．(1)是　2　[由题意，可得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，且P(AB)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，P(ABC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)·P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，所以事件A，B，C是相互独立事件，且＝2.] (2)解：①设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1，2，3，…)，又打了X个球比赛结束，则 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P() ＝P(A1)P(A2)＋P()P() ＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. ②P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A3A4)＋P(A2A3A4)＝P(A1)P()P(A3)P(A4)＋P()P(A2)P(A3)P(A4) ＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1. 考点二 典例2　(1)A　(2)　　[(1)法一(图示法)：如图， 左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1．所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝0.8．故选A. 法二(运用条件概率的计算公式求解)：令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝0.8．故选A. (2)恰有一个白球的概率P＝； 由题可知A＝“第一次取到红球”， B＝“第二次取到红球”，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝.] 跟进训练 2．(1)C　(2)　　[(1)设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1，A2能正常工作的概率为1－，所以P(A)＝×， 又因为P(AB)＝P(B)＝××， 所以P(B|A)＝.故选C. (2)由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C， 则P(BC)＝×，P(B)＝， 所以P(C|B)＝.] 考点三 典例3　解：(1)依题意，记事件Ai表示第i次从第一个盒子里取出红球，记事件B表示两次取球中有红球， 则P(B)＝1－P()＝1－×＝1－，P(B)＝ ＝. (2)记事件C1表示从第一个盒子里取出红球，记事件C2表示从第一个盒子里取出白球，记事件D表示从第二个盒子里取出红球，则P(D)＝P(C1)P(C1)＋P(C2)P(C2)＝××. 跟进训练 3．(1)B　(2)　　[(1)设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%，设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”， 则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15， P(A|B3)＝0.30. 由全概率公式，得P(A)＝＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175. (2)设任取一件产品来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3，则彼此互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω， P(A1)＝， P(A2)＝， P(A3)＝， 设任取一件产品，取到的是次品为事件B， 则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B＋P(A2)P(B)＋P(A3)P(B) ＝×6%＋×5%＋×5%＝. 如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为 P(A1)＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [考试要求]　1．了解两个事件相互独立的含义. 2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率． 1．事件的相互独立性 概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立，则A与与B，与也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________ 2．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝______________________． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝我们称该公式为全概率公式． [常用结论] 1．事件的关系与运算 (1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为. (2)A，B恰有一个发生的事件为A. 2．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 3．P(AB)求法： (1)古典概型；(2)相互独立：P(AB)＝P(A)P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． (　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． (　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　) 二、教材经典衍生 1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　) A．A与B相互独立 　 B．A与C相互独立 C．A与C互斥 　 D．A与B互斥 2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 3．(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 　 B．0.3 C．0.38 　 D．0.56 4．(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)某同学喜爱篮球和跑步运动．在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为________． 考点一　事件的相互独立性 [典例1]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立　　 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 　 D．丙与丁相互独立 (2)(2023·陕西西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是(　　) A．两个球都是红球的概率为 B．两个球中恰有1个红球的概率为 C．两个球不都是红球的概率为 D．至少有1个红球的概率为 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件． 2．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算． [跟进训练] 1．(1)(2023·湖北武汉三模)设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，则A，B，C三个事件________(填“是”或“不是”)两两独立，且＝________． (2)(2024·山东淄博模拟)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立． ①求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率； ②求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　条件概率 [典例2]　(1) (2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8　 B．0.6 C．0.5　 D．0.4 (2)(2024·天津武清模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中一次性任取3球，则恰有一个白球的概率是________；若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A, “第二次取到红球”为事件B，则P(B|A)＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法． (2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. [跟进训练] 2．(1)(2023·辽宁锦州二模)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和A1正常工作的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)(2022·天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 ________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 ________． 考点三　全概率公式的应用 [典例3]　(2024·山西大同模拟)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同． (1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； (2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　“化整为零”求多事件的全概率问题 (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． [跟进训练] 3．(1)(2023·合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　) A．0.155 　 B．0.175 C．0.016 　 D．0.096 (2)(2024·广东梅州模拟)有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3 000件、3 000件、4 000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为________；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$